XVI KOTK SUR LES POLYÈDRES SYMÉTRIQUES
Deux polyèdres invei'ses d’un polyèdre donné P sont toujours semblablement tournés dans l’espace. Il n'en est pas de même de deux polyèdres symétriques de P, à moins que les deux plans de symétrie qui les déterminent ne soient parallèles entre eux.
CoroUaire II. — Deux polyèdres symétriques de P par rapport à deux plans arbitrairement choisis peuvent toujours être supeqiosés ; car ils peuvent tous les deux être superposés à un polyèdre invei-se de P.
Théorème V. — Dons deu.v polyèdres symctrû/ucs, les faces homologues sont égales chacune à chacune, etc. (Le reste comme au théorème II.)
C’est la proposition II du livre 6 de Legendre; elle devient évidente, puisque le symétrique est toujours susceptible de coïncider avec l’inverse, et que l’inverse jouit, par rapport au polyèdre primitif, des propriétés ici énoncées, en vertu de notre théorème IL
Du reste, la démonstration de ce théorème est rendue inutile.
Théorème VI. — Deux angles solides opposés par le sommet sont inverses l’un de l’autre.
Kn effet, le sommet commun est leur pôle de symétrie.
Théorème VII. — Le plan qui passe par deux arêtes opposées d’un parallélipip'cde le. divise, en deux prismes inverses, et les angles solides opposés sont inverses l'un de l’autre.
On démontre d’abord que les diagonales se coupent au même point; ce |K)int est donc le centre de symétrie du parallélipipède.
Si l’on considère alore les deux prismes comme deux polyèdres distincts, le centre de symétrie devient un pôle de symétrie; donc les angles solides opposés sont inverses ainsi que les deux prismes. (Propositions V et VI du livre 6 de la Géométrie de Legendre.)
Théorème VIII. — Sur lu sphère, ehaepie polygone sphérique P a son inverse p, dont les sommets sont diamétralement opposés h ceux du polygone donné. Si l'on fait tourner p de iHo degrés autour d'un diamètre de la
UË LA UÉOMI^TRIE.
sphère, le nouveau polygone sera symétrique du polygone 1* par rapport nu plan dit grand cercle normal au diamètre choisi pour axe de rotation.
Cela résulte de ce que le centre de la splière est pris pour pôle de symétrie.
Réciproquement, tout polygone symétrique du polygone sphérique P [jeut être amené à coïncider avec son inverse p, par une demi-révolution autour du diamètre normal au plan de symétrie.
MÉMOIRE
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LKS POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE
MÉMOIRE
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LES POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE
Par M. A- BRAVAIS,
l*llorBl*»Kr R A LKCOl.^ I*Ü t VT KC H M Vir t .
l)iins les reclieic'lies (|iie nous allons faire sur les polyèdres, nous lèrons alistr.ietion de leurs faces et de leurs arèles pour ne considérer que leurs smmiiels, de sorte que tout polyèdre sera pour nous une agrégation de points distincts, de noiubre limité, et distribués d’une certaine manière autour de leur centre de gravité.
Uefinition 1. — Je nommerai centre t/e symétrie d'un polyèdre un |)oint C,Jig. I , /V. /, tel, tpi’en le joignant à un sommet quelconque S du polyèdre et prolongeant CS d'une tpiantité égale à elle-même, le point j ainsi obtenu soit aussi un sommet du polyèdre; ce point s sera V homologue de S par rapport au centre C.
Tu éon ÈM E I . — Dans tout polyèdre limité, il ne peut exister (pi un centre (le symétrie.
Otte proposition , est évidente.
Définition II. — Je nommerai axe de symétrie d'un polyèdre une droite AR,y/g'. i , telle, qu’en faisant tourner le jtolyèdre d'un angle Q autour de AB, les nouveaux lieux des sommets coincideut avec les anciens. Si, par exemple, celte rot.ation amène le sommet S en S', S’ devra aussi être le lieu d'uii sommet du polyèdre, et alors S, S' seront <lils homologues l'un de l'autre, par rapport à Taxe AB.
