CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

ab xap. L'aire abcd est moindre que la première et plus grande que la seconde ; sa mesure est donc comprise entre abxcmet abxap. Or, Tare ab étant, par construction, un infiniment petit du même ordre au moins que z ou ac, les longueurs ap et bn ne diffèrent de z que d'une fraction infiniment petite d'ellesmêmes; il en résulte que l'aire infinitésimale abcd a. pour mesure abxz. Appliquant cette formule aux aires des différents éléments dont se compose la surface comprise entre les deux circonférences, on obtient pour la mesure de cette surface, le produit cire R x :s.

2« Soit un triangle infinitésimal ABC (fig. 58, pi. VIII) que je supposerai rectangle en A; un au moins des deux angles aigus, B par exemple est fini. Je construis dans le plan de la figure, et, par rapport à la droite BG, du côté opposé au triangle, l'angle GBA' égal à l'angle B G A, et j'achève la construction du triangle A'BG égal au triangle A BG. Je détermine l'aire du quadilatère ABA'G, qui est double de l'aire du triangle, en la rapportant à un arc de rayon infini normal à A G. Par un raisonnement semblable à celui qui est développé au paragraphe précédent, on démontrera que, le côté AB étant un infiniment petit du même ordre que A G ou d'un ordre supérieur, l'aire du quadrilatère A B A' G a pour mesure A B x A G ; l'aire du triangle rectangle infinitésimal AB G, qui en est la moitié, a donc pour

mesure — AB x AG, ou la moitié du produit de sa base par sa

hauteur.

Un triangle quelconque, dont la base est b et la hauteur h, est la somme ou la différence de deux triangles rectangles qui ont pour hauteur h, et don t les bases ont pour somme ou pour différence b. Il résulte de là qu'un triangle infinitésimal quelconque a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

XIII. De la mesure du triangle infinitésimal, et du théorème relatiJT aux projections énoncé au n^ IV, se déduit le corollaire suivant :

L'aire de la projection orthogonale d'un triangle sur un plan quelconque ne peut être plus grande que Taire de ce triangle ;

lU ÉTUDES ANALYTIQUES SUR LA THÉORIE DES PARALLÈLES.

en outre, si le plan du triangle et le plan de projection se coupent suivant un angle fini, la diflFérence entre les deux aires a avec Taire du triangle un rapport fini.

XIV. Une surface plane S, limitée à un contour polygonal fermé quelconque, est moindre que toute surface polyèdrale limitée au même contour.

En effet, chaque face peut être décomposée en éléments triangulaires infiniment petits ; la projection de ces éléments sur le plan de la surface S couvre eutièrement cette surface. Or, les faces adjacentes à S se composent d'éléments qui tous ont avec leur projection un rapport surpassant l'unité d'une quantité finie (n° XIII), la superficie de ces faces surpasse donc celle de leurs projections ; d'ailleurs la différence entre l'aire des autres faces et celle de leurs projections ne peut pas être en sens contraire; donc l'aire plane S est moindre que celle de toute surface polyèdrale limitée au même contour.

XV. Soit ABC (fig. 59, pi. VIII) un triangle infinitésimal dont les trois angles sont finis. A partir des deux sommets B et C, dans le plan du triangle, ou dans un plan quelconque mené par la droite B G, je trace suivant des directions arbitraires deux éléments rectilignes BB', G G' infiniment petits par rapport aux côtés du triangle ; je joins par une ligne droite les points B' et G' et je dis que l'aire B G G' B' est une fraction infiniment petite de l'aire du triangle A B G.

En effet, les trois angles de ce triangle étant finis , les trois côtés, et les trois perpendiculaires abaissées des trois sommets sur les côtés opposés sont des infiniment petits du môme ordre de grandeur, soit de l'ordre n (v. chap. P'', n®* 4 et 6). L'aire du triangle ABG, qui a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur, est donc de Tordre 2 n.

Je décompose le quadrilatère B G G' B' en deux triangles par la diagonale B G' ; je prends pour bases de ces triangles les côtés B B' et G G', qui, par hypothèse, sont des infiniment petits d'un ordre supérieur à n; les hauteurs, au plus égales à BC et à