II. — La géométrog^raphie

— « La géométrie comporte des figures de deux espèces : les unes, purement théoriques, u'exigent presque aucun soin de tracé; elles se composent, le plus souvent, de lignes grossièrement exécutées à la craie

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sur une planche noire, et suffisent, telles quelles, pour porter dans l'esprit la plus entière conviction. Il existe même une foule de propriétés que l'on parvient à démontrer indépendamment de toute représentation matérielle. La pensée, dans les deux cas, supplée, presque sans effort, à Tabsence comme à Timperfection do la figure,

(( Mais aussitôt qu'un dessin géométrique a un but d'utilité, dès qu'il est susceptible de recevoir une destination spéciale et pratique, celte imperfection ne peut plus être tolérée; il est indispensable que les lignes y soient bien droites et bien déliées, les cercles parfaitement ronds, les courbes fidèlement reproduites et purement tracées, les intersections distinctes et rigoureusement obtenues, les mesures exactement relevées et convenablement appliquées; enfin, tout doit approcher, autant que possible, de cette perfection absolue qui fait l'essence des conceptions géométriques, et sur laquelle repose toute la rigueur des démonstrations.

« Ces dernières remarques se rattachent plus particulièrement à la science des projections en général; on parvient à les mettre en pratique par le moyen de l'art du trait.

« Cet art est celui qu'exercent dans le cabinet les architectes et les ingénieurs; et, dans les grands chantiers, les appareilleurs, les. charpentiers, les constructeurs de navires, en un mot, toutes les professions savantes qui ont pour but de donner des formes rigoureuses à la ma^ tière brute.

(( Quand un dessin ressort de l'art du trait, on sait qu'il prend le nom d'épuré. » — Cousineky, le Calcul par le Trait. 1840.

— « Le TRAIT ou dessin graphique de la charpente, tel qu'il est convenable de l'exécuter sur le papier pour en étudier les principes avec fruit, diffère essentiellement du tracé des épures sur le terrain.

(c Dans le premier cas, il faut que l'élève s'attache avec une rigoureuse exactitude à représenter chaque morceau do bois qui entre dans la composition de son dessin, sur toutes ses faces, avec les détails de

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toutes ses coupes j'oints et entailles^ aQn de se bien pénétrer de sa forme, de la place qu'il doit occuper, de son importance, et des rapports que tous doivent avoir entre eux.

a Dans le trâcé des épures, il faut au contraire que le praticien qui l'exécute apporte toute son attention à faire ce travail |le plus simplement possible : il faut qu^il évite les opérations longues et minutieuses de récole,pour les remplacer par des procédés simples et expéditifs qui soient à la portée des ouvriers d'établissement. Chaque morceau doit y être représenté par une ligne seulement; mais il faut qu'il voie par la pensée ce morceau dans la position et à la place qu'il doit occuper, et il faut en plus qu'il fasse comprendre cette position aux ouvriers qui travaillent sous sa direction au moyen d'un explication faite le plus brièvement possible.

« Ce talent d'exécution, que les ouvriers appellent I'orient, demande pour être acquis une grande habitude de pratique jointe à la connaissance entière des principes du trait; il donne à celui qui le possède une qualité que Ton peut appeler la pratique de l'appareil, dans laquelle sont renfermés la connaissance des principes de la théorie et l'art de les appliquer judicieusement aux procédés de la pratique. » — Eyerre, Alphabet du charpentier, Introd., p. 28. Paris, 1855.

— La géométrograpiue ou l'art des constructions géométriques^ tel est le titre d'une brochure publiée en 1892 par M. Lomoine, ancien élève de Tccole polytechnique.

De ce travail extrêmement intéressant, surtout parce qu'il révèle le fort et le faible de la géométrie, entendue strictement au sens dogmatique, nous extrayons les paragraphes suivants :

A propos d'un mémoire sur le même sujet et publié en 1888, l'auteur s'exprime ainsi dans l'introduction : «... Nous venions d'avoir l'idée générale de la mesure de la simplicité dans les sciences mathématiques, raisonnements et constructions; nous y avions développé l'application à l'évaluation de la simplicité des constructions faites avec la règle et le

