III. — Détermination par le trait carré

Ce troisième moyen, qui revient d'ailleurs au second, consiste à appliquer sur la Droite Tune des branches du trait carré, pendant que l'autre branche passe par le Point. La distance alors la plus courte, du Point à la Droite, est la distance du Point au centre ou à Tencroix du trait carré. Cette plus courte distance est donc perpendiculaire à la Droite. Or, pour tracer le trait carré, ou, ce qui revient au même, pour mener une perpendiculaire à une droite (et, à moins que Ton no serve mécaniquement de la règle et de Téquerre) il faut toujours déterminer

deux obliques, et c'est ce que Ton obtient aisément, quoique d'une manière implicite, en traçant du Point isole et avec une ouverture de compas prise à volonté, un arc de cercle assez grand pour couper la Droite en deux points. De ces deux points on décrit haut et bas deux petits arcs qui^ en se coupant, déterminent deux points, lesquels, étant joints par une ligne droite, donnent la perpendiculaire demandée.

De la relation établie entre le Point et la Droite extérieurs Tun à l'autre, nous pouvons conclure que le mouvement relatif d'un point dans le Plan est déterminé quand on donne les mouvemenis relatifs de

64 Prolégomènes

co point par rapport à une droite fixe dans le Plan. Ce mouvement relatif est connu à tout instant quand on donne les mouvements relatifs du point par rapport à deux points de la droite donnée. Tous les points de la trajectoire du point mobile déterminent, avec les deux points fixes, une suite de triangles.

I 2. — Le Point fixe et la Droite mobile.

Le Point considéré comme fixe est alors le pôle delà droite et réci- 1

proquement la Droite est la polaire du Point. La perpendiculaire menée I

dupôlesurla polaire, ou, cequiest la même chose, du Point sur la Droite» ,

est Faxe polaire, et la plus courte distance du Point à la Droite est la i

distance du pôle à la polaire prise sur Taxe polaire. Cette plus courte distance est aussi le rayon du cercle polaire décrit du pôle comme centre et tangent à la polaire.

La Droite considérée comme mobile autour du point fixe ou du pôle est constamment tangente au cercle polaire qui est fixe, et dont le rayon est la plus courte distance du Point à la Droite.

D'autre part, et considérant que deux points déterminent une droite, si nous prenons deux points à volonté sur la droite, nous la partagerons en deux demi-lignes droites indéfinies, et un segment fini compris entre les deux points ; or, il nous suffira de considérer ce segment, dé^ terminant de la droite entière, et de le mettre en rapport avec le Point. Tous les déplacements du segment fini, d^abord sur la Droite par le choix arbitraire des deux points, ou par son glissement sur la Droite; puispar sa rotation entière autour du point fixe ou du pôle auquel il est rattaché par les deux rayons polaires qui vont du pôle à ses extrémités, ou, ce qui revient au même, la rotation du triangle rigide que forment les deux rayons avec le segment, seront déterminants des diverses positions de la Droite entière par rapport au Point.

Soient donc donnés un Point ou pôle et une Droite ou polaire et, pour plus de commodité, la Droite étant prise horizontale ou travers.

Ch, /, Art, F — Droite et Point

Par le point P (fig. 1) décrivons une circonférence tangente à la droite, ou le cercle polaire et menons une perpendiculaire à cette môme droite

ou Taxe polaire. Nous avons ainsi un complexe formé par la Droite et Taxe polaire et invariable puisque la Droite et l'axe polaire sont perpendiculaires l'un à l'autre.

Si donc nous faisons tourner ce complexe autour du point Pou du pôle,

la Droite devient oblique à sa position première (fig. 2) et fait avec celleci un angle égal à l'angle des deux axes ou des deux rayons polaires. La Droite par rapport à sa position première, ou horizontale, devient successivement plus ou moins couchée, puis diagonale, et enfin plus ou moins penchée. A la limite, laDroite d'abord horizontale ou travers, puis oblique en barre, devient finalement verticale ou droite, c'est-à-dire d'équcrre avec sa position première. La Droite, continuant son mouvc-

66 Prolégomènes

ment de rotation, de verticale devient oblique en bande et plus ou moins penchée, diagonale et enGn plus ou moins couchée; à la limite, la Droite devient horizontale et parallèle à sa position première. La rotation continuant, la Droite repasserait symétriquement par les mêmes positions, mais en sens inverse, pour, finalement, et après une révolution complète, faire retour à sa position première et la réoccuper entièrement.

