XXXIII- Cahier
gx -h hy=i\,
(8 MKMOIRK
(li*vriiiif, <laiis !«• nouveau système,
aura èvideiniiM'iit pour valeur
I)'«)ù l'oii voit f|ue, « lorsque les paramètres «, h, c de trois Ilangées eonju* x> guées deux à deux sotit disposés de manière à li}»urer trois Idrees <pii se » tout équilibre sur le plandii lléseau.toutellangée limitrrqilieà une Hanj;ée » passant par rorit;ine déterminera, dans les paramètres de ces Rangées,
« les trois segments 7, ’ ' étant des nombres entiers positifs ou
» négatifs, .assujettis à la relation
» et alors on pourra prendre indistinctement pour symbole de la Itangée » iÿh), l’un ou l'autre de‘s symboles (g'/'), igi), {if')- ”
j\ota/iaii ù Iroi.f rar(tcl('ri\ti//i/eA . — lavrs<|u'on rapportera la position di»s Rangées du liéseau à trois axes coordonnés satisfiiisant aux conditions cpie nous venons d'indicpier, on pourra remplacer le symlade (gfi) par la notation à trois caractéristiques (ghi)-
l,a formule ( q ) prend une forme remarquable dans ce système de caractc'-rist if|ues.
■Soient {Jîg. ô'i
O \ z= tK: = h, OE = r, .\(M: = S;
un aura
-î- a cos S.
Kn substituant dans l'équation (tj) la valeur de a cos ^ déduite <le cette formule, et remartpiant que l'on a
/r -a- £,'/( = — /ti, "= -H g/t — — gi,
on trouvera, pour le carré du paramètre de la Rangée (gfii),
(■.rj.) A-’ = - J,i,r - gif>‘ - gh,:^ = - ghi (^1^ -P -H .‘r )•
TiiÉontJiE 11. — Si une Jtangee OP (fig. [i)csl contenue dans l'angle .\OR
SUR I.KS SYSTKMF.S l>E l'OI.VTS DISTRIRUÉi IlÉliULlÈREMF.NT. Il)
fhnné par deux llan^ccs conjuguées OA, 015, toutes les Rangées conjuguées de 01’ seront contenues dans le mente espace angulaire AO|5.
l’rpuons OA pour flemi-axe des .r positives, 015 pour demi-axe des y positives, et soient m, n les coordonnées numériques du Sommel I’, positives et plus grandes que zéro.
Supposons maintenant queO/^ soit une rangée conjuguée de OP, et soient
les coordonnées iinmrTiques du Sommet p; /«, et n„ sont des nombres entiers et positii's. I.a condition générale prescrite par l'équation deviendra
nni, -j- nui, = ±: i .
Or il est impossible d’y satisfaire avec des valeiii’s positives et supérieures à zéro des nombres ni,n, ni,, n,. .Ainsi, la Rangée < )p ne peut être conjuguée de OP.
Par la même raison, une Rangée telle que Oy (même figure) ne peut être «•onjuguée avec OP. Donc, etc.
rHéoRh.ME III. — I.e parallélogramme générateur du Réseau a une aire constante, de iptclque. manière tpiil soit construit.
■le désignerai, désormais, par a la surface du parallélogramme générateur d'un Réseau; soit 0,A/«B {Jig- a) un tel parallélogramme.
Les Rangées OP et Op étant conjuguées, eonstruis<.>ns sur ttP, O/», le parallélogramme OP/>®, qui sera la maille de notre Réseau, déduit île ce .système de Rangées; je dis que l’on a
aire iiŸ/rap = aire OA/«R r= m.
En effet, le parallélogramme OVisp a même base ijue OAQP; mais la hauteur est diflërente, et l’on a [équation (i i)|
OP-nr/; : OAQP ; : Op ; OA : : j ;
n étant l’ordonnée numérique du Sommet P.
-Mais, d'autre part,
OA m B ; OAQP ; : ÜB : OB” : ; i :
MEMOIRE
ao
«loue
aiir (W'S/} = aire OA /«H = u.
Dcii.fiàiic diUuiuistrutioii. — Soient (/«,«) les cooi'iloiiiiées iinintTi(|iie!< lie P, (///', n') celles <!c /J. Oiuléinontre, dans les Traités de (iéométrie analylii|iie, (jue le trianj;le joignant l’orij-ine aux deux points dont les eooi-doiinées linéaires sont (S, i*), n'), a jiour aire, si les axes eoordonnés sont
rectan>;ulaires, la valeur absolue de l’expression
et, si les axes sont ohlitpies et forment entre eux un angle S,
\insi, en posant
angle A( )B = S,
on aura, au signe près,
aire tri. 0/>l’ = isinJ {iihm'a — iiuiii'h) = j «/; si n <5 (////(' —
doue, à cause de réipiatiou (i ô),
Doue
aire tri. Op P = 5 sin S.
aire < )Por/J — ah sin S = aire OA/« lî = &>.
/'roUivnu' dénamstratUm. — Nous conviendrons de nommer dcnsitt' du llâ'icuu, le nombre des Sommets contenus dans l’unité de surface, les dimensions de cette- unité de surface étant supposées toutes les deux extrêmement grandes comjvarativement aux paramètres des Rangées (|ue l'on considère, (ieei posé, soient 3 )
