CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

mite déterminée, indépendante de la loi suivant laquelle sont construites les diverses surfaces polyédrales (pourvu que les conditions auxquelles je les ai supposées soumises soient observées), et indépendante de la position du point 0.

Pour le démontrer, sur les droites OA, OB, OC, et sur leurs prolongements, je prends de part et d'autre de chacun des sommets A, B, G, dés points a, a\ b, b', c, c\ situés à des distances de ces sommets infiniment petites du second ordre, et telles que les arcs infinitésimaux déterminés par l'intersection des faces de l'angle trièdre Oet delà surface S soient entièrement à l'intérieur des quadrilatères a a' 66', bV cc\ aa' ce', formés en joignant deux à deux ceux de ces points situés d'un même côté de la face ABC. Quelle que soit une autre surface polyédrale inscrite dont toutes les arêtes soient des infiniment petits d'un ordre suffisamment élevé, les faces qui traversent les plans OAB, OAG, OBG, les couperont suivant des éléments, rectilignes entièrement situés à l'intérieur des trois quadrilatères. Si donc j'ajoute ces quadrilatères aux faces ou portions de faces comprises dans l'angle trièdre 0, Taire totale sera plus grande que celle du triangle ABG (n° XIV). Or, l'aire totale des trois quadrilatères est une fraction infiniment petite de celle du triangle (n'' XV) ; il en résulte que le rapport limite entre les aires des faces comprises dans l'angle trièdre 0, et l'aire du triangle A B G ne peut être moindre que l'unité. Si, le point restant le même, je répète le môme raisonnement sur d'autres faces triangulaires infinitésimales, la même conclusion pourra être étendue à des superficies finies.

Ainsi, après avoir inscrit dans S la suite de surfaces polyédrales à laquelle la face ABG est empruntée, et dont les aires tendent vers une certaine limite L, quelle que soit la loi suivant laquelle on inscrira dans S d'autres surfaces (les conditions auxquelles j'ai supposé ces surfaces soumises restant observées, et le point pouvant d'ailleurs être pris dans une nouvelle position quelconque), la limite L' vers laquelle tendront les aires de ces surfaces ne peut être moindre que L. Par la même raison, L ne peut être moindre que L' ; ces deux limites

sont donc égales ; donc, en général, la limite des aires des surfaces polyédrales inscrites est déternâinée (1). C'est par cette limite qu'est définie l'aire de la surface S.

Corollaire I. Si une surface courbe est décomposée en plusieurs éléments, l'aire de la surface entière est un tout, dont les aires des divers éléments sont les différentes parties.

Corollaire IL L'aire d'une surface plane est moindre que l'aire de toute surface terminée au même contour.

XVII. Sur une surface de rayon infini, les aires se détermineront par les mêmes raisonnements au moyen desquels on établit en géométrie élémentaire la mesure des superficies planes, et s'exprimeront au moyen de formules semblables, en substituant partout aux lignes droites du plan les sections normales de la surface de rayon infini. (Voir les propriétés de ces sections normales, Gh. III, n^ 49).

Mesure des volumes.

XVIII. Je conçois l'espace indéfini décomposé en éléments solides tels que MN (fig. 61, pi. VIII), tous identiques entre eux, et disposés, comme par assises, sur des surfaces de rayon infini parallèles à une même surf ace R ; ces surfaces, que je suppose menées de telle sorte qu'elles interceptent sur une quelconque de leurs normales communes des divisions égales d'une longueur h, limitent chaque élément dans le sens de sa hauteur. Je suppose les faces par lesquelles les éléments d'une même

(1) On obtiendra encore la môme limite, si, à chaque face telle que ABC, on substitue le triangle infinitésimal compris dans le même angle triëdre 0, et situé dans le plan tangent à la surface mené en un point pris à Tintérieur de cet angle trièdre (voir, pour l'existence du plan tangent, Ch. lY, n*9i).