LA JUMBLLR, LB SAUTOIR, LA CROIX ET LA DROITE

I l«r. — La Jumelle et la Droite,

Si par ie point des figures 1 à 4 (Art. III, 1 1) on fait passer une droite variable de position par rapport au trait carré, ou, ce qui revient au même, par rapportauxdcux côtés de la jumelle ou à ses axes,on obtient quatre sortes de figures, qui se retrouvent au fond de toutes les combinaisons particulières que l'on peut faire d'un troisième trait avec les deux côtés de la jumelle en partant successivement des figures 1 à 4.

1° — Le troisième trait passant selon l'axe de la jumelle donne la

figure 1. qui est un rebatlement équidistant ou égal, soit une tierce j de symétrie écartelée.

2® — Le troisième trait rebattu parallèlement aux côfSs de la jumelle suivant les figures 2 ou 3 donne une tierce inégale et de symétrie

paire (fig. 2).

30 — Le troisième trait recoupant les deux côtés de la jumelle suivant une direction oblique en barre ou en bande et penchée, diagonale ou couchée, donne par exemple la figure 3, qui est diagonale. Tout

ctaDt symélrique de part et d'autre de la sécante, il en résulte que les relations entre les deux formes d'angles qui constituent la ûguve 3, à savoir (iig. 5), les angles externes 2, 3, 6, 7; les angles internes 1, 4, 3, 8; les angles alternes>externes 2 et 6, 3 et 7; les angles alternesinternes 1 et 5, 4 et 8 ; les angles extérieurs d'un même côté 2 et 7, 3 et 6; les angles intérieurs d'un même côté 1 et 8, 4 et 5; enfln, les angles correspondants 1 et 7, 4 et 6, 2 et 8, 3 et 5 ; sont au nombre de cinq :

i° les angles internes d'un même côté sont supplémentaires (Set 4),

2^ les angles externes d'un même côté sont supplémentaires (6 et 3),

3o les angles correspondants sont égaux (5 = 3),

4'' les angles alternes-internes sont égaux (5 = 1),

5^ les angles alternes-externes sont égaux (6 =: 2).

40 — Lq troisième trait recoupant lajumelled'équerre, on a la figure 4 qui est de symétrie écartelée. Toutes les parties homologues de la figure sont égales : les trois droites constitutives de la figure sont égales comme infinies^ et les huit angles sont tous égaux à un droit. Le segment de la sécante compris entre les deux côtés de la jumelle mesure la largeur de la jumelle.

I 2. — La Croix et la Droite.

Si par le point des figures i à 4 (Art. III, | 3) on fait passer une troisième droite, successivement travers, couchée, diagonale, penchée et enfin droite, on obtient une suite de figures qui sont toutes comprises sous les trois types suivants :

1^ Le trait passant par le point de la figure 1, et la croix étant de symétrie gironnée, toutes les variations sont comprises dans les limites

Ch, II, Art, V,%j— Le Sautoir et la Droite

de Tangle octile, c'est-à-dîre Je huitième de quatre angles droits ou, ce qui est la même chose, la moitié de l'angle droit (fîg. 1). Si le trait sécant passe par un axe de symétrie angulaire, on a la figure 3, qui est écartelée ; si le trait passe entre un axe linéaire et un axe angulaire on a la figure 2, qui est diagonale et qui oscille entre la figure I et la figure 3.

2^ Le trait passant par le point des figures 2 à 4^ on obtient entre autres les figures suivantes : par le trait travers la figure 4, qui est la même que la figure 4 (Art. II, |1); parle trait penché, on a la figure 5, c'est-à-dire un triangle complet à maille scalène rectangle; par le trait diagonal, on a la figure 6, ou le triangle complet à maille isocèle rectangle; enfinparle trait couché on a la figure 7 ouïe triangle complet à maille scalène rectangle. La figure 4 est écartelée, la figure 6 est paire ; les figures, au fond la même, 5 et 7 sont impaires, et incessamment variables par la proportion des deux côtés de l'angle droit, laquelle varie suivant l'inclinaison de la sécante.

