CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

Il me reste, pour terminer ce chapitre, à analyser une démonstration exposée à l'Académie des sciences, à la séance du 20 décembre 1869, par laquelle M. Carton a essayé d'établir a priori que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne est égale à deux angles droits, et à faire voir que cette démonstration sous-entend un postulatum.

XX. De la démonstration proposée par M. Carton, du théorème de géométrie élémentaire relatif à la somme des trois angles d'un triangle rectiligne [i).

Cette démonstration repose sur trois lemmes établis en toute rigueur, et qui se résument dans la proposition suivante:

Soient deux droites L, L' perpendiculaires à une troisième, et soit un point P se déplaçant sur la droite L, en s'éloignant constamment de la perpendiculaire commune; la distance du point P à la droite L' est, ou bien constante, ou bien toujours croissante.

Cette proposition étant admise, j'exposerai sommairement ainsi qu'il suit la démonstration proposée par M. Carton, et je rechercherai quel est le postulatum que, d'après la conclusion du chapitre III, cette démonstration doit nécessairement sousentendre.

Soit une suite de n triangles égaux à un même triangle T, dont les bases, situées sur une même droite indéfinie A Y (fig. 62, pi. VIII), déterminent sur cette droite une suite

continue de segments égaux AB, BBi, BiB^, B^.a Bn.i.

Joignant par des droites les sommets C, Ci, C, Gn.% C„.i, on

forme une ligne C Cl Câ Cn-iCn-i, qui est ou droite ou brisée.

Soit C P la perpendiculaire abaissée du point C sur A B, et soit KX la perpendiculaire sur C P élevée en un point K pris sur le prolongement de cette droite au delà du point C; cette perpen-

(1) Voir le compte rendu de la séance du 20 décembre 1869 à l'Académie des sciences, p. 1265 à 1^69.

133 ÉTUDES ANALYTIQUES SUR hk THÉORIE DES PARALLÈLES.

diculaire laisse entièrement d'un même côté la ligne CC1C2

C«-i. Sur les droites Gd, Ci G,, •...Gn.jC»,!, on peut construire

une suite de triangles GDGi, G^D^Gî, G„-2 Dn-2 G^.! , dont

les sommets D, Dj, Dj Dn.j situés sur la droite K X sont pris

à des distances de plus en plus grandes du point K. La figure 62, ainsi construite, représente dans son ensemble un hexagone AGDD„.2G„.iB„-i composé de in — 4 triangles, dont n sont égau;c au triangle T.

Gela posé, et l'angle droit étant pris pour unité d'angle, soit 2 — « la somme des angles du triangle T (on sait que cette somme ne peut excéder 2 angles droits, et que, par conséquent, « ne peut être négatif) ; la somme de tous les angles dans les n triangles égaux sera 2 n — n «. Dans les 3 n — 4 autres triangles, la somme des angles, qui ne peut excéder &n — 8, pourra être mise sous la forme 6n — 8 — œ, x étant positif ou nul. Or, si de la somme totale 2n — n«-f-6n — 8 — œ on retranche tous les angles dont le sommet ne coïncide pas avec un sommet de l'hexagone, il reste, pour la somme des angles de cet hexagone :

2n — n«-f-6n — 8— a?— 4(n — 2)— 2(n— 1) — 2(n — 3), ou, toute réduction faite,

8 — net — X.

Si «, qui, ainsi que x, ne peut être négatif, n'est pas nul, n peut être pris assez grand pour que cette expression devienne négative; la somme des angles de l'hexagone serait alors moindre que zéro, ce qui serait absurde.

Ge raisonnement admis, il s'ensuivra que « est nécessairement nul et que la somme des trois angles du triangle T est précisément égale à deux angles droits ; mais on a le droit de se demander si, quel que soit le nombre n de triangles égaux qu'on construira, la figure présentera toujours la disposition nécessaire au raisonnement.

Pour préciser cette objection, je suppose qu'il soit possible d'élever sur la droite A Y, sufiBsamment prolongée, une perpendiculaire ST (fig. 63, pi. VIII) ne rencontrant pas KX. Je peux supposer, au même titre, que la ligne G Gi G, , composée