MEMOIRE
I'héoréme II . — L’anÿlc qui restitue les lieux des sommets d'un polyètlre, dans sa rotation autour d'un axe de symétrie, est toujours commensurablc avec 36o degrés.
En effet, soit S', Jig. i, un lioniologne de S par rapport à l’axe AB : par S, S' menez un plan normal à AB, et qui coupera cet axe en c; de c, avec le rayon rS, décrivez une circonférence de cercle, sur laquelle vous prendrez
arc S"S' = arc SS', arc S^S" = arc SS', etc.
Pendant que la rotation entraînera S de S en S', le sommet S', participant à ce mouvement, viendra en S*' qui devra être aussi le lieu d'un sommet ; ainsi, non-seulement S, S' seront des sommets du polyèdre, mais il en sera de même de S", et des autres points S",... obtenus par la même voie. En répétant ainsi l'arc SS', on doit, après un ou plusieurs tours, revenir au point de départ S ; sans cela le nombre des sommets serait illimité, ce qui ne peut être. Donc on aura, en nommant K l'angle SCS', et q deux nombres entiers, premiers entre eux,
Corollaire. — Le plus petit des angles de rotation capables de restituer les lieux des sommets est^^^- En eflét, l'expression générale de ces angles est
mK. — 71. 3()o'’ = 36o“,
m et n étant des nombres entiers; or on peut toujours, déterminer m et n d'après la condition
mp — nq =
donc, etc.
Définition III. — On peut donc définir l'rtxe de symétrie une droite telle,
qu’en faisant tourner le polyèdre autour d’elle, d’une partie aliquote ^ de
3f)o degrés, la position apparente des sommets du polyèdre ne soit point troublée.
SUn I.ES POl.YÈDnES DE FOIIME SYMETHIQUE.
dénominateur q sera appelé le numéro d’ordre de la symétrie de l'are. Si l’on a fj = 2 , l’axe seia dit axe de symétrie du deuxième ordre, ou «.rc de symétrie binaire, ou, plus simplement, axe binaire. Si l'on a = 3, l’axe sera tlit ternaire, quaternaire, — Dans ces divers cas, il y aura restitution des lieux des sommets après de tour.
Définition IV. — Je nommerai pian de .ymétrie du pnlyèdrc un plan l’Q. fiÿ. I , tel, qu’en abaissant d’un sommet (juelcoii(|uc S une perpendiculaire ^p sur ce plan, et la prolongeant d’une quantité égale à elle-même, l’extrémité 1 ainsi obtenue soit aussi un sommet du polyèdre. I.es sommets S, 2 seront homologues [>ar rapport au j>lan PQ.
Définition V. — Nous pouvons maintenant iléfinir un polyèdre de forme symétrique, ou, plus simplement, un polyèdre symétrique, celui qui possédera, soit un centre de symétrie, soit un ou plusieurs axes de symétrie, soit un ou plusieurs plans de symétrie. I.e poljèdre qui ne possédera ni centre, ni axes, ni plans de symétrie, sera dit asymétrique.
Le terme de polyèdre symétrique est pris ici ilans un sens plus étendu que celui qu'on a coutume de lui donner dans la Géométrie élémentaire, oîil’on appelle polyèdres symétriques deux polyèdres distincts disposés symétriquement par ra()port à un j)lan; mais, pour nous, un polyèdre sera dit symétrique lorsqu’il satisfera aux conditions énoncées ci-dessus.
THÉonÈME III. — S'il existe deux ou plusieurs axes de symétrie, ces axes', et les plans de symétrie que le polyèdre pourrait posséder, doivent tous se couper en un meme point.
Qir le centre de gravité des sommets du polyèdre, supposés également pesants, devra évidemment, par la construction connue des centres de gravité, se trouver sur chacun des axes de symétrie, et aussi sur tous les plans de symétrie du polyèdre.
Définition VI. — T.e point de mutuelle rencontre des axes et plans de symétrie du polyèdre sera nommé centre de figure du polyèdre. Lorsqu’il existe un sc*ul axe de symétrie, lorsque tous les plans de symétrie passent par
MKMOIRE
cct axe, el qu’il n’y a pas de centre de symétrie, il n’y a pas non plus de centre de ligure.
