III. —La g^raphique

Un traité de graphique, pour être pratiquement complet, et ce serait alors une véritable Encyclopédie^ ou ^ pour être théoriquement condensé ou abrégé, et ce serait alors une véritable iS'owme, doit comprendre, dans tous les cas, trois parties essentielles, savoir : /a graphique des lieux, la graphique des figures et la graphique des formes.

I, — La graphique des lieux, — La graphique des lieux a pour fondement théorique la science des mathématiques pures et appliquées et pour fondement pratique le trait de géométrie oulagéométrographie.

L'astronomie et la géodésie, la topographie et l'arpentage, les Iravaux publics et les constructions civiles, les arts et métiers en général en font autant d'applications particulières et qui donnent lieu, au sein de la société, à nombre d'industries spéciales, de professions ou de métiers infiniment variés et divers.

Ce qu'il est important de remarquer, c'est que tout le détail technique de ces applications, pour nombreux et compliqué qu*il soit, gravite pourtant autour d'une idée fondamentale très simple, à savoir que : toute mesure exacte d'une grandeur géométrique revient à la mesure d'une longueur ou d'un angle ^ et que, tout tracé exact se ramène en définitive

à remploi de la règle et du compas,

du môme auteur (Paris, i^??)* Le^ remarquables considératioas philosophiques qui y sont coalenues donnent à ce livre un intérêt puissant.

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a La mesure de la longueur ou de Tctendue linéaire, la mesure d'un angle ou d'un arc de cercle s'opèrent par superposition^ c'est-à-dire par le procédé de mesure le plus grossier de tous.

(( A ce procédé élémentaire de mesure, la construction géométrique et le calcul fcmdés sur une première intuition sensible rattachent par une suite de définitions et d'identités toutes les mesures que l'on peut prendre dans l'espace aussi bien pour les recherches les plus délicates de la science que pour l'application aux besoins les plus vulgaires. C'est ainsi que, dans Tarpentage, la géodésie, l'astronomie, il faut toujours mesurer directcmcht, par superposition, une longueur et des angles. » (Cournot.)

Mesurer, calculer, graphier, telles sont les opérations fondamentales de la graphique des lieux. Les mesures sont réglées par un système métrique ou une métrologie établie par convention, et qui les traduit, pour la commodité du calcul, en valeurs numériques. Ces valeurs initiales, incorporées aux formules du calcul, établies par ailleurs par la symbolique de Tarithmétique, de l'algèbre et des autres branches de l'analyse mathématique^ et qui sont exprimées par des lettres oudeschifTres^ sont transformées en valeurs finales également numériques. Ces valeurs initiales ou finales traduites à leur tour par le trait de géométrie ou la géométrographic et graphiées moyennant l'emploi technique de la règle et du compas, fournissent dos représentations graphiques, des tracés exacts ou des épures pour servir ce que de raison.

n. — La graphique des figures, — Les théorèmes de l'algèbre avec leurs formules symboliques, les théorèmes de la géométrie avec leurs figures schématiques n'ont par eux-mêmes aucun sens concret. Ces formules et ces figures parlent donc un langage eecrct et accessible aux seuls initiés. Le grimoire des mathématiques se compose de signes qui connotent les idées ou de traits qui les représentent. Le groupement des signes en formules elle groupement des traits en figures constituent l'expression synoptique de la langue des mathématiques.

Les signes et les formules sont artificiels et de pure convention. Ils

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n'ont été inventés quo pour les besoins do la rigueur scientifique, pour se débarrasser des ambages du discours, et, en abrégeant les longueurs et les irrégularités du langage ordinaire, condenser en des écritures sèches et précises ressentie! purement abstrait des questions. Les formules sont des groupements discrets et disjoints do signes détachés et distincts, et bien que récriture do ces formules soit susceptible d'une certaine élégance et qu'une vague eurythmie semble présider à l'arrangement des signosquilesconstituont,leur seule réalité physique sensible ou la figure du signe, alors complètement indépendante de l'idée qu'il connote, l'assimile entièrement aux autres écritures idéographiques ou alphabétiques.

Les traits et les figures, au contraire, sous leur réalité apparente et sensible, contien?ieni leur idée. Ils existent par eux-mêmes et pour euxmêmes, indépendamment de l'application qu'on er peut faire pour illustrer les théorèmes de la géométrie. Il y a en eux comme une étoffe, une substance étendue et plastique qui, sans changer de nature, peut se prêter à une infinité d'autres usages. C'est par eux, en effet, que s'opère toute l'industrie des signes et des symboles, des écritures idcographiqties et alphabétiques, des tracés et des épures géométriques et technologiques, enfin des dessins figuratifs, pictograpiiiques ou artistiques.

— Les dessins, les esquisses et les croquis, les cartes et les plans, les tracés et les épures, les figures et les graphiques, les écritures et les signes; en un mot, la masse énorme d'imagerie qui traduit journellement le spectacle du momie et de l'art ou qui concourt à l'industrie des artisans et des artistes, des architectes et des ingénieurs, des savants et des scribes, se réduit en dernière analyse à des complexes de points, de traits ou de lignes.

