ARTICLE II

Le couple de deux points représente d'abord deux lieux distincts ; puis un lieu et le pôle ou centre d'une droite; un lieu et le centre d'un cercle; le centre d'une droite et le centre d'un cercle; le centre d'une droite et le centre d'une droite; enfin le centre d'un cercle et le centre d'un cercle.

1. — Un lieu et un lieu. Le couple implique une ligne droite directrice, puis une dislance entre les deux points.

2. — Un lieu et le centre dune droite. Le lieu et le centre impliquent une droite directrice par rapport à laquelle la droite, variable par sa diversité d'attitudes ou de positions , p( ut-ètre perpendiculaire ou d'équerre; ou bien oblique, en bande ou en barre et penchée, diagonale ou couchée; ou bien enfin se confondant avec la directrice.

3. — Un lieu et le centre dun cercle. X mesure que le cercle, d'abord infiniment petit et nëtant alors qu'un point, s'accroît ou s'étend et devient distinct quant à sa forme, les relations descriptives passent par les phases suivantes : par le point et le centre ou le cercle infiniment

Prolégomènes

petit, une seule distance ou la portion de droite qu'ils impliquent ; — le point et le cercle étant disjoints, on a trois distances, d'abord la dis* tance des deux points initiaux, puis les dcuxdistances du point à la circonférence; — en continuant de s'accroître, la circonférence du cercle passe d'abord par l'autre point puis elle le dépasse indéfiniment en Tenveloppant.

4. — Le centre (Tune droite et le centre cTun cercle. Par le centre de la Droite passent une infinité de droites qui rayonnent dans toutes les directions; autour du centre du cercle, s'épanchent une infinité de cercles tous concentriques. Or, si l'on prend d'abord deux points fixes, de distance invariable, et si Ton suppose en l'un de ces points une ligne droite, variable de position et en l'autre point un cercle variable par ses accroissements successifs, on aura entre autres les figures suivantes :

Dans la figure i, la droite est perpendiculaire sur la directrice ou la ligne des centres; dans les figures 2, 3 et 4, la droite est oblique penchée, diagonale ou couchée, et d'abord distincte du cercle, puis tangente et enfin sécante; dans la figure 5, la droite est encore sécante, mais aussi diamétrale. Quelles que soient la distance des deux points et la marche générique suivie — par le mouvement de la droite si le cercle est fixe, ou par l'accroissement du cercle si au contraire la droite est fixe, — on aura toujours les mêmes figures.

Ch. Il — Le Point f la Droite y le Cercle

5. — Le centre ctune droite et le centre d^une droite. Si au couple de deux points abstraits nous substituons deux droites infiniment petites, chacun de ces points réels contiendra en puissance une infinité de lignes droites de directions différentes; et si en chacun de ces points nous faisons passer une seule ligne droite, nous obtiendrons une infinité de couples de droites, par exemple les figures suivantes :

Par rapport à la directrice commune, on a : les deux droites d'équerre avec la directrice (fig. 6), — les deux droites de même inclinaison et de même sens (fig, 7), — une droite d'équerre et une droite oblique en barre (fig. S)»-— les deux droites inégalement inclinées en barre (fig.9), — les deux droites de même inclinaison mais en sens contraire : l'une en barre^ l'autre en bande (fig. 10), — une droite d'équerre et une droite oblique en bande (fig. 11), — les deux droites d'équerre entre elles et par conséquent l'une par le travers^ l'autre par le droit de la directrice (fig. 12).

Les droites étant supposées illimitées au lieu d'être fragmentaires^ comme elles le sont nécessairement dans les figures précédentes, ces figures se réduiraient à trois couples distincts: le premier (fig. 6 et 7) où les droites sontparallèles et forment ensemble unçi jumelle; le deuxième (fig. 8 à 11) oii les droites se coupent obliquement en sautoir; et enfin

Prolégomènes

le troisième (fig. 12) où les droites se coupent d'cquerrc ou en croix.

