LE POINT. — LA DROITE. — LE CERCLE

Supposons un point marqué en un lieu quelconque du plan, ce point étant graphie, c'est-à-dire sensible à notre perception, sera réel, mais tellement petit que sa figure ou sa forme ne compte pas et demeure indifférente. Le point réel peut alors être considéré comme le signe indicatif d'un lieu, comme une droite infiniment petite, comme un cercle

Chap, Il — fLe Points la Droite^ le Cercle 73

infiniment petit, enfin comnie une figure quelconque infiniment réduite, c'est-à-dire infiniment petite et dont les attributs de forme ne sont plus discernables. Le point concret est le terme extrême, c'est-à-dire infiniment petit de la minoration d'une figure quelconque , il représente alors le point do départ, le devenir d'une figure implicite que l'on peut concevoir comme passant par tous les étals de grandeur, lesquels s'échelonnent à volonté entre Tinfiniment polit et l'infiniment grand, termes extrêmes et alors purement intelligibles de la minoration comme de la majoration d'une figure. En passant par tous les états de grandeur, la figure no change pas de forme, elle demeure invariable et toujours homogène, c'est-à-dire conforme à son type.

Deux points abstraits, marqués en deux lieux distincts du plan étant donnés, nous pouvons imaginer que ces points représentent :

1^ Deux lieux abstraits,

2^ Deux droites infiniment petites,

3^ Deux cercles infiniment petits,

4o Une droite infiniment petite et un point abstrait,

3^ Un cercle infiniment petit et un point abstrait^

6^ Une droite infiniment petite et un cercle infiniment petit.

Cela posé, les deux points peuvent être indéfiniment rapprochés ou indéfiniment éloignés : leur diiftance, c'est-à-dire la portion de droite qui les sépare sur la ligne droite indéfinie qu'ils impliquent, est alors plus ou moins petite ou plus ou moins grande suivant V échelle. Quand la distance est infiniment petite, c'est-à-dire physiquement nulle, les deux points se confondent en un seul.

Si maintenant nous mettons en relations simplement descriptives le Point, la Droite et le Cercle, en les prenant deux à deux do toutes les manières possibles, nous aurons six combinaisons binaires, savoir : lo le Point et le Point, lo Point et la Droite, le Point et le Cercle, la Droite et la Droite, la Droite et le Cercle, lo Cercle et le Cercle.

74 Prolégomènes

ARTfCLE PREMIER

i . — Le Point et le Point.

Ueux points pris ensemble et formant un couple synthétique impliquent un alignement, c'est-à-dire une ligne droite qui les contient l'un et l'autre. Les deux points partagent la ligne droite en un segment fini qui exprime leur distance, et deux demi-lignes droites indéfinies symétriquement opposées. Les deux points étant plus ou moins éloignés l'undeTautre et même indéfiniment éloignés comme dans la ligne droite entière ou infinie, ou plus ou moins rapprochés l'un de l'autre et même indéfiniment rapprochés comme dans la droite infiniment petite, leur intervalle, leur distance ou la droite qu'ils impliquent, peut passer par tous les états de grandeur depuis la droite infiniment petite et de grandeur physiquement nulle,jusqu'à la droite infiniment grande et de grandeur physiquement inaccessible.

I 2. — Le Point et la Droite.

Les relations descriptives du Point et de la Droite sont de deux sortes : 1^ — le point est situé sur la droite dont il occupe alors le pôle ou le centre et l'ensemble est pairement pair ou écartelé; 2*^ — le Point est pris en dehors de la Droiteet situé alors dans l'un des deux demi-plans ; dans ce cas l'ensemble est seulement pair, c'est-à-dire symétrique par rapport à Taxe transverse qui passe par le point et est perpendiculaire à la droite.

I 3. — Le Point et le Cercle.

Les relations descriptives du Point et du Cercle sont au nombre de quatre : 1* — le Point est au centre du Cercle, l'ensemble est alors de symétrie radiaire comme le Cercle seul, c'est-à-dire qu'il a un nombre d'axes de symétrie indéfini se croisant par leur milieu au centre du cercle ; 2<* — le Point est sur la surface du Cercle entre le centre et la cir-

Ch. 11^ Le Point, la Droite, le Cercle 75

conférence; 3" — le Point est sur la circonférence du Cercle; i» — enfin le Point est en-dehors du Cercle. Dans ces trois derniers cas Tensemble est pair ou symétrique par rapport à un seul axe qui est la ligne des contres. Dans le second cas on a trois distances, Tuno du Point au centre et les deux autres du Point aux extrémités du diamètre; ces deux dernières distances sont additives et leur somme est égale au diamètre. Dans le troisième cas on a deux distances, Tune du Point au centre et égale au rayon du Cercle, l'autre du Point à la circonférence et égale au diamètre. Dans le quatrième cas on a trois distances, comme dans le second cas, Tune du Point au centre et les deux autres du Point aux extrémités du diamètre ; ces deux dernières dislances sont dites sous^ tractives et leur différence est égale au diamètre.