I) OA = «, OR
Soient Ç, »i les coordonnées linéaires des points du plan rapportées aux a.xes obliques OA, OB. Pour un Sommet quelconque P, les rapports -j 7.
Si:n LES SYSTÈMES IlE POINTS DISTRIBUES RÉOULIÈREMENT.
stTont des nombres entiers, positifs ou négatifs, que nous appellerons les ruordonnees numériques du Sommet P, et qui seront représentés par les lettres tu, n, si P est un Sommet déterminé, et par les lettres .r, v, si l’est un Sommet indéterminé du Réseau. On aura, suivant les eas,
Cl)
L’équation générale du Réseau, eoiisidéré eoimiie étant une eoiirlte plane à brandies séjiarées, et évanouissantes en chaque Sommet du Réseau, peut s’écrii-e aiiabticpiemeiit sous la forme suivante ;
sin 2 TT -t- sin ’ J T = O ,
T étant le nombre 3, i4 • '•‘J---- (iette équation est satisfaite pour ehaqiie Sommet, et cesse de l’être pour tout autre point du plan.
Problème 11. — Trouver l'équation d' une Rangée passant par l'origine et pur le Sommet P (Kg. a).
Soient rn, n les coordonnées numériques de P; l'équation de OP en coordonnées linéaires et courantes sera
ma nh
Soient les coordonnées numériques d'un Sommet quelconque appartenant à la Rangée OP; on aura
c’est l'équation en coordonnées numériques de la Rangée OP.
Si m et H avaient un plus grand diviseur commun D, le point ^
appartiendrait à la Rangée OP, et serait, de tous les Sommets de cette Rangée, le plus rapproi’hé du Sommet O; mais si m et n sont premiers entre eux, OP est le paramètre de la Rangée.
On peut mettre l'étpiation (4) sous la Ibrme (5) n.r — my = o.
XXXII/' lak,tr. 1
MKMOIRF.
Si Ton [Mise alors
et A étant des nombres entiers, premiers entre eux, positifs on néfîatifs, ré(|iiiilion devient
(7) «'.r-+-Ar = o.
Thkorèmk I, — Si ni, M (fi". 3) sont deit.v Sonwwts d'un ÊU-scau, et si, jHir un troisième Sommet f), on mène une droite On égale et parallèle h /n.M, l'extrémitc de cette droite sera un ipiairième Sommet du lîcseau.
Transportons l’origine des eoordonnées suceessivement en m et en O, sans elinngcr la direetion ties axes ; nommons « les coordotiiiécs de M par rapport aux axes meinvs j>ar m. Il résulte <les propi-iétés générales <les lléseanx et Assemblages (pageS), <]u'il existera dans le I\ésean nn Sommet de inèines coordonnées, dans le système d’axes menés par O : soit n ee Sommet. F.a droite On sera égale et parallèle à rnM.
Corollaire. — Si l’on prolonge .M/« d’une longueur m ijig- 3 ),
U sera l’un des Sommets du lléseau ; ainsi , le Sommet in est nn centre géométrique du Réseau, et il en est de même pour tons les autres Sommets.
Piioni.F.MK III. — Trouver T équation générale des lUutgées parall'eles à la Jlangée ()V (lîg. 2).
Par nn .Sommet à eoordonnées numéritpies rn' , n' menons une parallèle à OP ; son é{juation en coordonnées linéaires sera
ma Tilt ~
.Si l’on fait disparaître a du premier membre, et l> du second, on aura
a" — né y — n’ m H ’
OU, en tenant compte des équations (6),
g{x — m') -h II (,r — «') = O.
f)n aurait pu déduire directement celte équation de l’équalion ^7), en y cliangeant .r et ) en x — m' et r — n'. Donc
g.r -( liy = gni' lin.
SlîR LES SYSTÈMES DK POINTS IMSTRIBLES RÉOLîLIÈREMKNT.
OU
en désignant le dernier membre par C; (- t'sl néeessai rement nn nombre entier. Cette étjnatioii, aussi générale que possible, comprend tout le système «les Kangé«!s parallèles à OP.
dotation, tléjimtton. — Nous adopt<Tons désormais la notation [glt) pour représenter tout le système des KangtVs parallèles à la droite de ^«■«|uation (7); les nombres entiei’s g, h, positifs ou négatifs, seront les rartirlf-ristitjucs de ce système de Ratigées, relativement aux axes «les jc et des r. 1‘roblf.mI': IV. — Trouver le paramètre ries Rangées île notation (g/i). Soit J l'angle AOlî {Jig. a); soit A le paramètre de la Rangée OP «pii va de
l'origine au Sommet dont les coordonnées sont "• On aura, formule connue.
par une
et, si l'on substitue les caractéristiques g, h,
(9) A’ = A’ n' -(- g' l>‘ — 1 gh ah cosJ'.
