Propriété du cercle

Considérons, sur un cercle, des points

A| y Aj, • • ) Ap

au nombre de p.

Soit, en outre, un point fixe- S pris sur ce cercle.

Prenant un point quelconque V du cercle, formons le faisceau

VA| , V Aj , . . . « V Aj»

et menons VS.

Une droite mobile VX, issue du point V, rencontre le cercle en un point mobile X, et les droites conjuguées de VS, relativement au faisceau considéré, correspondent aux positions de X pour lesquelles est satisfaite la relation

sin XVA, X sin XVA, X • . . X sin XVA-

. „v^ro — ^ ' = "Max. ou min.

sin^'XVS

Cela posé, prenons un nouveau sommet V sur le cercle, formons le faisceau

V A| , V Aj , . . . , V Ap

et menons V S.

Si nous joignons V au point mobile X, les angles XVS el XVS seront égaux ou supplémentaires, et l'on aura

sin XVS = sin XVS.

GROCPBS ASSOCIÉS SUR LES CONIQCBS. l8f

De même y

smXVAt = sinXV'A.,

sinXVA, = sinXV'A,,

sinXVA^ = sînXV^A^. On a donc, pour toute position du point X,

sinXVA, X sinXVA, X . . . X sin XV A ^

sin^XVS

sin XV^A. X sin XV^A. X > . . X siaXV^A ^ "■ sin^XVS

Les deux membres de cette équation, dans laquelle X est variable, deviennent en même temps maximum ou minimum.

Par conséquent:

Lejs positions de X qui correspondent aux droites conjuguées de VS, relativement au faisceau VA, , VA,, . . . , VA^, correspondent aussi aux droites conjuguées de VS relativement au faisceau VA., VA,, . . . , VA^.

Désignons par

Bi, Bj, . . . , B^-i

ces positions de X , nous dirons que les points B, , Ba ,.. , B^^», sont les conjugués de S relativement au système de points A, , Aj, . . . , A^, et nous énoncerons comme il suit la propriété qui vient d'être démontrée :

Étant donnés, sur un cercle , un système de points, un autre point et ses conjugués relativement à ce système, si l'on joint à ces derniers points un point quelconque du cercle, on forme un faisceau de droites, une autre droite passant par le sommet du faisceau et les conjuguées de cette droite relativement à ce faisceau.

iSï LIYRB VII. — CHIPITAB II.