6. — Le centre d'un cercle et le centre d'un cercle. Les deux poinis abstraits devenant tes contres de deux cercles, il en résulte que si, dans la multitude de cercles qui s'étendent indéiinimcnt autour de chaque point, on en prend deux à volonté, ces deux cercles seront égaux ou inégaux, intérieurs ou extérieurs, concentriques ou excentriques, enfin disjoints, tangents ou sécanls.

Supposons maintenant que les deux points du couple soient siumllanément les centres d'une infinité de droites et les centres d'une infi-

nité de cercles, et prenons pour exemple le cas de deux cercles divisés en huit parties égales. Si nous menons les huit diamètres passant par le centre et les points de division de la circonférence, nous aurons ainsi deux figures entièrement égales, composées des mêmes droites et des mêmes cercles, ceux-ci s'échelonnant de part et d'autre dans la même proportion, c'est-à-dire étant décrits do part oL d'autre avec le même rayon. L'ensemble de la figure ainsi formée (fig. i3) est paircment pair ou de symétrie ccartelée.

Si maintenant on numérote chacun des huit traits, on crée pour chacun d'eux une individualité distincte et, puisque tous ces traits sont identiques, cette individualité ne peut consister dès lors que dans leurs directions respectives. Les traits étant numérotés dans le même sens, par exemple de droite à gauche pour chacun des cercles, eu suivant la

Ch, II — Le Points la Droite^ le Cercle

suite naturelle des chiffres on a la figure 14; si » d'un cercle à l'autre, on les numérote en sens inverse on a la figure 15. Cela posé, dans la figure 14 toutes les droites homologues, c'est-à-

dire qui ont même numéro d'ordre ou une position identique par rapport au trait carré, —ainsi M et 1-1, 2-2 et 2-2, 3-3 et 3-3 8-8 et

8-8 — étant prises deux à deux sonl parallèles ou forment une jumelle. Dans lu figure 13, les droites homologues ne sont plus parallèles, mais symétriques : 2-2 du premier cercle est symétrique de 2-2 du second cercle par rapport à Taxe perpendiculaire qui passe par le milieu de la ligne des centres. Dans la figure 14, toutes les droites homologues étant prolongées indéfiniment sont toujours parallèles. Dans la figure 15, toutes les droites homologues ainsi prolongées se croisent obliquement ou perpendiculairement, c'est-à-dire de biais ou d'équerre, à Texception des droites 5-5 et 5-5, qui sont dans le prolongement Tune de l'autre, et des droites 1-1 et 1-1 qui sont parallèles.

Au lieu de prendre les deux cercles égaux, si nous les prenons inégaux (fig. 16 et 17), les deux cercles seront entièrement semblables dans toutes leurs parties, et chacune de ces parties, si elles sont homo-

Prolégomènes

logucs et homogènes, c'est-à-dire de môme nature^ de même forme ou figure, seront également semblables. De plus, les parties de même nom d'un cercle à l'autre seront semblables et semblablement placées, c*est-à dire qu'elles seronlhomothéêiques^ comme disent les géomètres.

Ainsi(fig. 18) aV est homolhétique de aa, ce' de cc^b'b' de bb et

les droites qui joignent les points homologues sont également homologues et se coupent en un même point S. Dans ce cas, le point S étant extérieur au couple des deux cercles est un centre d'homothétie ou de similitude rfeV<?c/e. Les droites aa, a'a' sont vues sous un même angle

visuel, de même oa et o'a\ oc, et o'c', ca et ca' ; tous ces angles

visuels différents ont donc même sommet oculaire, ce qui est une repré-

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sentation éjective et sensible du principe purement subjectif et instinctif de la similitude.