I^RouLkMi': V. — Trouver le nombre île Sommets contenus iluns le parallélogramme construit sur les purnmèires OA, OP ou OR, OP (lig. 3).
Supp«jsons que les coordonnées numériques m et n du j)oint P soient po- •sitives. Le nombre des Rangées Rm..., B'rn. .., K'p..., parallèles à l'axe d«^.r,etqin traversent le jwrallélogrammeO.^PQ, est égal à « — i . Ce .s«*gment intercepti- entre (JP et AQ, étant égal au paramètre 0 .\, doit contenir un ■Sommet, lequel sera situé dans l’intérieur du parallélogramme OAP(^, puis- «pi’il ne peut tomber ni sur OP, ni sur AQ; donc, le nombre des Sommets contenus dans ce parallélogramme sera n — 1 . De même pour le parallélogramme OBPR, le nombre des Sommets intérieurs sera m — 1 .
Si m ou n étaient négatifs, on les rendrait positifs, par un écliange comenable des demUixes positifs avec les négatifs.
Probi.éme VI. — Trouver T équation des Rangées limitrophes de OP.
C’équation générale des Rangées parallèles à OP i“st
g.F -h li Y gni ■+■ hn ;
I i HKMOIRF
if et h sont (les iiombn’s donnés, premiers entre eux; «/', n , des nomlins arbitrairement eboisis.
( )r on sait, par la théorie dt's fractions continues, (|iie l’on |)ourra toujours déterminer /«', n de manière à satisfaire soit à l'equation
"«/' hn' = f I ,
suit à l'équation
gm' ~i hn' -=^ — I.
L’é(|uation (8) devient alors 1 1 o) gx -f- hy = 3T I ,
et représente les deux Rang(*es pp' rr' limitrophes de la Rangée OP. Il est évident que l'on ne peut avoir, dans le Réseau, d'autres Rangées plus rapprochées de l’origine O.
Autre démonstration de la solution. — Soient m, n, p, ij [fig. a) les Sommets situés daas l’intérieur du parallélogramme OAPQ, Deux d’entre eux ne peuvent (-tre à nu-me distance de OP; car, si ni et p ('taient dans ce c;as, ntp serait parallèle à OP, et sur une Rangée parallèle à OP on aurait un jiaramètre moindre <pie OP, ce qui ne peut être.
Donc, si l’on mène h*s lignes pp' ^ mm' , (/(/', nti , elles formeront le commencement de la série des Rangées parallèles à OP; ainsi, ces lignes doivent être équidistantes.
I.e nombre des Sommets contenus entre OP et A(^ étant égal à n — i I problème V), celui des bandes comprises entre ces deux droites sera égal à n. Donc OA sera partagé en n segments égaux, et l'on aura
Si maintenant on prolonge la Rangée pp' en p" jus(|u’à la rencontre du demi-axe des y négatives, on démontrerait de même, au moyen du parallélogramme construit sur OP et OR, tpie l'on a
( 12 ) Op"=^—t.
Or l’équation de pp' en coordonnées linéaires est évidemment
Op' ^Op"
SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DlSTBIBlÉS BÉOULIÈREMENT. i3
Si l’on remplace Ç, » par leurs valeurs tirées des équations (ot), O/; 'et ()// par leurs valeurs tirées des équations (i i) et (i a), il viendra
De l’autre c<)té de OP, dans le parallélogramme OBPR, il existe une autre Rangée limitrophe, la Rangée rr', formant avec OP une Itande «le nu'ine largeur que la bande comprise entre /)// et OP.
Son éqmition sera évidemment
/Lv — //IJ" = — 1 ;
donc les deux Rangées limitrophes sont comprises dans l’équation collective
n.r — mjr = ± i ,
et si l’on substitue à ni, n, les caractéristiques g, h de la Rangée OP, en remarquant que w? et n sont premiers entre eux, puistpie OP est un j>araniètre, celle-ci devient
gx -H /i r = ± I .
Problème Vil. — Dans un système de Rangées dont Ut notât ion symUo- Utjue est igh), on demande quel ruimhre de bandes de ce système est com/tris entre le Sommet à coordonnées M, N et le Sommet à coordonnées M', N'.