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compas, en partant des constructions séculairement classiques adoptées comme constructions fondamentales, et nous avions appliqué notre méthode à l'évaluation de leur simplicité, aGn que l'on puisse adopter les symboles de ces constructions pour évaluer la simplicité des solutions d*un problème quelconque. Ce but, nous l'avons rempli eu ce qui concerne les solutions classiques examinées. Nous étions loin do soupçonner que ces constructions fondamentales étaient pour ainsi dire toutes à réformer et à réduire, même les plus simples, comme celle de : mener par un point donné une parallèle à une droite donnée j de sorte qu'il faut les reprendre pour donner une base réelle aux applications de notre théorie; c'est cette étude que nous faisons aujourd'hui en y ajoutant la notion, plus importante encore que celle de Xdi. simplicité^ do Inexactitude des constructions. Dans le dit mémoire, quelques-unes des constructions d* application, comme, par exemple : mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut prolonger les côtés jusqu'au sommet^ ne sont pas les plus simples et ce sont les plus simples que j'aurais dû rechercher, mais je n'étais pas encore habitué au maniement de la méthode qui est beaucoup plus délicate à appliquer sans erreur que Vextrême simplicité de son exposition no peut le faire pressentir; je prenais instinctivement pour types les constructions les plus simples à exprimer comme étant les plus simples à tracer, sans avoir encore remarqué qu'il n'y avait aucun rapport entre cette simplicité d'expression et la simplicité réelle de l'exécution... »

(( Toutes les constructions fondamentales donuéesdepuisEuclide dans les géométries élémentaires sont dans la dépendance étroite des théorèmes qui ont servi aies établir, et les géomètres nese sont occupés que de la simplicité toute spéculative du raisonnement et de son expression.

« Le géomètre cherche la simplicité de la phrase, do la déduction, de « ridée ; siTénoncé delà construction qu'il indique est simple, il dit : « la construction est simple;» c'est de cette simplicité dont on s'est exclusivement occupé jusqu'ici. L'art de la construction géométrique

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OU géomclrograpliie se place à un tout autre point de vue qui, quoique n'ayant point été remarqué jusqu'ici, repose sur des principes d'une simplicité extrême; son importance tient, non principalement au temps, qu'en le pratiquant, on peut gagner dans la construction d'une figure, ce qui, à un certain point de vue est un détail, mais surtout à l'exactitude plus grande qu'il permet d'atteindre en réduisant au minimum le nombre des opérations à effectuer. Enfin, il présente l'avantage d'être un crilérium pour juger de lasimplicité d'une construction. Le besoin de ce critérium sera démontré quand on remarquera que la plupart des conslructions célèbres par leur simplicité et leur élégance ne sont pas ordinairement les plus simples à construirequi soient connues. On les a crues simples parce qu'elles s'énonçaient simplement en faisant image et se retenaient sans difficulté.

«Nous n'avons pas eu pour but, dans l'étude de la simplicité et de l'exactitude des constructions, de créer quelque cbose qui correspondît exactement aux cas de la pratique, nous croyons du reste la chose impossible pourbeaucoup de raisons... les opérations sont en réalité, quelquefois impraticables, quelquefois fort difficiles; aussi l'appréciation de toutes les combinaisons diverses qui peuvent se présenter de cette façon écîhappe bien évidemment à toute mesure. Du reste, rien que ce travail, oùsont simplifiées effectivement parnotre méthode les constructions fondamentales scculairement admises, de la géométrie, suffit pour établir son utilité, car il est difficile de croire que si l'attention des géomètres avait été attirée de ce côté, ils eussent mis comme à plaisir de toute antiquité, dans les traités didactiques, des types de construction compliqués, s'ils avaient pensé qu'il en existât de plus simples.

« J'ai dit que les géomètres n'avaient jusqu'ici ctierché que la simplicité spéculative du raisonnement et de l'expression, qu'ils n'ont pas paru soupçonner que la simplicité delà construction réelle était toutaulre.

« Cela vient évidemment de ce que les géomètres construisent peu en général, et Varl de la construction n'a pas eu jusqu'ici de place dans la

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géométrie : 1° parce que les géomètres spéculatifs ne s'en sont jamais occupés ;2° parce que les dessinateurs de profession n'ont en général que très peu besoin de ces subtilités dans les constructions usuelles, de leur métier, qu'ils doivent avoir Tesprit plus appliqué à la pratique proprement dite qu'à des recherches théoriques.

