Courbes harmoniques relatives à un groupe de droites

Nous appellerons courbe harmonique relative à un groupe de droites, un lieu géométrique tel, que la moyenne harmonique des distances d'un point quelconque de celte courbe aux divers côtés du polygone ait une valeur constante.

Si Ton représente le groupe de p droites par l'équation cartésienne, prise en coordonnées rectangulaires,

P = {uxx -h bxx -\- Cx ) [a^x -h 6, j -h c^)(apX -h b^X"^ Cp) = o, réquation de la courbe harmonique correspondant à la valeur—de la constante sera P

UxX-hbxf-hCx a,^-h&,j + c, '" UpX-hbpX-^-Cp ' et si Ton ramène cette équation à la forme entière, on trouvera

-^^i UsX ■

b,x -I- ^i On voit ainsi que :

Toute courbe harmonique relative à un groupe de p droites est du degré p et passe par tous les sommets du polygone.

De plus, les termes du degré /> dans Téqualion d'une courbe harmonique sont proportionnels aux termes du même degré dans l'équation même du polygone; donc :

Toute courbe harmonique passe par les points à l'infini des côtés du polygone.

Lorsqu'on fait varier X, on forme la série des courbes harmoniques relatives au polygone. Il résulte de ce qui précède que :

Chaque côté du polygone est une corde commune à toutes les courbes harmoniques;

Les points d'interèection sont le point à l'infini de ce côté et ses inierseclions avec les autres côtés du polygone.

PROPRifiTÉS GfiOHfiTRIQUBS DES DITISIONS 8BGMB1ITÀIRB8, ETC. 129

Les courbes harmoniques relatives à un polygone forment un faisceau pivotant du degré p. Les pivots, au nombre de /i% se composent desp points à l'infini des côtés du polygone et de p{p — i) points, communs aux deux courbes

2p PV«

-hbsX-hc,

Or, ces deux courbes, dont la première est le polygone luimême, ne peuvent avoir en commun que les sommets mêmes

de ce polygone au nombre de EiE-H-J. Donc chacun de

ces

sommets doit figurer doublement parmi les pivots, c'est-à-dire que les courbes harmoniques ont une tangente commune en chaque sommet du polygone.

En résumé :

THÉORftMB C. — Les courbes harmoniques relatives à un groupe de p droites forment un faisceau pivotant. Les pivots, au nombre de p*, se composent :

I** Des p points à l'infini des divers côtés du polygone;

2? Des ^--J- ' sommets du polygone;

♦ 3° De l-^ points infiniment voisins des sommets et

situés sur les directions de tangentes communes aux diverses courbes du faisceau.