A.A'=OA, A'.\"=.AA

tous ces points .V, A". . . appartiendront à notre Assemblage en vertu de la loi générale qui caractérise la distribution régulière. Cette première opération détermine l’une des Rangées du système. 11 importe toutefois de remarquer (pie la Rangée ainsi retrouvée n’est pas nécessairement l’iinc de celles qui ont servi dans l’origine à construire l’As-semblage.

F.n dehois de la Rangée O.W .K ” prenons au hasard un Sommet B et joignons OB : si d’autres Sommets existaient entre O et B, nous ne conser-

SUR LKS SYSTÈMES UE l’OINTS ülSTBinlÉS BEGUUÈHEMKXT. *

verrions que le plus voisin de O. Ainsi nous pouvons toujours supposer qu’entre O et B, il n'existe aucun autre point appiirtenant au système de r Assemblage.

Cela posé, sur OB et OA construisons le parallélogramme OAPB; P apjwrtiendra au Réseau du plan OAB. Or, dans l’intérieur de ce parallélogramme, il pourra exister généralement un nombre Bni de Sommets, tels que m, appartenant au Réseau du plan. Dans ce cas, on devra rejeter le

point B, et le remplacer par celui de ces Sommets dont la distance à 0.\ est un minimum. Appelons-le w/ ; menons de/// la droite //?///' parallèle et égale à 0.\, et achevons le |>aralléIogramme OA/n'///. Non-seulement /// appartiendra au Réseau, mais on pourra alVirmer que le parallélogramme ( )///'/// \ u’ofTre ni dans son intérieur, ni sur ses côtés, aucun point de l’Assemblage général, sauf les quatre Sommets O, A, m, m.

Pour ne pas compli(juer inutilement la /ig. i , je reprends le parallélogramme OAPB, et me borne à supposer que le point B a été choisi île manière à s/itislaire aux deux conditions suivantes :

i“. Qu’entre O et B il n’existe aucun point de l’Assemblage ;

•i". Qu’il n’en existe pas non plus dans l’intérieur du pandlélogramiue construit sur OA et OB. Nous venons de voir qu'il existe toujours au moins un Sommet satislaisant à ces conditions.

Alors, connaissant les paramètres 0.\ et OB des deux Rangées, non-seulement nous pourrons trouver tous les Sommets appartenant à ces Rangées, mais, par les intersections de deux systèmes de parallèles menés par A, A', A*,..., et jKir B, B', B",..., nous pourrons reconstituer intégralement le Réseau du plan OAB. Remarquons que ce Réseau n’est pas nécessairement le meme que celui qui, dans l'origine, a servi à la construction de l’/Vssemblage.

.Après avoir successivement obtenu une Rangée, puis un Ré'seau, il ne nous sera pas plus dillicile de retrouver le système entier.

Nous choisirons hors du plan O.AB un Sommet D, en l’assujettissant à la condition qu’il n’existe aucun Sommet intermédiaire, ni entre O et Ü sur la ligue de jonction, ni sur la surface du parallélogramme /\ODQ, ni sur celle du parallélogramme BODR, ni dans l’intérieur du parallélipipède OAPSQDRB, construit sur les paramètres 0.\, OB, 01) comme arêtes. Ou

MK MOI K R

s'assureiv'i, coiiime nous l'avons fait j)our le point B, dans le cas du plan, ipip ces conditions sont en effet réalisées.

Il est nn moyen simple d’obtenir directement le point I) ; il consistes faire mouvoir un plan géométrique parallèlement à lui-incme, à partir il'iine position initiale dans laquelle il coïncidera avec le plan OAB. Dès que ce plan, ilans son mouvement de tran.sport, atteindra nn premier Sommet de rAssemblagc, on l’adoptera comme étant le point cherché, et l’on fera de la distance OD le paramètre de la troisième Rangc'c OÜD'D "

I.a solution que nous venons de donner prouve que l’on peut résoudre le problème I d’un très-grand nombre de manières diirérentes, et meme il n’est pas diflicile de voir que le nombre de ces solutions est infini. Kn eflèt, le plan DQSIl jouit, dans le système de tous scs parallèles, de la propriété d’être aussi près (|iie possible du jilan OAB. Si nous considérons un Sommet quelconque, tel que S, appartenant au lléseau que supporte ce plan, il est évident que nous pouvons remplacer la Rangée OD par la nouvelle Rangée OS; nous obtiendrons alors tous les points de l'.Assemblagc donné, au nioven des intei'sections du systi'inc des plans parallèles à 0.\B, |)ar le système des droites meiii'cs de charpie point du Réseau ( >.A A'. . . BB'. . . parallèlement à ( >S.

De nicnie, en prenant <JS et f)A, on OS et f)B pour Rangées primordiales, on pourrait reconstruire r.\ssemblagc, en prenant pour intermédiaire le Réseau du plan OAS ou celui ilii plan (.)BS, ce qui nous tloimerail de nouvelles solutions ilii problème ; cl puisque le nombre de Sommets d’un Ré-scau est infini, le nombre rie ces soliitioiLs l'est également.