« Il n'est point surprenant que la simplicité du raisonnement spéculatif ne corresponde pas très fréquemment à la simplicité de la construction : 1** parce que le lexique géométrique permet do condenser souvent en un mot des opérations plus complexes; 2"" parce que le raisonnement est libre de toute entrave, tandis que la construction est assujettie à se servir de certains instruments déterminés, la règle et le compas, au moyen desquels il faut que tout s'exécute.

« Je ne m'occupe point de Texposition do la géométrie; pour chaque question, plus elle sera concise, élégante, mieux cela vaudra, et il n'y a rien à changera l'idéal de perfection que le géomètre doitpoursuivre ; je vise autre chose, car, à côté de la solution spéculative d'une question, il y a la construction effectuée decelto solution, et la façon de réaliser les constructions constitue une branche particulière de la connaissance, un artdont on no s'est jamais occupé. Dire que lesconstructionsgéomctriques ne sont, au fond, que spéculatives, c'est dire qu'on ne les exécute jamais. C'était vrai pour les Grecs; s'ils traçaient dos figures en croquis sur le sable, la chose servait simplement à aider le raisonnement, mais ce n'était pas de la construction. Cela explique qu'eux, si affinés, si ingénieux dans leurs spéculations géométriques, n'aient point eu Tidéo de la géométrographie, qui n'avait pas d'objet puisqu'ils ne faisaient pas d'épurés; nous disons, nous, une construction faite au moyen de la règle et du compas, les Grecs disaient une solution possible avec la droite et le cercle, notre expression indique les instruments de la construction, la leur les données spéculatives. L'idée si simple et si naturolio do la .géométrographie n'est pas née plus tôt, précisément parce que la géométrie nous vient des Grecs, que nous avons naturellement suivi leurs

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traces, adoplé leurs molhodes, développé leurs conceptions, etc., sans imaginer qu'à la hase il se trouvait undétail auquel ils ne devaient pas avoir songé, puisque son objet : la construction géométrique effective, n'existail pas pour eux. Aujourd'hui, la géomélrographie s'impose, au contraire, car l'on utilise pratiquement beaucoup de constructions géométriques et des plus délicates dans les ateliers de précision, pour les machines, etc.. »

— Le mot Géomélrographie, proposé par M. Lemoine, est un mot bien fait. Il est commode, il est même nécessaire, du moins tant que durera la tradition disciplinaire et scolastique qui, dans l'enseignement de nos écoles, préside à notre éducation géométrique et graphique.

La géomélrographie considérée comme corps de doctrine se compose de trois parties :

La première partie, fondamentale, a pour objet le trait de la géométrie de la ligne droite et du cercle, et par conséquent le tracé des figures qui en procèdent interprété au plus près de la rigueur spéculative et conformément à l'esprit de l'enseignement géométrique tel qu'il est institué dans nos écoles.

La deuxième partie a pour objet le trait de la géométrie descriptive et de ses applications a la théorie des ombres et du lavis, à la perspective, à la coupe des pierres et de la charpente, et généralement au dessin de Tarchitecture et des machines, opéré conformément h la doctrine de Monge et de ses disciples.

La troisième partie enfin a pour objet la « représentation des forces par des grandeurs géométriques, ce qui permet de transformer les questions de statique en simples problèmes de géométrie appliquée, et d'arriver, par suite, à des solutions souvent beaucoup plus simples que celles do l'analyse algébrique, dans les c8Cs notamment où certains éléments à déterminer sont des grandeurs géométriques, qui doivent, en définitive, être reportées sur des plans (1). » Cette méthode, surtout em-

(j) F. RErLAux, le Constructeur , p. 77. Nous ne saurions trop recommander la Cinématique

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p'o5^ée par les ingénieurs elles constrncleurs do machines, porte difTcrents noms : Calcul par le trait, Calcul graphique, Arithmétique graphique ou Arithmographie, Graphostatique ou enfin Statique graphique. Celte méthode est précisément Tinverse du calcul géométrique, qui a pour but de représenter par les notations de l'algèbre les constructions mêmes de la géométrie analytique et qui diffère de la géométrie analytique en ce qu'elle s'attaque directement aux figures sans passer par l'intermédiaire des coordonnées carlésiennes.