CHAPITRE IV
PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES DIVISIONS HOMOGRAPfflOUES.
1. Relation géométrique entre les points de deux groupes homologues dans les divisions segmentaires.
Considérons deux divisions segmentaires homographiques des degrés p, q faites sur deux droites que nous appellerons Taxe des x et Tsixe des a.
Parmi les groupes de points déterminés sur l'axe des x^ il y en a un qui contient le point à Tinfîni de cette droite; nous désignerons par
réquation du degré (p — i) qui représente les points de ce groupe, abstraction faite du point à l'infini. A ce groupe correspond, sur Taxe des a, un groupe homologue que nous désignerons par J et dont les points sont déterminés par l'équation du degré g,
De même il y a sur l'axe des a un groupe qui comprend le point à l'infini de cet axe et (g — i) autres points déterminés par l'équation
à ce groupe correspond, sur l'axe des Xy un groupe homologue que nous désignerons par 1 et dont les points sont déterminés par l'équation du degré p,
L'équation anharmonique qui exprime l'homographie des deux divisions peut, ainsi que nous l'avons vu au chapitre II,
PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES DIVISIONS HOHOGRAPHIQUES. l37
être mise sous la forme
Celte équation résulte de l'élimination du paramètre X entre les deux équations
el
qui expriment respectivement chacune des deux divisions par groupes.
Cela posé, construisons un polygone directeur relativement au groupe I, et soit D la moyenne harmonique îles distances d'un point quelconque de l'axe des x aux divers côtés de ce polygone.
L'équation
dans laquelle h est une quantité constante et déterminée par le polygone directeur que l'on a choisi parmi tous ceux qui pouvaient être formés sur le groupe I, déterminera géométriquement les points du groupe en x qui correspond à une valeur quelconque de X.
Construisons de même un polygone directeur relativement au groupe J, et soit A la moyenne harmonique des distances d'un point quelconque de l'axe des a aux divers côtés de ce polygone.
L'équation
dans laquelle h' est une constante déterminée, définira géométriquement les points du groupe en a qui correspond à une valeur quelconque de X.
Si l'on suppose que D et A se rapportent respectivement aux points de deux groupes homologues, ces quantités se trouvent correspondre à une même valeur de X, d'où il résulte que
l38 LIVRE V. — CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS» ETC.
Ton a
T. A hh'k
D A = = consl.
Pi Celle formule exprime que :
TuÉORÈMB CIX. — Étant données deux dwisions segmentaires homo graphiques, si Von construit^ sur chacun des groupes I et J, un pofygone directeur quelconque^ la moyenne harmonique des distances d'un point quelconque de la première droite aux côtés du polygone directeur correspondant sera réciproquement proportionnelle à la moyenne harmonique des distances d'un point homologue de la seconde droite aux côtés de Vautre polygone directeur.
