Disparition des solutions imaginaires

On peut, en ayant recours aux quantités imaginaires, déterminer séparément les solutions réelles qui conviennent à la question.

Les équations du n** 2 peuvent s'écrire

^/^ X — Xg p{x — a)

y^ r-T' pjx^b) ^

^, {x—x^y-hir—x^Y i^ — aY-^ir — by

176 LIVRE YII. — CHAPITRE I.

El dans l'hypothèse où x^ y^ a, 6, a?,, y» sont des quantités réelles, on peut leur substituer Téquation unique

Posons

a = a -\-b sf—i et

f{z)z=:z[z — Z,)(Z—Z^)..,{Z — Z,)/..{z — Zp).

Les. points donnés seront les points racines de l'équation entière, du degré d,

dont chaque racine «,, ramenée à la forme Xt-^y,\J — i, détermine les coordonnées Xs et y, du point A,.

L'équation aux points conjugués pourra s'écrire

-fci^i z — Zi z — a

ou, plus simplement,

{z — oi)f[z) — pf[z) = o.

Cette équation est du degré [p — i ), attendu que le coefflcieni du terme du degré p s'y réduit à zéro. Chacune de ses racines, étant ramenée à la forme (?/-+- y}/ \/^^), détermine l'abscisse Ç, et l'ordonnée nt d'un point conjugué de S.

Par conséquent :

Les conjugués d'un point relativement à un système de p points du plan sont au nombre de {p — i ).

Les p^ points trouvés au n° 2 se composent :

1° Desp points donnés; 2» Du point S;

3*» Des (/? — i) conjugués de S;

4° De 2/?{2p — i) points imaginaires. Ce dernier nombre est forcément pair.

PROPRIÉTÉS d'un système DE POINTS NON EN LIGNE DROITE. I77

10. Points conjugués des différents ordres; groupes associés.

Le système des p points donnés ayant donné naissance aux ip — i) conjugués du premier ordre de S, déflnis par l'équation du degré {p — i)

f,{z) = {z-cc)f(z}-pf{z)=o,

ceux-ci donnent naissance aux {p — 2) conjugués du second ordre, définis par l'équation du degré {p — 2)

/. («) = (^ - «)// {^) -Pf. («) = o.

Ces derniers donneront naissance aux conjugués du troisième ordre, et ainsi de suite.

En se reportant au chapitre I" du livre II, on voit, sans nouveaux calculs, que l'équation, du degré {p — n), aux conjugués de l'ordre n, peut être mise indifféremment sous Tune ou l'autre des deux formes

2] (-')*" <^'- i (^- «)'/"' (^) = •*' X^i- • )'-"-' cr' j, {« - ^)'/"' («) = o-

Si dans ce système on change n en p — », on trouve, pour l'équation du degré n aux conjugués d'ordre p — n, les deux formes

En comparant ce système au précédent, on voit que l'un des deux reproduit l'autre par la permutation des lettres a et x. Par conséquent :

Si un point est conjugué d'ordre n d'un autre point relativement à un système de p points du plan, le second point est conjugué d'ordre [p — n) du premier relativement au même système.

lot

178 LIVBB VII. CHAPITRE I.

D'après cela, les points du plan peuvent être rangés en groupes associés, Gp^ et G„, de [p — n) et de n points, tels que chaque point du premier groupe admette les points du second pour conjugués d'ordre p — riy tandis que chaque point du second groupe admettra les points du premier pour conjugués d'ordre n.