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Introduction générale

chapitre de la physique, la géométrie est une science exacte? Par la possibilité de traduire la géométrie en analyse. Il faut regarder la forme géométrique donnée parfois à un raisonnement comme ne faisant qu'exprimer un calcul; c'est un système de notation qui peut être plus commode et plus élégant dans certains cas, mais dans ces cas, si la simplicité de la démonstration vient du langage géométrique employé, sa rigeur et sa précision ne viennent que de la traduction algébrique sousentendue ; Texistence possible d'une géométrie exclusivement analytique fait l'exactitude réelle de la géométrie ordinaire. Cette manière de voir est pleinement confirmée par l'usage que fait la géométrie moderne des éléments imaginaires et des éléments rejetés à l'infini, éléments qui, au point de vue strictement géométrique, c'est-à-dire au point de vue des phénomènes de l'étendue, n'ont évidemment aucune réalité. Les figures ne jouent pas d'autre rôle dans les traités de géométrie que les dessins schématiques dans les traités d'histoire naturelle: elles représentent; les appels à l'intuition ne sont que les substituts de calculs possibles et n'interviennent que parle raisonnementanalytiquedont ilssontune notation condensée : ils abrègent; les apparences graphiques acceptées comme définitions initiales ne sont que des métaphores suggestives, dontle sens analytique est seul réellement actif dans la construction de la science : elles font voir. Voilà ce qui constitue, en dépit du manque de rigueur qui paraît inhérent à l'usage de l'intuition, la solidité inébranlable et l'exactitude absolue de la géométrie. En définitive, la géométrie n'est qu'un calcul masqué, la seule vraie géométrie est la géométrie de Descartes, et la géométrie ordinaire, si on ne la considère pas comme une simple traduction de cette géométrie abstraite, en est seulement une application à l'étude de quelques phénomènes physiques. Concluons donc et pour cela fixons notre attention sur la véritable géométrie qui est la géométrienotation : l'algèbre sous-entendue en fait la valeur logique, le langage graphique adopté en fait la puissance explicative et la signification physique.

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a Un raisonnement géométrique peut toujours être lu comme une page d'analyse écrite dans un langage particulier. Les lois intuitives de rétendue ne sont alors que des manières de parler; les aperceptions immédiates sur les propriétés de l'espace ne jouent qu'un rôle de formules et, par exemple, les noms géométriques, sous lesquels on désigne les contours imaginés par Cauchy pour figurer la marche d'une variable complexe ne retirent pas à ces derniers leur fonction naturelle de purs symboles. Voilà notre dernière conclusion. Cependant la géométrie cartésienne n'est pas seulement un système de calculs abstraits : c'est aussi une application de ces calculs à la théorie de la situation et de la configuration des corps. Distinguons bien ici . L'application consiste à trouver une interprétation des calculs : on veut leur attribuer un sens concret. On a appelé droite telle loi de correspondance entre deux séries continues de nombres, on a appelé sphère telle autre loi de correspondance entre trois séries continues de nombres et il s'agit de reconnaître que ces définitions abstraites conviennent à telles formes sensibles de l'étendue et peuvent servir à les représenter. 11 ne s'agit là que d'effectuer une traduction : il ne saurait donc être question de rigueur, mais simplement de commodité. Descartes a> nous le savons, indiqué un moyen facile d'accomplir ce passage de l'idéal au réel : il découle de la correspondance intuitive qui existe entre un système de deux nombres et le minimum visible qu'on appelle point. De l'aperception de cette correspondance et de l'aperception de quelques autres semblables en petit nombre, il est aisé de déduire tout le reste du dictionnaire cherché. Cette remarque nous ramène encore au même résultat : la certitude des théorèmes est due à ce qu'on peut les regarder comme expression d'une identité analytique et leur sens concret résulte du langage spécial dans lequel on les formule.

— i( L'étude critique de la géométrie se trouve ainsi achevée, au moins dans la mesure qui nous est utile. Que dire maintenant sur la mécanique cinématique ou dynamique — qui ne soit une répétition des

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remarques précédentes ? Un point matériel n'est qu'un pointgéométrîque auquel est attaché un coefficientnumérique; une force n'est quela notation d'un mouvement possible. Ces exemples, que l'on pourrait multiplier, montrent ceci : les concepts fondamentaux de la mécanique ne sont que des concepts analytiques auxquels des noms physiques, attribués par l'intuition, donnent une puissance de représentation et une fécondité d'explication qu'on ne leur soupçonnait pas. On verrait de même que les postulats mécaniques, tels que le postulat de l'inertie ou le postulat de l'égalité de l'action et de la réaction, sont identiques dans leur nature et dans leur fonction aux postulats géométriques.

« La géométrie et la mécanique sont des parties détachées de la physique plus avancées que les autres à vrai dire et devenues autonomes par suite de leurs progrès; mais elles ne constituent encore que la préface de cette science vers laquelle est orienté tout le développement de l'analyse et qu'il nous faut donc étudier maintenant en elle-même. Pénétrer le mécanisme des phénomènes donnés par la nature jusqu'à pouvoir en reproduire à volonté l'évolution en soi, construire une idée des choses qui transforme les sensations venues de l'extérieur en conceptions purement rationnelles dont la pensée dispose à son gré, combiner dans ce dessein un équivalent mental de chacune de ces réalités confuses dont l'existence seule est d'abord vaguement perçue, prendre ainsi graduellement conscience de l'univers, tel est dans sa généralité le but poursuivi par le physicien. Comment ce but peut-il être atteint? l'examen le plus superficiel indique a priori deux procédés possibles. Il y a d'abord la constatation directe, ce que Bacon appelait l'interrogation de la nature : c'est la méthode expérimentale, si heureusement employée en ce siècle et seule capable en effet de procurer une base solide aux tentatives d'explication. Il y a ensuite la prévision logique des faits à partir des données subjectives, la divination rationnelle des événements physiques et l'imposition des lois de l'esprit au monde : c'est une méthode moins sûre, mais bien séduisante et seule propre en toute rigueur à créer des for-

