I. — La géométrie

Dé finitions de la géométrie, — La^eom^/r«>^^/2^ra/equidominotoute s les géométries particulières et spéciales et qui^ en dernière instance, les instruit toutes, étudie la génération et les propriétés purement descriptives des figures dans l'Espace, des figures dans lePlan et des figures sur la Droite. La figure considérée, dans laquelle il faut concevoir les plans et les droites comme s'étendant à l'infini, et sans avoir égard à leurs limitations particulières ou figurées, n'est pas autre chose que le complexe des éléments qui la constituent, ou, ce qui revient au même, le complexe des positions successives et distinctes d'un même élément qui se déplace dans l'espace.

La géométrie ordinaire ou usuelle, au contraire, d'un syncrétisme raisonnable, plus accessible nu gros des hommes, et en cela d'ailleurs

(i) «c II nous paraît donc acquis que le domaine de la géométrie pure s'étend bien au delà des limites que notre imperfection physique lui fait assigner au premier abord. Et cela admis l'espril se rend compte de l'existence possible de mondes et de vies infiniment supérieurs aux nôtres. Quel champ ouvert à l'esthétique, par exemple, et imagine-t-on ce que serait une hyperstatuaire à quatre dimensions ou plus encore 1

« On est aussi conduit dans cette voie à une notion nouvelle de l'infini ; nous ne connaissons effectivement que l'infini de ]a droite, du plan ou de l'espace à trois dimensions. Mais envisageons l'espace à un nombre de dimoisions de plus en plus grand, et nous nous élèverons à l'infini de l'espace à un nombre infini de dimensions. • — Faiuon, Nouu. An, de Mathém., 1895.

Celte métaphysique de la mathématique appliquée à la géométrie n'est pas au fond plus singulière que l'esthétique proprement dite ou la métaphysique de la littérature appliquée à l'art. Avec cette manière de voir et pour autant qu'ils s'y conforment, le mathématicien et l'artiste seraient Considérés comme des êtres d'exception, aberrants, et qui n'habitent plus l'espace réel.

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conlorino à la raison pratique, étudie les propriétés métriques et graphiques des limitations particulières et figurées de l'étendue. Après avoir nommé et décrit ces limitations particulières elle en étudie les propriétés, soit et au point de vue théorique en établissant les relations qui font dépendre les unes des autres les difFérenles parties de la figure; soit, et au point de vue pratique, en enseignant à les mesurer, à les calculer et à les graphier.

Ces limitations particulières et figurées qui constituent les figures géométriques proprement dites, étant considérées au point de vue quantitatif, c'est-à-dire logistique ou de IdL théorie des ffrandeurs^soai définies en fonction de l'étendue qui est alors posée comme ayant trois dimensions: longueur, largeur, et hauteur ou profondeur. Et cela veut dire, au point de vue métrique: — l°que toute étendue corporelle ou solide de quelque forme qu'elle soit est équivalente à la même masse repétrie ou moulée sous la forme d'un cube ou d'un solide géométrique défini qui a des faces, des arêtes et des sommets, c'est-à-dire, et au demeurant, un complexe de plans, de droites et de points ; — 2° que toute étendue superficielle, quelle qu'en soit la forme, le modelé ou les accidents de surface, sei ramène' à l'étendue plane ou planifiée k deux dimensions et que, finalement, elle est équivalente à la surface d'un carré, c'est-à-dire d'une figure plane définie par ses côtés et ses sommets^ au demeurant un complexe de droites et de points; — 3^ que toute étendue linéaire, pour diverse qu'en soit la figure, est conçue comme rectifiée, c'est-à* dire ramenée à l'étendue rectiligue à une dimension et qu'elle est équi« valente à une grandeur rectiligne, c'est-à-dire et Unalement à une longueur de droite, ce qui revient à un complexe de points.

Mais l'étendue n'est pas seulement quantitative, elle est aussi quali** tative, c'est-à-dire plastique. En d'autres termes, une même masse quelconque d'étendue, tout en restant quantitativement la même,'peut prendre toutes les formes imaginables, elle peut se masser en boule ou se mouler en cube, s'étendre en nappe ou s'étirer en fils; ou bien, et si l'on

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suppose rétendue rigide et solidifiée, se tailler, se tourner, se découper de mille manières. La masse ou la quantité de matière purement abstraite, c'est-à-dire dépouillée de toute qualité physique et sensible, demeure homogène et d une densité indéterminée sous toutes ces métamorphoses.

— La géométrie ordinaire ou la science de Tétendue considérée dans les distances et les dimensions, les figures et les formes, et qui étudie la génération et les propriétés métriques et graphiques des figures, se divise en trois géométries distinctes quoique solidaires dans Tunité de la géométrie générale, c'est à savoir :

La géométrie de l'espace, ou de l'étendue considérée comme rapportée à trois coordonnées rectangulaires, ou, ce qui revient au môme, comme ayant trois dimensions,

La géométrie du plan ou de l'étendue rapportée à deux coordonnées rectangulaires, ou à deux dimensions,

La géométrie de la droite enfin, ou de l'étendue considérée comme ayant une seule dimension.