Les images que nous percevons des phénomènes de l'univers, comme celles qui caractérisent les formes que nous donnons aux œuvres de notre industrie ou de notre art^ sont appréhendées par l'esprit et projetées sur le plan. L'activité de l^esprit venant à s'exercer sur ces représentations synoptiques, en mém(> temps que sur les procédés géo-

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métriques de notre industrie, finit, ensuite d'une analyse incessante et qui en dissèque toutes les parties, par en reconnaître les éléments vraiment essentiels et constitutifs. Ces éléments premiers et irréductibles sont au nombre de trois, et de trois seulement, savoir : la droite ou le trait tiré, segment fini de la liffne droite indéfinie et, comme elle, de rectitude absolue en tous ses points; Varc ou le trait cintré^ segment fini de la ligne circulaire et comme elle de courbure uniforme en tous ses points; enfin la recourbée ou le trait recourbé, segment fini de la ligne spirulaire et comme elle de courbure déclinée régulièrement, c'està-dire dont la courbure varie en intensité et continûment d'un point à un autre.

Parle plan, qui est la plus simple des surfaces, une correspondance s'établit comme d'instinct entre ce qui est perçu ou conçu dans l'espace et ce qui est représenté sur le plan. On passe d'une chose à l'autre par un simple mouvement de pensée. Le. point qui, abstraitement, est un lieu dans l'espace ou sur le plan, physiquement est le minimum de la perception de Pétendue. Le point sensible n'ayant ni parties, ni dimensions, ni attributs, sinon infiniment petits et nullement ostensibles, est par conséquent la plus neutre et la plus rudimentaire des figures.

Avec le plan comme support ou comme base d'opération et le point comme lieu abstrait; avec les trois traits élémentaires, qui, par leurs attributs affectifs, sont les plus simples des figures, et le point sensible considéré comme la plus rudimentaire des figures; avec les deux mouvements élémentaires, rectiligne ou de translation, circulaire ou de rotation, représentés par la ligne droite et le cercle, nous nous assurons les fondements nécessaires et suffisants de la graphique élémentaire ; en outre et enfin, parla règle et le compas, nous possédons les instruments nécessaires et suffisants pour appuyer et affermir les tracés qui en procèdent.

— L'idée de la ligne droite, la plus simple de toutes les lignes, est le point de départ de toute spéculation géométrique. De l'établissement des

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théorèmes de Thaïes, sur la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles équiangics, et de Pythagore, sur le carré de l'hypoténuse dans les triangles rectangles^ date la géométrie proprement dite^ ou la géométrie d'Euclide.

L'invention de Descartes, ou l'établissement de la géométrie analytique, qui a changé la face des mathématiques, a pour fondement essentiel la mise en équation de la ligne droite.

L'invention corrélative de Monge et de son école, ou l'établissement de la géométrie descriptive, a pour fondement essentiel la mise en projectionde la ligne droite.

Personne avant Descartes n'avait pensé à mettre la ligne droite en équation et ce fut une révolution dans la science. Personne n'a encore pensé à considérer la droite finie comme une figure, c'est-à-dire comme un objet distinct et différent do tous les autres par ses attributs de forme. De la diversité de ces attributs résulte pour la ligne droite sa 7?iise en attitude et, par suite de l'opposition les uns par rapports aux autres de ces différents attributs ou de leur composition^ résultent une multitude de figures. Tel est le fondement essentiel de toute la graphique, et, comme le dit Montaigne : « Il n'est tel que de trouver le bout du fil, on en dévide tant qu'on veut. »

IIL — La graphique des formes. —Les formes en général, ramenées à la seule catégorie de l'étendue, comprennent :

1^ Les formes purement abstraites, construites par la graphique et instruites par la géométrie et qui constituent dans les formes concrètes soit leur armature intérieure ou de soutènement, soit leur échafaudage extérieur, leur enveloppe ou leur topographie de masse.

2^ Les formes concrètes, soit purement figuratives et descriptives ou la configuration des objets naturels qui sont hors de nous, mais que notre présence nous révèle, soit les formes ouvrées que notre industrie élabore sans cesse dans leur variété infinie.

La graphique pure ou la théorie des figures proprement dites n'est

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plus de rniso ici; supposée acquise une fois pour toutes, elle est comme incorporéeou latente dans les deux grandes applications de la graphique générale: le trait etle dessin.

La graphique des formes comme la graphique des lieux sont des applications particulières de la graphique générale qui a pour ohjet la théorie des figures dans l'espace, c'est-à-dire et en dernière instance des complexes rationnels de points^ de droites et de plans. Les droites ^,^ et les plans étant conçus dans l'état le plus général et sans avoir égard

'■■i. à leurs limitations particulières qui font l'objet do la graphique appli-

' J^ quée. La graphique générale et la graphique appliquée embrassent donc

tous les problèmes relatifs à l'étendue corporelle telle que nous la concevons en nous et telle aussi que nous la réalisons hors do nous parles voies ordinaires de notre industrie.

La graphique élémentaire ne considère que les complexes de droites et de points. Le plan est le réceptacle commun de toutes les figures planes qui sont engendrées par la droite et le point. La graphique élémentaire appliquée a essentiellement pour objet les figures directement conditionnées dans le plan ou qui y sont indirectement présentes par l'artifice des systèmes de projection, lesquels relèvent théoriquement de la graphique générale et pratiquement de la géométrographie.