CHAPITRE COHPLËHENTAIBE

ment k Tare U' V sont égaux deux à deux ; on reconnaîtra en outre, par un raisonnement semblable, qu'ils interceptent des longueurs respectivement égales sur les deux normales b h et d l abaissées des points 6 et d sur les arcs ae et cf. On déduit de là, en prenant la définition des aires sous la seconde forme, que les aires cdf et abe rapportées à l'arc U' V sont égales, c'est-à-dire ne diffèrent Tune de l'autre que d'une fraction infiniment petite d'elles-mêmes.

Je peux toujours supposer que les dimensions ab et ac sont du même ordre de grandeur : si, en outre, les ares ae et c/*fontavec a c un angle fini, l'aire cdf est de même ordre de grandeur que l'aire aecf, et la différence entre les aires cd f et abe, négligeable auprès cdf, est négligeable aussi auprès de aecf. L'aire aecf, rapportée à l'arc U' V, ne sera donc altérée que d'une fraction infiniment petite d'elle-même, si je l'augmente de l'aire cd f, en la diminuant en même temps de l'aire abc; c'est-à-dire que les deux aires infinitésimales abcd et aecf, rapportées à l'arc U' Y, ont même mesure. Or, la première a pour mesure 5' ; il a été démontré plus haut que la mesure de la seconde est égale à 5 ; on a donc s' = s. Cette égalité entraîne, ainsi qu'on l'a vu précédemment, l'égalité S' = S. L'aire d'une surface plane est donc un élément géométrique dont la mesure est indépendante de tout système de comparaison.

J'ai supposé que les arcs ae et cf coupaient ac sous des angles finis, c'est-à-dire que sur toute l'étendue de la surface considérée , en quelque -point qu'on mène des arcs parallèles à UY et à U'V, ces arcs ne se coupent jamais orthogonalement ; si cette particularité , que j'ai écartée dans le raisonnement précédent , se présente en certains points , on arrive encore à la môme conclusion ; en effet , si l'on considère différents éléments superficiels suffisamment petits enveloppant tous ces points, et si Ton compare les aires de chacun de ces éléments, rapportées successivement à l'arc U V, à un arc U" V" convenablement choisi dans le plan, et enfin à l'arc D' V, les aires rapportées aux arcs U V et C" V" auront môme mesure ; il en sera de môme des aires rapportées aux arcs U" V" et U' V;

donc il en est de même aussi des aires rapportées aux arc U V et U' V, et la formule S' zn S est générale.

De là ce corollaire que les aires de deux figures superposables sont égales.

On remarquera l'analogie qui existe entre la construction de la figure 56, et la construction de la figure sur laquelle on démontre en géométrie élémentaire que tout parallélogramme est équivalent au rectangle de même base et de même hauteur.

XII. L'aire d'une surface plane quelconque étant toujours égale à la somme des aires de tous ses éléments, de quelque manière qu'on décompose une surface plane en éléments infinitésimaux, sa mesure s'obtiendra en faisant la somme des mesures de toutes les aires partielles dont elle se compose. Je considérerai ici des éléments différentiels infinitésimaux de deux

sortes différentes, dont je me propose de déterminer la mesure.

Dans le premier des deux cas que j'examinerai, l'élément superficiel est compris entre deux circonférences concentiques, dont les rayons diffèrent infiniment peu l'un de l'autre; dans le second cas, l'élément superficiel est un triangle infinitésimal.

1® Soient deux circonférences concentriques, ayant pour rayons R et Rh-^; je me propose de déterminer la mesure de l'aire comprise entre ces deux circonférences, lorsque z est infiniment petit. Je conçois cette surface décomposée en fractions infiniment petites d'elle-même par des rayons qui partagent chaque circonférence en arcs infinitésimaux du même ordre de grandeur que z, ou d'un ordre plus élevé. Soit abod (fig, 57, pi. VIII) un des éléments ainsi formés. J'en rapporte l'aire à un arc de rayon infini uv normal à ac. Par les sommets a, h, c, dje mène les arcs al, h m, enj dp parallèles kuv et limités aux côtés ac et bd, ùnk leurs prolongements. Les dimensions ab et ao étant infiniment petites, les longueurs de tous ces arcs, ainsi que celle de tout arc intermédiaire mené parallèlement k uv et compris entre les côtés ab et cd ou leurs prolongements, peuvent être considérées comme égales k ab. Les aires oncnb et apdl ont donc pour mesure la première a 6 x c m, la seconde