Si, au lieu de se placer en dehors du couple des deux cercles, on se plaçait entre eux deux, Thomothétie ou la similitude seraient dites inverses. Après un demi-tour ou une convej'sion, Tœil retrouve exactement la même figure semblable et semblablement placée. En effet (fig. 19), le point de vue ou le centre de similitude devant se trouver à la fois sur la ligne des centres et sur la droite qui joint les points homologues se trouvera à leur intersection, ce qui entraîne l'inversion des points homologues : aux deux points a et é du grand cercle correspondent les points homologues £ et a du petit cercle. L'homothétie inverse se ramènerait à Thomothétie directe par la rotation dans le plan de l'un des demi-plans autour du centre S.

La démonstration de l'unité de centre S devient intuitive si l'on

Ch, ïly Art. II Al —La Droite et la Droite

répète syn^étriquernent le couple des deux cercles à droite et à gauche de S (Hg. 20) sans passer par la commodité didactique et purement

logique de la théorie des triangles semblables, laquelle, au contraire, est une conséquence du principe général et purement intuitif de la similitude propre de la droite et du cercle. C'est à la droite comme au cercle que se ramènent en définitive la géométrie et la graphique élémentaires.

§ l®^ — La Droite et la Droite.

Deux droites prises ensemble sontou parallèles ou entrecroisées: dans le pren)ier cas, on a la jumei/e, dans le second cas on a le sautoir obliquangle ou rectangle, c'est-à-dire biais ou d'équerre.

La jumelle (Hg. i) est pairement paire et écarteiée, simultanément par rapport à un axe longitudinal qui la traverse par le milieu de son intervalle, et à un axe transversal perpendiculaire à ses côtés. La droite étant indéfinie, le centre de symétrie ou du trait carré peut être pris en un point quelconque do l'axe longitudinal. Dans les limites de notre perception sensible et la figure étant fragmentaire, c'est-à-dire formée de droites finies quelconques mais réelles, il s'ensuit que l'intervalle ou la distance des deux côtés de la Jumelle est plu» ou moins

84 Prolégomènes

grande ou plus ou moins petite par comparaison avec les droites fragmentaires.

Le sautoir (Gg. 2), variable par Técartement réciproque des côtés qui forment entre eux des angles aigu et obtus complémentaires l'un de l'autre à deux angles droits, est une figure pairement paire ou écartelée par rapport à deux axes de symétrie passes en croix et qui sont les bissectrices des deux angles aigus et obtus. Le centre de symétrie est à Tencroix des deux axes, ou au point de croisement, qui est aussi le pôle commun des deux côtés du sautoir. Chacun des axes partage la figure en deux demi-plans égaux et qui peuvent être amenés à coïncidence par leur rabattement autour de Taxe, ou leur rotation autour du centre. La somme des quatre angles-plans du sautoir est égale à quatre angles droits. La somme des angles d'un même côté de Tune des droites est égale à deux angles droits, les deux angles aigu et obtus sont dits supplémentaires. Le quart de la figure, c'est-à-dire le quartier du trait carré de symétrie, comprend deux angles aigus, égaux respectivement à la moitiéde l'angle aigu et à la moitié del'angleobtusdu sautoir. Ces deux angles aigus sont dits complémentaires l'un de l'autre et leur somme vaut un angle droit. La somme étant constante, les deux angles aigus du quartier, ou les deux anglesobtus etaigu du demi-plan varient en toute proportion : c'est le pendant d'une droite divisée en deux segments complémentaires l'un de l'aulre à la droite entière.

Quand les angles du sautoir sont égaux^ les deux traits sont d'équerre ou passés en croix. La figure totale est gironnéo, elle a deux axes linéaires passés en croix et deux axes angulaires également passés en croix, soit quatre axes de symétrie (fig. 3).

I 2. — La Droite et le Cercle.

