CHAPITRE GOMPLËMENTÂIRE

assise, c'est-à-dire ceux compris entre deux mômes surfaces de rayon infini, sont en contact, formées par deux séries de plans normaux, qui déterminent sur chacune des deux surfaces des sections normales telles que celles d'une série soient parallèles entre elles, et perpendiculaires à celles de l'autre série.

Les éléments formant une même assise auront tous une même hauteur égale à h, et auront à l'une des bases, celle par exemple qui est située par rapport à l'autre du côté de la concavité, les mômes dimensions a et &. J'imagine toutes les assises formées d'éléments identiques qui auront tous la hauteur h, et les dimensions a et 2^ à la base.

Pour comparer les volumes de deux solides V et V, je comparerai les nombres n et n' des éléments ainsi formés qui y sont entièrement contenus; en suivant la marche tracée au n<> XI {aire d'une courbe plané), on démontrei*a que si les divisions a, b, h des éléments deviennent infiniment petites, le nombre des éléments ^traversés par les surfaces qui enveloppent les solides V et V devient négligeable auprès des

nombres n et n' ; et que, en outre, le rapport — tend vers une

limite déterminée indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les dimensions des éléments, les surfaces qui limitent les différentes assises étant supposées, quant à présent, toujours parallèles à la surface R. C'est par la limite de ce rapport que je définis le rapport des volumes V et V ; ainsi, le volume V

étant pris pour unité, le volume V a pour mesure lim. — (on

verra plus loin que cette mesure est indépendante de la position de la surface R). Remarquons de suite que le volume d'un solide composé de plusieurs autres est, d'après cette définition, un tout dont les volumes des solides partiels forment les différentes parties.

La même définition peut être présentée sous une seconde forme équivalente à la première :

Soient R' et R" deux surfaces parallèles à R, qui, touchant la

surface d'un solide V, laissent ce solide tout entier, Tune du coté de sa concavité, l'autre du côté de sa convexité. Soient

i\ Ti Vp, différentes surfaces intermédiaires parallèles àR;

je désigne par ^i, s^ sp, les étendues superficielles mesurées sur ces surfaces (n** XVII) à Tintérieur du volume V ;

soient enfin, Zi, z^ Zp, Zp^^, les distances successives qui

séparent les surfaces R, r^, r^ rp, R'. Il résulte de la définition donnée précédemment, que le volume du solide V est proportionnel à la limite vers laquelle tend la somme

s^Zi+SiZi...,-h Sp Zp, lorsque les hauteurs Zi, z^ Zp,Zp^^

deviennent toutes infiniment petites ; si cette limite est égale à 1, le volume V sera l'unité de volume.

On peut déduire de là que, si les dimensions a, h, h de l'élément MN sont infiniment petites, cet élément a pour mesure

La définition de la mesure d'un volume, telle qu'elle vient d'être présentée, est rapportée à une certaine surface de rayon infini supposée donnée. On démontrera, par un raisonnement analogue à celui déjà exposé au n° XI, et en suivant une marche semblable à celle qui conduit, en géométrie élémentaire, à la mesure du parallèlipipède , que la mesure des volumes, telle qu'elle a été définie, reste la même, quelle que soit la surface de rayon infini à laquelle on la rapporte. Le volume d'un solide est donc un élément géométrique dont la mesure est indépeûdante de tout système de comparaison.

De là ce corollaire que, dans la géométrie imaginaire comme dans la géométrie vraie, deux solides superposables ont même ' volume.

XIX. En« résumé, toutes les propositions de géométrie qu'on peut démontrer sans s'appuyer sur la théorie des parallèles, sont implicitement contenues dans les trois propositions A, B, C du n"" I de ce chapitre; ainsi se trouvent justifiées les conclusions des chapitres II et III.