DROITE ET DROITE

encore la géométrie cinématique^ dont les développements sont étran- fv

gers à la graphique proprement dite. Ce qui n'empêche nullement que i

les notions premières et fondamentales tant de la géométrie ordinaire [■

que de la géométrie cinématique, ne soient aussi les notions premières t

et fondamentales de la graphique, et c'est ce que la suite de ces études 1

mettra dans tout son jour. Dès à présent nous pouvons faire remarquer

que (fîg. 11) là droite initiale, en passant de la position I à la position II, h,

s'est dédoublée et transformée en un sautoir I-II ; que (fig. 12), si Ton 1^

prend le pôle p inégalement distant des deux côtés du sautoir III, on pourra, par un mouvement de rotation de l'une des droites composantes, transformer le sautoir en une jumelle I-II' si la relation a lieu de droite à gauche, ou en une jumelle égale T-II, si la rotation a lieu de gauche à droite; la largeur de la jumelle est égale à la différence des rayons polaires.

Deux droites dans un même plan, ou bien une droite et un point extérieur étant donnés, et si l'on mène par le point une seconde ligne droite quelconque, il arrivera de deux choses l'une : ou que les droites resteront distinctes dans toute leur étendue, ou bien qu'elles se couperont en s'entre-croisant, et auront alors un point commun. Dans ce dernier cas, les droites se croiseront d'équerre ou on croix et formeront le trait carré; ou bien elles se croiseront obliquement ou de biais et formeront entre elles un sautoir. Si les deux droites ne se rencontrent pas, elles sont dites parallèles, et leur couple est wn^ jumelle.

Chacune de ces positions relatives dedeuxdroites est déterminée quand on connaît pour chacune d'elles deux points fixes. On a donc en réah'té un groupement de quatre points dont les relations diverses sont déterminantes des couples de lignes droites qui passent chacune par deux de ces points. Or, ces points pris trois à trois déterminent des triangles \

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rigides et qui sont liés deux à deux par une base commune. C'est donc finalement par deux triangles à base commune que la situation relative de deux droites sera déterminée.

Le quadrilatère dos quatre points implique six lignes droites : quatre d'entre elles, à savoir : aa et bb\ ab et a'é' sont des côtés, et les deux autres ab* et ba' sont des diagonales. Les côtés opposés pris deux à deux se coupent ou sont parallèles, et les deux diagonales se coupent en croix ou en sautoir, selon que ces lignes sont d'équerre ou obliques Tune à l'autre.

La droite aa! sera déterminée par rapport à bb'; ou réciproquement bb' par rapport à aa' par le ueosples des triangles situés d'un même côté de la base commune et superposées, savoir : bb'a et bb'a* pour aa' par rapport à bb'; aa'b et aa'b' pour Aé'par rapport kaa\ De môme pour les droites a^ et a'A' qui seront déterminées par les couples respectifs des triangles a'b'a et a'A'6, aba' et abb\

Les diagonales, c'est-à-dire les deux droites passées en croix ou en sautoir, seraient déterminées l'une par rapporta l'autre par les couples de triangles opposés par le sommet, savoir aca' et bcb' ou a'cb' et acb. Mais puisque les droites se croisent, elles ont un point commun^ où se confondent deux des quatre points, il suffira donc, outre le point commun, de prendre deux autres .points un sur chacune des droites, ot un seul triangle sera nécessaire pour déterminer la situation réciproque du sautoir ou de la croix. Pour le sautoir, le triangle serait pris indifféremment dans l'angle le plus ouvert et obtus ou dans l'angle le plus

Chap. /, Art. VI — Droite et Droite 71

fermé et aigu. Pour la croix, il n'est plus qu'un seul angle droit ou rectangle.

Le mouvement relatif d'une Droite par rapport à une autre Droite considérée comme fixe est connu quand on donne les mouvements relatifs de deux deses points par rapport à deuxautres points fixes de l'autre Droite. Dans ce cas, le mouvement est fixé atout instant par les triangles que déterminent les deux points de la Droite mobile avec chacun des points de la Droite fixe.

De plus, si une figure quelconque est exprimée par la droite finie qui relie invariablement deux de ses points, le mouvement relatif de deux figures quelconques sera exprimé par le mouvement relatif des deux droites finies qui leur sont liées invariablement. Nous verrons plus tard et dans la Graphique les conséquences importantes qui découlent de celte remarque.

Le couple des deux droites demeurant invariable peut se déplacer tout entier par un mouvement de translation et parallèlement à lui-même suivant une droite directrice quelconque et qui lui est attachée invariablement. Le couple des deux droites demeurant invariable peut se déplacer tout entier par un mouvement de rotation autour d'un point fixe quelconque et qui lui est attaché invariablement. Le choix de la directrice ou de la droite de translation comme le choix du point directeur ou du centre de rotation sont arbitraires. Mais si Ton observe que les couples des deux droites ont une symétrie intérieurequi gouvernetout le système, c'est-à-dire des axes et un centre propres, le choix de la droite de translation comme le choix du centre de rotation tomberont le plus naturellement sur le pôle propre ou sur les axes propres.

h^ jumelle, formée par le couple des deux Droites parallèles, a deux axes principaux, Tun longitudinal et passant par le milieu de la bande comprise entre les deux droites, l'autre transversal etd'équerre avec le premier. La jumelle est écartelée et son trait carré formé par les deux axes principaux partage le système tout entier^ formé du plan comme

Prolégomènes

support qt de la jumelle comme figure, en quatre quartiers égaux et symétriques. De plus Tencroix du trait carré est le centre de symétrie de tout le système, par ce centre et en outre des deux axes principaux passent une infinité d'axes obliques en bande ou en barre et penchés, diagonaux ou couchés, qui reh'ent deux à deux et symétriquement tous les points en nombre infini du système tout entier,et nommément les points des Droites, les points de l'espace linéaire ou de la bande, et enfin les points des deux demi-plans. De plus encore, le centre de symétrie est le pôle de la jumelle et le cercle polaire propre est le cercle tangent aux deux Droites.

Le sautoir a deux axes principaux passés en croix ou ccartelés^ qui bissectent les angles plans opposés etune infinitéd'axes obliques enbarre ou en bande et penchés, diagonaux ou couchés. Tous les axes se croisent en un même point, sommet du sautoir, qui est le centre de symétrie ou le pôle du système tout entier.

La croix a quatre axes de symétrie principaux, deux linéaires et qui se confondent avec les droites, et deux angulaires qui bissectent les angles-plans ou les quartiers; la croix est donc de symétrie gironnée^ de plus elle a une infinité d'axes obliques en bande ou en barre et penchés, diagonaux ou couchés. Tous les axes, tant principaux qu'obliques, s*entrecoupent en un même point qui est le centre de symétrie ouïe pôle du système tout entier.