Divisions polaires

Étant donné sur une droite un système de points fixes, au nombre de /?, les conjugués d'ordre m d'un point quelconque de la droite forment un groupe de p — m points que nous désignons par Gp,^ et que nous appelons groupe polaire de Tordre m.

Pour justifier cette dénomination, nous rappellerons que ces groupes de points ont déterminé la génération des polaires cartésiennes que nous avons étudiées dans le second livre de cet ouvrage.

Si le point dont on prend les conjugués d'ordre m se déplace sur la droite pour y prendre toutes les positions possibles, le groupe Gp-m établira sur la droite une division particulière à laquelle nous donnerons le nom de division polaire de l'ordre m.

Corrélativement, étant donné un faisceau de p droites fixes, convergentes, les conjuguées d'ordre m d'une droite quelconque, passant par le sommet du faisceau, forment un groupe de p — m droites que nous appellerons groupe polaire de l'ordre i», et que nous désignerons par G^-«.

Les groupes Gp^m qui correspondent à une droite mobile autour du sommet fixe établissent autour de ce point une division polaire de l'ordre m.

Considérons une division polaire établie sur une droite fixe : tous les points d'un groupe sont déterminés par l'un quelconque d'entre eux, et cette détermination a lieu sans ambiguïté, c'est-à-dire sans intervention de solutions étrangères. En effet, étant pris un point a que l'on considère

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comme appartenant au groupe G^-h*» ce point donnera naissance à m conjugués de l'ordre p — m, et chacun de ces derniers points donnera lieu à un groupe de conjugués de Tordre m, qui sera le même pour tous. C'est précisément le groupe G;,-^ qu'il s'agissait de déterminer.

On voit ainsi qu'une division polaire, de l'ordre m, sur la droite, est un cas particulier de la division segmentaire, par groupes de (p — m] points.

Un raisonnement analogue montrerait que, corrélativement, une division polaire de l'ordre m, autour d'un point, est un cas particulier de la division tangentielle, par groupe de [p — m) droites.