Détermination analytique

Rapportons la fîgure à deux axes rectangulaires. Soient

les coordonnées des points donnés, a et 6 celles du point S, et :r et 7 celles de V.

Posons

p = vâ;' X va,' X . . . X va/ X . . . X va/ ,

il s'agira de rendre maxima l'expression

VS^''^ On a

P = [(a;— ^.)*4- (r— r.r] [{oo — x,Y 4- (/ — n)1- • •

x{[x—xsr-^{r-rsy\^.\{x—xpy+{x—rpY\, vs ' = (^ - ay^ix— by,

et les coordonnées des points conjugués doivent satisfaire aux deux équations simultanées

d P VS^-.(.-.)P

, p vs- g-.(r-^)P

«'rw vs

■ip—2

PROPMÉTfiS d'un SYSTEMS DE POINTS NON EN LIGNE DROITE. 176

qu'on peut encore écrire

[{x - a)' -I- (r - bf\ 2' (^ - ar.)P. = (a: - a)P.

en désignant par P, le quotient ^^^^^^.^^^^^^^r

Les termes du degré (2/1-t-i) disparaissent quand on développe ces équations; chacune d'elles représente donc une courbe du degré ip, et les deux courbes se coupent en 4/?^ points, réels ou imaginaires.

8, Solutions étrangères.

Il ne faut pas en conclure que les conjugués de S soient au nombre de 4/^'. Les équations précédentes admettent des solutions étrangères; elles sont vérifiées par le système (a:,, y,)^ qui correspond à la position A, du point V, pour laquelle

p — - s'annule, et par le système (a, b) qui correspond à la posi-

tlon S du point V, pour laquelle =—- devient infini.

Par conséquent, il faut éliminer, comme étrangers à la question, les p points donnés et le point S.

Restent [4/>' — p — i] ou [a/? (!2p — 1)4- (p— i)] points, parmi lesquels se trouvent probablement des points imaginaires.