Propriétés des polygones réguliers

Supposons que les p points donnés forment un polygone régulier dont le centre occupe l'origine des coordonnées.

Les points centraux du système, étant au nombre de{p — i) et devant évidemment former une figure qui aura pour axes de symétrie tous ceux (au nombe de 2/?) du polygone, se réduisent à un point multiple placé au centre du polygone.

Si donc

est l'équation aux sommets du polygone, z désignant une coordonnée symbolique, on doit avoir

f'{z) = zP-\ ei par conséquent

f{z) = zP — k.

PROPRifiTÉS d'un STSTÈMB DE POINTS NON EN LIGNE DROITE. I 79

Donc, l'équation aux sommets d'un polygone régulier ayant son centre à l'origine des coordonnées est de la forme

p désignant le nombre des sommets.

Si l'on cherche les conjugués d'un point quelconque a, relativement au système des sommets du polygone , on arrive à l'équation

a Par conséquent :

Les conjugués d!un point relativement aux sommets d'un polygone régulier de p côtés forment un polygone régulier de (p — i) côtés ayant même centre que le premier.

L'équation aux conjugués d'ordre n du point a se présente sous la forme simple

Si n est inférieur k p — 2 , cette équation représente un polygone régulier ayant même centre que le polygone donné. Lorsque n = p — 2, on a deux points symétriques relativement au centre du polygone. Lorsque n=p — i, on trouve un point unique, harmonique de V.

l8o IITBB VII. — GHAPITRl II.