La droite, toujours considérée comme indéfinie, et le cercle pris ensemble composent quatre sortes de figures : 1® — Si la droite passe par le ceiltre (fig. 4), l'ensemble est alors écartelé par rapport à deux

Ch. II, Art. II, % 2 — La Droite et le Cercle

traits passés en croix, Tun qui passe par la droite, Tautre qui lui est perpendiculaire. La circonférence est partagée en deux demi-cercles, la droite est divisée en un diamètre et deux demi-lignes droites. 2° — La droite traverse le cercle de part en part, mais entre le centre et la cir-

conférence ((ig. 5). La circonférence est partagée en deux arcs inégaux et complémentaires lun de l'autre dans l'unité du cercle, Tun méplat, Tautre outre-passé. La droite ou la sécante est partagée en deux demilignes droites et un segment intermédiaire qui est la corde des deux arcs sous-tendus. L*onsemble est pair ou symétrique par rapport à un axe perpendiculaire à la droite et qui passe par le centre du cercle, le milieu de la corde et le milieu des deux arcs. 3° — La droite touche la circonférence et lui est tangente (Gg. G). L'ensemble est pair par rapport à un axe perpendiculaire à la droite et qui passe par le point de tangence et le centre du cercle. 4» — La droite et le cercle sont disjoints; dans ce cas, Fensemble est pair par rapport à Taxe diamétral qui, passant par le centre du cercle, est perpendiculaire à la droite (fig. 7).

ce-

Supposons (Kg. 8) une droite ab avec un axe perpendiculaire par son milieu o,cet axe sera le lieu d'une inGnité décentres, desquels on pourra

8f Proléi^omènes

tracer une suite indéfinie de cercles de rayons oa, o'a, o'a... o" a qui tous passeront par les deux points a et 6 (Qg. 8). De même, de la suite des centres échelonnés à volonté sur Taxe perpendiculaire à la droite on peut tracer une suite de cercles de plus en plus grands, tous tangents à la droite au point c et décrits avec les rayons oc, o'c, o'c. . . o" c (fig. 9). Le centre o** étant à l'infini pour la figure 8, le cercle de rayon infini passe toujours par les deux poiuts a et é, et la circonférence se confond avec la droite. Pour la figure 9, la circonférence passe toujours par le point de tangence c et, quand le centre est à l'infini, elle se confond avec la tangente.

1 3. — Le Cercle et le Cercle.

Deux cercles pris ensemble sont égaux ou inégaux^ et si Ton part de deux points ou de deux cercles infiniment petits, cela veut dire que la majoration qui donne l'être au point virtuel est égale pour chaque point, ou bien inégale et dans un rapport quelconque de l'un à l'autre. En d'autres termes et puisque c'est la grandeur du rayon qui détermine la grandeur du cercle, les deux rayons d'extension sont égaux ou inégaux ; dans ce dernier cas, par exemple, l'un des rayons est double de l'autre, ou dans tout autre rapport quelconque.

Cela posé, deux cercles distincts, situés sur une même directrice ou la ligne des centres, sont plus ou moins éloignés l'un de l'autre et même indéfiniment éloignés, ou bien plus ou moins rapprochés et même indéfiniment rapprochés. Dans ce dernier cas, les deux cercles d'abord distincts deviennent tangents l'un à l'autre et ont alors un point de commun; puis ils s'entrepénètrent, ou se coupent en deux points symétriques l'un de l'autre par rapport à la ligne des centres; puis enfin, s'ils sont égaux, ils se confondent, ou bien s'ils sont inégaux, ils se touchent intérieurement et ont alors un point de commun, pour,finalement, devenir concentriques.

CA. 7/, Art* III — La JumelUi^le Sautoir, la Croix et le Point

Les Gguros 10 à 13 sont écarlelécs, les figures 14 à 18 sont paires, et la figure 19 est radiairc. Les cercles étant extérieurs, la distance des centres est plus grande que la somme des rayons (fig. 10 et 14). Si les cercles sont tangents extérieurement (Gg. 11 et 15)la distance des centres

est égale à la somme des rayons. Si les cercles se coupent (fig. 12, 13, 16, 17), la distance des centres est à la fois moindre que la somme des rayons et plus grande que leur différence. Si les cercles sont tangents intérieurement (fig. 18), la distance des centres est égale à la différence des rayons. Si les cercles sont intérieurs, la distance des centres est moindre que la dilTérence des rayons.