Cette division de la géométrie ordinaire en trois géométries particulières est purement de commodité, elle n'a d'autre but que de graduer l'ordre des difficultés naturellement inhérentes à nos moyens d'investigation et de manutention nécessairement bornés et successifs.

— Les figures dans l'espace, dans le plan ou sur la droite, leurs relations mutuelles et toutes les conséquences métriques ou graphiques qui en dérivent font l'objet de ce qu'on appelle la Géométrie moderne par opposition dogmatique à la géométrie ancienne, Euclidienne ou classique. Cette géométrie moderne (dont Desargues d'abord, Descartes et Pascal ensuite, sont les véritables fondateurs), qui porte aussi les noms de géométrie supérieure, de géométrie projective, de géométrie de position^ enfin, de géométrie synthétique, se distingue essentiellement de la géométrie ordinaire ou des Anciens et de la Géométrie analytique ou Cartésienne, en ce que, dans sa constitution comme science ou comme corps de doctrine, elle ne fait aucun usage de la notion de mesure ou de

La Géométrie 1(U

grandeur, non plus, par conséquent^ des applications du calcul cl do l'analyse mathématiques.

La Géométrie moderne met simplement en jeu la faculté d'imaginer et de se représenter dans et par Tesprit les relations do position qu'elle établit entre les plans, les droites et les points. En outre, et pour construire ses figures, elle emploie deux opérations fondamentales et deux seulement '.projeter et couper^ projeter d'un point fixe ou d'une droite fixe, couper par un plan fixe ou une droite fixe.

Comme toute faculté a besoin d'exercices pratiques pour se développer, un certain apprentissage de ce que, depuis Monge, on a appelé la Géométrie descriptive sera évidemment d'un grand secours. La Géométrie descriptive, qui est une fuélhode systématique, une technologie plutôt qu'une science, fait, comme la géométrie de position, un appel constant à lafacultédescreprésenter comme ausside concevoirlesfigures dans l'espace. Comme elle aussi, elle considère bien moins les relations de grandeur que les relations de position des figures ou des éléments soit les uns par rapport aux autres, soit par rapport aux plans de projection. En outre, la connaissance géométrique de la perspective ordinaire, telle qu'on la concevait avant Mongo et telle qu'on la pratique encore après lui, sera éminemment utile. C'est la perspective ou la projection centrale qui a fourni les principaux fondements do la géométrie moderne et nombre d'expressions du vocabulaire de celle-ci sont empruntées à celle-là.

— Les différents systèmes de projection géométrique qu'emploient la Géométrie descriptive, la Perspective ordinaire, la Perspective cavalière et.enfin la Perspective isométrique, sont autant do méthodes spéciales instituées pour représenter systémali(|uement sur un plan : la forme ou la configuration des objets naturels ou élaborés par notre industrie; le complexe des opérations techniques ouvrières qui comportent des épures; et enfin les conceptions de la Géométrie aux trois dimensions.

Ces méthodes font le passage de la géométrie ancienne à la géométrie

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Introduction générale

moderne, elles se réfèrent à la première sorte de figures, les figures dans respacc, lesquelles sont rapportées par le moyen des systèmes de projection à l'espace géométrique défini ou aux trois dimensions. D'autre part, ces méthodes se rattachent à la géométrie ordinaire ou classique de deux manières : théoriquement parla rigueur dogmatique de leurs définitions; pratiquement par la rigueur toute formaliste qui préside aux constructions graphiques.

— La manière particulière à la géométrie moderne, qui est de considérer les objets géométriques dans l'état le plus gênera/, si elle fortifie et éclaire véritablement l'esprit qui veut connaître, ne laisse pas que d'être insuffisante pour instruire et éduquer l'esprit qui veut agir. Autre chose est rintelligeuce de la géométrie, autre chose est Téducalion géométrique; celle-ci, qui doit se prêter en leur venant en aide à tous les développements do notre activité non plus spéculative mais pratique, c'est-à-dire à la fois industrieuse et esthétique, ne peut s'accommoder d'une pareille métaphysique, car c'est de réalités concrètes, à la fois tangibles et sensibles^ dont cette activité se nourrit et s'entretient.

En ce sens donc, ta géométrie ordinaire ou classique par son syncrétisme intelligent, et quand on a fait la part du formalisme dogmatique qui l'enserre, est bien plus efficace pour notre éducation. Malheureusement, restée trop fidèle et trop exclusivement au sens transparent de son étymologie, la géométrie est demeurée comme figée autour des seules applications pratiques qui comportent l'idée de mesure et sans tenir un compte suffisant des idées d*ordre, de symétrie et de disposition, en un mot de l'urchitectonique propre des figures en tant que figures.