Si l'on marquait deux points sur la Droite, on déterminerait un segment fini compris entre ces deux points et compris aussi dans Tangle polaire formé par les rayons polaires menés du pôle à chacun do ces points. De même que le segment est déterminant de la Droite entière, de même aussi le triangle polaire est déterminant de chacune des positions que peut occuper la Droite dans son déplacement autour du pôle. Nous en conclurons que le mouvement relatif d'une Droite par rapport au pôle est déterminé à tout instant par deux points liés invariablement ou un segment fini; et l'ensemble des positions de ce segment et par conséquent de la Droite entière est subordonné à un faisceau de droites qui rayonnent autour du pôle sous des angles indéterminés. Si donc nous considérons le segment fini, il sera à tout instant compris entre deux rayons polaires sur lesquels il s'appuiera constamment par ses extrémités. Do plus, et si Ton considère à part l'angle polaire, c'est-à-dire les deux rayons polaires et le segment compris, ce segment, demeurant invariable, pourra se déplacer de bien des manières dans les limites de l'angle polaire. L'ensemble des positions de ce segment, qui s'appuie constamment sur les côtés de l'angle polaire, fait partie de l'ensemble des tangentes à une conique. Mais ceci nous avertit que, dépassant les bornes de la Graphique et de la Géométrie élémentaires, nous entrons dans un autre domaine, celui de la Géométrie générale, qui doit nous rester étranger.

A mesure que la Droite se rapproche du Point, le cercle polaire diminue, pour, à la limite, se réduire à un point; le Point est alors situé

Ch. /, Art. V — Droite et Point

sur la Droite, en son milieu, et c'est alors le pôle propre de la Droite.

Si Ton arrête à tout instant le mouvement continu do rotation de

la Droite autour du pôle, pour on marquer les phases successives et

numériquement distinctes, on aura autant de positions diverses de la droite initiale que l'on voudra, c'est-à-dire une suite do figures composées de 1. 2. 3... n droites subordonnées à un pôle ou centre directeur.

Pour une seule position de la droite, à savoir la position initiale, la droite, par rapport à la norme des directions, c'est-à-dire par rapport au trait carré, sera horizontale ou travers, verticale ou droite, oblique en barre ou oblique en bande et simultanément penchée, diagonale ou couchée. La droite est tangente au cercle polaire, et Ton a par conséquent un seul point de tangence (fig. 3).

Deux positions distinctes de la droite initiale, étant prises ensenible, formeront un sautoir (flg. 4) ou une jumelle (fig. 5). Les deux côtés du sautoir sont tangents au cercle polaire et l'on a deux points de tangence et un point de croisement. Les côtés de la jumelle, et puisque les droites sont parallèles, déterminent seulement deux points de tangence.

Trois positions distinctes de la droite initiale, en se coupant deux à deux, déterminent un triangle complet circonscrit au cercle polaire par les trois côtés d'un biangle (fig. 6). Si deux des positions sont parallèles et la troisième oblique (fig. 7) ou bien d'équerre (fig. 8), la figure est circonscrite au cercle polaire, et l'on a encore trois points de tangence, mais seulement deux points de croisement. Enfin, si le cercle polaire est enveloppé complètement par les trois droites qui se coupent deux à deux on a un triangle complet circonscrit au cercle par les côtés de sa maille intérieure ; et le cercle est dit alors inscrit au triangle (fig. 9). En général, ces positions successives d'une droite mobile autour d'un point fixe ou pôle déterminent un polygone complet et qui est fermé ou bien ouvert et partiel, selon que ces positions de la droite enveloppent le cercle polaire de toutes parts (fig. 9), ou seulement en partie (fig. 10), c'est-à-dire selon que la droite initiale a dans son déplacement parcouru le cercle tout entier ou une partie seulement.

Plus généralement encore et si Ion envisage la continuité du mouvement, les positions successives d'une droite mobile enveloppent cequ'en

géométrie moderne ou synthétique on appelle une cour be. Lb. courhe peut ètredéfiniecommerensemble de tous les points qui sont situés sur elle ou comme l'ensemble des tangentes qui l'enveloppent. L'élude de la nature eidespropriéiésdes formes fféométriçues engendréespar le déplaccmentd'unélémentinitial, parexempleladroite,etqui ne dépend en aucune manière des notions de force, de vitesse etd'accélération, non plus d'ailleurs quede lanature des forces ;72é^can2^2/e^quiréalisenl]esmouvements mais uniquement de la loi géométrique qui préside à leur génération, fait l'objet propre de la géométrie du mouvement ou de ce que l'on appelle

Ch. ly Art. VI — Droite et Droite 69