CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

BC, ne peuvent être d'un ordre inférieur à n; l'aire de chacun des deux triangles BGC, C'BB' est donc un infiniment petit d'un ordre supérieur à 2 n. Donc enfin la somme de ces deux aires, ou Taire B CC B' est une fraction infiniment petite de Taire du triangle ABC.

Aire d'une surface courbe.

XYI. Soit S une surface quelconque, ou Tun des éléments suivant lesquels la surface sera décomposée s'il y a lieu, cette décomposition étant effectuée de telle sorte que chacune des parties, dont la réunion forme la» surface proposée, remplisse les diverses conditions auxquelles je supposerai la surface S assujettie dans Texposé qui suit (cette décomposition sera d'ailleurs toujours possible).

Je suppose d'abord la surface S telle que toute droite issue d'un point convenablement choisi (fig. 60, pi. VIII), et qui peut être à Tinfini, ne la rencontre qu'une fois. J'imagine inscrites dans S une suite indéfinie de surfaces polyédrales à faces triangulaireS) les faces étant disposées de telle sorte que les tétïaèdes dont elles forment les bases, et qui ont le point pour sommet commun, soient tous extérieurs Tun à Tautre. Je supposerai que dans cette suite indéfinie de surfaces polyédrales, toutes les arêtes deviennent infiniment petites, et que, en même temps, les trois angles de chaque face restent finis ; je supposerai, de plus, que les contours polygonaux qui limitent les surfaces polyédrales successives ont leurs sommets sur le contour même de la surface S, ou à une distance de ce contour qui décroît au delà de toute limite.

Soit ABC une face triangulaire appartenant à Tune des surfaces polyédrales inscrites ; les trois angles étant finis, les côtés sont des infiniment petits du même ordre de grandeur, soit du premier ordre. Je mène par le point les plans contenant les côtés A B, A C, B G ; les faces de Tangle tièdre ainsi formé coupent la surface S suivant trois arcs infinitésimaux sous-tendus

par -les cordes AB, AG, BG; j'admettrai que ces arcs sont coupés SOUS des angles finis par les droites OA, OB, OC. Il arrivera généralement, d'après le corolaire du n^ IX, que tous les points de ces arcs seront à une distance infiniment petite du second ordre au moins de leurs cordes; je supposerai que cette dernière condition se trouve toujours remplie pour toutes les arêtes des surfaces polyédrales inscrites dans S (1). Je dis que Taire totale de ces surfaces polyédrales a une li-

(1) La décomposition de la surface proposée en éléments réunissant les conditions auxquelles la surface S est assujettie, et Tinscription des surfaces polyédrales successives dans S, peuvent se faire, par exemple, en procédant conformément à la méthode suivante, dans laquelle je suppose le point 0, qui peut être pris arbitrairement, situé à l'infîni sur une normale à une surface de rayon infini S, du côté de la concavité de cette surface.

1* Décomposer, sll y a lieu, la surface proposée en nappes telles que chacune d'elles ne puisse être coupée qu'en un seul point par une normale à s*

2» Tracer sur S trois sections normales U, U', U", se coupant réciproquement. Déplacer la section U parallèlement à elle-même, d'un mouvement continu. Le plan de cette section déterminera sur chaque nappe une suite continue de courbes ; les points s'il en existe, où ces courbes n'ont pas une tangente déterminée unique, étant des points isolés sur chaque courbe, ne peuvent former sur la surface proposée que des points isolés ou des lignes isolées. Décomposer, s'il y a lieu, et selon le cas, chaque nappe suivant ces lignes, ou suivant des lignes passant par ces points isolés. Si sur les courbes de section dç la surface proposée, la tangente se confond en certains points avec la normale à n, isoler les parties de la surface voisine de ces points, pour les rapporter à d'autres surfaces de rayon infini.

Opérer avec les deux sections normales U' et U'^ comme il a été fait avec la section U.

S est Tune quelconque des parties de la surface ainsi décomposée, en exceptant celles de ces parties qui en ont été isolées pour être rapportées à des surfaces de rayon infini autres que 2.

3* Tracer sur 2 un réseau de triangles, tous égaux entre eux, déterminés par trois groupes de sections normales, parallèles, les unes à U, les autres à U^ et celles du troisième groupe à U'^ Les plans de ces sections normales déterminent sur S un réseau qui marquera les sommets d'une surface polyédrale inscrite dans S. Lorsque les côtés des triangles tracés sur 2, côtés qui restent toujours parallèles aux sections normales U, U', U'^ deviendront infiniment petits, il en sera de même des arêtes du polyèdre inscrit dans S ; de plus, les angles de chaque face resteront finis, et toutes les conditions dans lesquelles je me suis placé au n' XYI se trouveront remplies.