I 3. — Le Sautoir et la Droite.

Le champ des variations de position de la sécante, pour le sautoir, comme pour la jumelle, est renfermé dans les limites de l'angle droit ou du quartier.

!• Pour la figure 1 (Art. III, | 2), c'est-à-dire pour la sécante passant par le centre de figure du sautoir, on a les figures 1 à 8.

96 Prolégomènes

Le troisiènietrait étant euivant l'axe obtusangle, c'est-à-dire perpendiculaire à l'axe acutangle, on a la figure 1, qui est écartelée ; si les angles

ormes par les trois traits étaient égaux, on auraitla ligure 2, qui est sénaire ou à six axes de symétrie. Le troisième trait étant légèrement relevé et couché on a la figure 3 qui est diagonale, à cause que les angles de suilc sont inégaux ; ou la figure i, qui est écartelée à cause que les angles do suite sonlégaux. Le trait devenant moins couché on a la figure 5, qui est diagonale. Le trait étant diagonal, on a la figure 6 qui est aussi diagonale. Le trait devenant penché on a la Ggnre 7, qui est diagonale, puis le trait se relevant toujours, il se confond avec un côté du sautoir pour ensuite le traverser dans l'angle aigu et finalement se placer droit ou suivant l'axe acutangle du sautoir, et l'on a la figure 8, qui est ccarlelée.

2° Pour les figures 2 à G les phases principales et caractéristiques se reproduisent pour chacune des ligures choisies comme'point de départ, il nous suffira donc d'envisager seulement, et àla suite l'une de l'autre, les deux figures 2 et 3. Toutefois comme vérification et surtout comme exercice pratique le lecteur fera bien de graphîcr les autres figures qui dérivent des figures 4 et 5. Si donc nous partons de la figure 2, nous obtenons successivement: la droite sécante étant perpendiculaireà l'axe acutangle du sautoir, un triangle complet à maille isocèle et paire (fïg. 9) et pour le cas particulier oii les deux angles du sautoir initial sont doublesl'un deraulre,lafigure 10 àn:aille trjgone.c'esi-à-diroéquiangle et équllatérale et de symétrie ternaire. Le trait étant d'abord couché on a une maille scalène acutangle (fig. 11), et, si le trait est

Ch. Ily Art» V,% y — Le Sautoir et la Droite

d'équerre à un côlc, un Irianglc scalènc rectangle (flg. 12) ; puis^ le trait

se relevant, un triangle scalène obtusangle (fig. 13); puis le trait étant diagonal, encore un triangle scalène obtusangle (fig. 14). Ces quatre dernières figures sont impaires. Le trait devenant penché et parallèle à

Prolégomènes

l'undcs côtés du sautoir, ou a)a figure 15,1a mèraequela ligure 3 (Art. V, ^ l}et qui est diagonale. Le Irait se relevant encore, on a un triangle obtusangle et impair (lig. 16), puis, à la limite, le trait devient droit et selon l'axe acutangle, et l'on a la figure 1 7, qui est écartelée et la même que la figure 8.

Si nous partons de la figure 16 nous pouvons remarquer qu'elle dérive de la figure 3 (Art. III, 1 2) et qu'elle a unirait penché en bande. Si nous redressons le trait perpendiculairement à l'axe obtusangle, nous obtenons la figure 18, qui est paire et dont la maille est ua triangle isocèle obtusangle. Le trait devenant penché en barre, il vient la figure 19, de même forme que la figure 16; puis le trait devenant parallèle à un côté du sautoir, la figure 20, de même forme que la figure 15. Le trait en barre devenant diagonal, on a la figure 21, de même forme que la figure 14; le Irait devenant couché, on ala figure 22,de même forme que la figure 12; puis la figure 23, de même forme que la figure 11. A la limite, le trait devenant travers ou selon l'axe obtusangle, ou a lafigure 24, la même que 1 ou 2.