Concevons que la Rangée /y/ (Jig. a), limitrophe de OP, ret;oive l’unité pour numéro d’ordre; «pie la Rangée suivante mm' reçoive le n“ a, et ainsi de suite ; puis, que l’on affecte des numéros d’ordre égaux à — i , — a , — 3,..., aux Rangées rr', ss',..., situées du côté opposé.
La Rangée n“ i aura pour équation
gx -h h y — 1 .
Celle de la Rangée n" a, deux fois plus éloignée de l’origine que la pré- «•édente, sera
gx -H liy = a.
La Rangée dont le numéro d’ordre sera C aura pour équation
MKMOIBK
D'oil l’on voit que, dans l'équation (8), le dernier ineinhix- est piveisément le numéro d’ordre de la Rangée que l’on considère.
Soient doue C et C' les numéros d’ordre des Rangées passant par les Sommets fM, N) et (M', N'); on aura
C =^rM + //N,
Ainsi le nombre tles bandes intereeptées entre les deux Sommets donnés aura (»onr valeur, au signe près,
< nruUairr. — Dans le jtarallélogramme eonstruit sur les paramètres f)P, nommons {m, /<), («/, n) les coordonnées des Sommets P, P'. l.e nombre des bandes contenut's entre deux cotés opposés de ce parallélogramme sera égal, au signe jirès, à mn — nm' .
Pbobi.kmk Vlll. — 'Trouver la roiuliiion pour tpm deux liau^ées soient conjuguées.
Soient m, n les coordonnées numériques d'un Sommet P (fig. a) ; soient m' , «'celles d'un autre Sommet p •. on supj)osc »<, n premiers entre eux; on suppose aussi m' , n' jiremiers entre eux, et l’on demande la condition p<iur que OF’ et 0/> soient des Rangées conjuguées.
l.e Sommet p doit appartenir à l’une ou à l’autre des deux Rangées limitrophes de OP ; sans cela, les Rangées parallèles à OP et celles parallèles à i)p .se couperaient en des points qui ne seraient pas tous des Sommets du Réseau, et les Rangées OP, (3^ ne seniient pas conjuguées. Donc il faut qu’en ]>osant
dans l'équation (lo), celle-ci soit satisfaite; ce qui donne la condition 1 1 'l ) gm' -I- A«' = ± I ,
et si l’on y substitue les valeurs de g, h, tirées des équations (6), en
SUR LES SYSTÈMES IJE POINIS DISTRIBUES RÉGIU.IÈKEMENT. I ')
remarquant que D = i , cette condition se change en ( I 5) nm' — mn' = rfc i .
Kécijjroqnenieiit , si cette condition est satisfaite, le Sommet (w/, «') appartiendra à l’une des Rangées limitrojilies de ÜP, et sa ligne de jonction avec l’origine fonncra une Rangée conjuguée de la Rangée OP.
Si l’on substitue à m, n les caractéristiques g, h de lu Rangée OP, à m , n les caractéristiques g' , h' de la rangée O/;, on aura
<i(i) hg’ — gh' — -Jsz ï \
ve sera la condition pour que les Rangées désignées par les svinboles (;,'/<), (g'/i') soient conjuguées et reproduisent les Sommets du Réseau par leurs intersections mutuelles.
Problème IX. — Trouver la coniUliuii pour que trois Sommets (m, u\, (m', «'), {m”, n"), appartiennent à des /langées limitrophes .
Transportons l’origine en n"); les coordonnées numériques des deux autres Sommets seront (/« — m” , n — n"), {m ' — m”, n ' — n").
Pour que les Rangées allant de la nouvelle origine à ces deux Sommets soient conjuguées, il faut que l’on ait
(n — n") (/«' — m") — (m — m") (n — «*) = ±: i , c'est-à-dire, après réduction,
nm' — n'rn -t- n" m — ///«* -t- n nt” — m' n" = ± i .
Problème X. — Changer les axes coordonnés et exprimer les nouvelles coordonnées cnforu'.tion des anciennes, et réciproquement.
Soient (/«, «), (/«', n) les coordonnt’cs numériques des deux Sommets P et P' (fig.'i)', m et n sont prcmiei's entre eux, et il en est de même de m' et n .
Soient pris OP, OP' pour nouveaux axes coordonnés, et soient X , ^ les coordonnées numériques d’un Sommet M dans ce nouveau système.
•Mors, si l’on mène Mw parallèle à OP' jusqu’à la rencontre de OPw. et Mrt parallèle à OP jusqu’à la rencontre de OP', on aura