I.orsque, dans un Ré'seau, tiens Rangées OA, OB seront telles, qu’aucun Sommet ne tomije dans l’intérieur du parallélogramme construit sur les paramètres 0.\, OB de ces Rangées, je dirai rpie ces Rangt'cs sont conjuguées; et ilans le cas où elles seraient prises pour axes coordonnés, elles prendront le nom d'rt.i'CA' co/jugués.

l,e système des Rangt-es parallèles à deux Rangées conjuguées O.AA', OBB',..., découpe le Btèseau en cast-s parallélogramniiques , toutes égales entre elles. J’ap[)ellerai ce parallélogramme (f)APB,y<g'. i),(OAwrB,//’". j), parallélogramme générateur ou maille parallélogrammique du Réseau.

I /espace indéfini compris entre une Rangée telle que OAAfV'"..., et sa

SUIl LES SVSTkME;S l>F. POINTS Dl.STRIBDÉs IlÉOL'I.I ÈHKMENT. ~

plus proche voisine lîPF {fig. i), recevra le nom de handc. La bande est caractérisée par cette particularité, (pi'il n’existe jamais aucun Sommet dans son iritérieiir, mais seulement sur les deux droites (jui la limitent.

Les lieux itangées parallèles qui contiennent une bande entre elles seront dites liinltroplws. \ chaque Hangée correspondent deux Hangées limitrophes, situées de cotés opposés par rapport à la Kangée donnée. Le j)lan d’une bande, ou de deux Rangées parallèles, ou, plus généralement, le plan qui contient trois Sommets, non en ligne droite, sera appelé jilan réticulaire ; il porte sur sa surface un Réseau conqilel de Sommets.

Si, dans l’espace, les paramètres des trois Rangées 0.\, OR, OC (Jiÿ- i) peuvent servir d’arètes à un parallélipipède vide de tout Sommet dans son intérieur, aiiLsi que sur scs faces latérah-s, je désignerai ces trois Rangées sous le nom de Rangées conjuguées, et sous le nom d'axes conjugués, dans le cas où l'on jugerait convenable de les prendre pour axes coordonnés.

Les trois plans qui réunissent deux à deux ces Rangées seront appelés des plans réticulaires conjugués ou plans conjugués.

Une Rangée sera dite conjuguée d'un plan réticulaire loi’sqiic, en prenant sur ce plan deux Rangées conjuguées relativement au Réseau de ce plan, elles seront conjuguées avec la Rangée donnée.

L'espace indélini coiiqjris entre un plan réticulaire et sou plus proche voisin, parmi les plans réticulaires qui lui .sont parallèles, sera désigné sous le nom de strate. Il ne peut exister aucun Sommet dans l'intérieur d'une strate.

I,es deux plans réticulaires parallèles qui limitent la strate seront dits limitrophes. A chaque plan réticulaire correspondent deux plans limitrophes qui lui sont parallèles, et situés de côtés opposés par rapport au ])lan donné.

Les trois sy.stèmes de plans réticulaires parallèles aux trois plans conjugués ;\OB, AOD, ROI) (Jig. i), découpent l’espace en celhdes [larallélipipéfiiques, toutes égales et super[>osables. J’appellerai le parallélipipède ainsi obtenu, et construit sur les trois paramètres conjugués f)A, OR, Ol), parnllélipip'ede générateur ou noyau de l'.Vssemljlage.

La juxtiq)osition de tels parallélipipèdes faces contre faces reproduit tous les Sommets de cet .Assemblage.

MKMOIRK

I .a rix.ttion de notre terminologie nous |»emiet de n-suiner les pn)[)riétés londanientides dont Jouit un Assemblage quelconque.

it Les Sommets d'un Assemblage sont rangés sur un système de plans » parallèles et équidistants, et forment, sur chacun de ces plans, un itéseau B dont la conliguration est la même sur chaque plan.

» Dans chacun de ces Késcaux, les Sommets forment des systèmes de i> Rangées parallèles, siq)crposahlcs et équidistantes.

i> Sur chaque Rangée, les Sommets sont également espacés entre eux. » Ün [jeut toujours reproduire les Sommets donnés d’un Réseau par les » intersections, deux à deux, de deux systèmes distincts de droites jiarallèles » et équidistantes : tout le plan se trouve alors découpé en cases paral- » lélograinmiques superposables, et qui ne laissent entre elles aucun esp,aee » vide.

II On peut toujours reproduire les Sommets d'un Assemblage par les in- » tersections , trois à trois , de trois systèmes distincts de plans parallèles et U également distants dans chaque système : l’espace est alors découpé en )> cellules parallélipipédiqucs, toutes égales, superposables, et ne laissant 1. entre elles aucun espace vide.

w La décomposition du plan ou de l'espace en parallélogrammes ou -> parallélipipcdcs égaux, dont les sommets coïncident avec les Sommets de i> l’ Assemblage, peut se faire d’une infinité de manières différentes. »