Lieux géométriques

Si entre les trois équations

9(j7,7)-f-|tx9,{j7, jr) = o,

« /jiv 4- fejut -}- cv H- rf = o,

on élimine les paramétres u et v, on arrive à l'équation

laquelle est du degré [p-^q] et est d'ailleurs satisfaite par les solutions simultanées de Tun ou de l'autre des systèmes d'équations

Suivant que l'on considère les équations ci-dessus comme cartésiennes, pour des faisceaux pivotants, ou comme tangentielles, pour des faisceaux roulants, on arrive à l'un ou à l'autre de ces théorèmes :

Théorème XCII. — Quand deux faisceaux pivotants sont homo graphiques y les courbes homologues se coupent sur une courbe géométrique d'un degré égal à la somme des degrés des deux faisceaux et passant par tous les pivots.

Théorème XCIII. — Quand deux faisceaux roulants sont homo graphiques y les tangentes communes aux courbes homologues roulent sur une courbe géométrique d'une classe égale à la somme des classes des deux faisceaux et tangente à tous les axes de roulement.

I l4 LIVRE V. — CHAP I. — COREESPONDàNCE ANHARMONIQUE.

6. Conditions pour établir la liaison anharmonique de deux faisceaux.

Sur ces théorèmes repose une méthode de construction des courbes dont nous parlerons dans un chapitre spécial- Si Ton prend arbitrairement trois courbes du premier faisceau et si Ton prend aussi arbitrairement trois courbes du deuxième faisceau destinées à correspondre respectivement aux premières, on définit la liaison anharmonique des deux faisceaux.

En effet, soient

et

^x,y)^h,^,[Xyy) = o,

^{x,r)^K^,[x,x) = o, ^[x, X) -f- K^y{xy y) = o,

les deux systèmes de courbes arbitraires correspondantes.

L'équation en /x et y devra être satisfaite par les trois systèmes de valeurs

Or ces conditions sont suffisantes, sans être surabondantes,

pour déterminer les trois paramètres t» j' ^ q^^ contient

en réalité l'équation en jut et v.