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mules qui donnent de vraies réductions et non de simples résumés des

observations L'expérience pure est impropre à nous contenter;

réduite à ses seules ressources, elle ne conduirait jamais qu'à dresser une liste de faits catalogués; or un simple inventaire ne nous satisfait pas, parce qu'il ne nous permet pas de prévoir ni de reconstruire mentalement le développement de la série des choses; il faut donc tout au moins interpréter l'expérience, et une interprétation d'expériences n'est pas autre chose, à qui sait concevoir le calcul en dehors de la notation algébrique, qu'une construction de théorie; voilà pourquoi la physique expérimentale, malgré sa nécessité pour indiquer les principes les plus probables à la physique mathématique, est impuissante à résoudre le problème cosmique dont la recherche est l'objet de nos efforts Fournir à la raison une notion claire et distincte des faits, dégager de ce grand complexe perçu qu'on appelle l'univers les indications générales d'où l'esprit tirera ses hypothèses qui dirigeront sa marche déductive^ tel est le rôle et telle est la fonction de l'expérience. Construire un système de notation analytique propre à représenter les phénomènes, à les classer par familles logiques, à les coordonner entre eux, à les distribuer en séries et à les réduire les uns aux autres, tel est le rôle et telle est la fonction de la théorie. C'est donc bien la physique mathématique qui donne, à proprement parler, la solution du problème que nous énoncions tout à l'heure. L'astronomie actuelle, pouvons-nous dire en manière de conclusion, par les développements merveilleux de la mécanique céleste qu'elle joint à ces étonnantes méthodes de calcul et d'observation grâce auxquelles on détermine les positions des astres et les lois de leurs mouvements, réalise l'idéal vers lequel doit s'orienter la physique : l'analyse y domine et l'expérience y est réduite à établir le point de départ des déductions ou bien à procurer les valeurs numériques de certaines constantes.

— « Nous venons d'étudier la méthode analytique dans ses applications à la science des nombres et à la science des quantités physiques.

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Sa portée, on le sent bien, est beaucoup plus grande que son domaine actuel : c'est, en théorie du moins, une méthode absolument générale. Il est alors naturel de nous demander quel est au juste le champ d'application de cette méthode et voici donc un nouveau problème qui se pose logiquement à nous. Exislc-t-il des cas où, la notation algébrique étant impropre, le mode de raisonnement qui l'accompagne puisse néanmoins servir encore? La notion d'unité n'est pas la seule intuition élémentaire, le seul atome de pensée susceptible d'être posé comme source d'une série déductive : en conséquence, il y a sans doute d'autres branches de l'analyse qui se développent à côté de celle dont l'objet est l'étude du nombre entier... » — E. Le Roy et G. Vincent, Rev. de métaph. et de morale^ II® année, 5 et 6.

— « Ce que les mathématiques ont de réellement applicable, dans l'ordre des choses humaines et terrestres, se réduit à si peu de chose qu'on en est effrayé. Avec la connaissance des quatre règles on peut être le plus habile banquier du monde, et encore éluderait-on le plus souvent la division proprement dite. Bien de plus simple et de plus palpable que les notions de géométrie sur lesquelles sont fondés l'arpentage, la levée des plans, la plupart des opérations usuelles. Les Chinois qui, s'il faut en croire leurs livres canoniques, ont débuté dans la civilisation par des travaux d'ingénieurs, et dont l'industrie s'est tant développée, n'ont jamais eu l'idée de la démonstration mathématique ; et les constructeurs des cathédrales du moyen-âge connaissaient les procédés, mais nullement la théorie de la géométrie descriptive. Si l'on retranchait do l'enseignement mathématique de nos collèges tout ce qui ne sert qu'à dresser, élever et fortifier l'esprit, et qu'on y introduisît quelques notions de calcul infinitésimal, on aurait tout ce qui suffit, à la rigueur ^^Qwt les besoins du métier d'ingénieur, et ce qui suffit à plus forte raison pour

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faire une reconnaissance d'état-major ou pour commander une batterie d'artillerie. » — Cournot, Des Inst,^ p. 447.

— « On peut comparer les mathématiques à un moulin d'un travail admirable, capable de moudre à tous les degrés de linesse ; mais cependant ce qu'on en tire dépend de ce qu'on y a mis, et comme le plus parfait moulin du monde ne peut donner de la farine de froment si on n'y met que des cosses de pois, de même des pages de formules ne tireront pas un résultat défini d'une donnée insuffisante. » — Th. Huxley, les Sciences naturelles (sermons laïques).

— Deux méthodes, l'une synthétique, l'autre analytique. « La première, qui a conservé le nom de géométrique, consiste à atteindre le but par des combinaisons d*idées concrètes, se traduisant par des transformations de figures; la seconde, la méthode algébrique, consiste à résoudre des équations.

a C'est à cette seconde méthode que pourrait s'appliquer, jusqu'à un certain point, l'observation du profane Jean-Jacques, que la géométrie analytique est un moulin dont il suffit de tourner la manivelle pour en voir sortir des solutions de problèmes. — 11 serait à désirer que l'on eût, pour tous les genres de recherches, des moulins aussi utiles. Ce sont justement ces moulins que la Science cherche sous le nom de méthodes : plus ils peuvent moudre de solutions, et moins ils laissent à faire au meunier; plus ils sont parfaits, et plus ils attestent le mérite des ingénieurs. » — M. Marie, Ilist. des se. mat/i., III, p. 5.