I.c centre d’un tétraèdre l'égulier est un centre de figure, mais non de symétrie, pour ce polyèdre.
/h‘/initùm V’i[. — Deux axes de symétrie de même ordre sont dilso.res rtc rneme espèce lorsipie la configuration des sommets autour de l'un est la inême f|u’aulour de l’autre, l’oiir constater cette similitude fie configuration, on lie par la pensée les sommets du polyèdre à chacun des deux axes, et l'un fie ces deux systèmes est suppost- mobile. Alors, si l’on peut faire coïncider en même temps l’axe mobile avec l’axe fixe, les sommets mobiles avec les sommets fixes, les axes sont dits de meme espèce et directement semblables . Si les polyèdres ne peuvent se superposer pendant que les axes coincidenl, s'ils sont simplement liomolognes jiar laipport à un certain plan de symétrie, e'est-à-flire symétriipies l'nn de l’aiitie, flans le sens adopté par [.kormihi. I /éléments de Geométtie), les axes sei’ont encore de meme espèce; mais ils seront flits inversement semblables.
Deux plans tle symétrie sont de meme espèce et directement semhlubU.<. lors(|u'en faisant tourner l un d’eux autour de leur commune intersection, et permettant an polyèdre fie participer à ce mouvement, la coïncidence avec l'autre plan de symétrie entraîne la restitution des lieux des somniets. INFais lor.sf|uerégaliléparsymélrie des géomètres remplace l’ég:dité|>arco'inciflcnce, les plans de symétrie sont flits de me'mc espèce, mais inversement semblables .
I.firsf|ue CCS deux genres de similitude font iléfant, les axes on plans de symétrie sont flits d'espèces dijjèrcntcs .
Deux axes fie même espèce sont nécessairement de même oiflre; mais la réci|)rofp)e n’e.st pas nécessairement vraie.
Définition N UI. — Je nomme axe principrd un axe fie symétrie auquel tous les autres axes, s’il en existe, sont pcrpeiifliculaires, et auquel tous les jilans de symétrie, s’il en existe, sont parallèles ou normaux, ponrvfi d'ailleurs tpic l’ordre de la symétrie de cet axe principal ne .soit pas inférieur à celui de la .symétrie des autres axes.
I.orsqu'il existe tleux ou plusieurs axes satisfaisant à ces conilitions, l un
SUR LF.S POLYÈDRES DE FORME SYMÊTnjQL'K. XXV
d’eux peut être choisi aibitraircnient, el considéré eoiimie axe principal du polyèdre.
Notations. — Pour représenter synibolicpieiiient les diverses sortes de symétrie que les polyèdres peuvent comporter, j’eniploier.ii la lettre C comme désignant un centre de symétrie; oG indiquera que le polyèdre est privé d’un tel centre.
Les lettres A, L, 1/ désigneront des axes desymétrie; A% l<’, I/^ desaxes binaires; A’, L%... des axes ternaires, et ainsi de suite, l’indice supérieur inditpiant le miinéro d’ordre de la symétrie.
r.a lettre A s’appliqucni toujours à l’axe princij)al.
Ces notations sidfisent pour les axes, attendu qu’il ne peut jamais en exister plus de trois espèces dilTérentes dans un polyèdre.
Le nombre des axes de nicme espèce sera indiqué par le coeflieient cpii précètle la lettie symbole de ces axes : ainsi la notation [A*, 3L’, 31/’] indiquera un axe principal sénaire combiné avec trois axes l)inaires d’une certaine espèce, et trois autres axes binaires d’une autre espèce.
Les plans de symétrie seront désignés par les lettres II, P, P'; on affectera la lettre fl au plan de symétrie noiinal à l’axe principal A, les symboles P et P' aux plans de symétrie qui ne sont normaux à aucun axe du polyètire, et les symlmles 1*^, P''', P’' aux plans <le symétrie normaux aux axes L*, I/», IA' de ce polyèdre. Le nombre maximum d'espèces de ces plans ne dépasse jamais trois.
Le nombre des plans de symétrie de même espèce sera représenté, comme pour les axes, par le coefficient qui précède le symbole de ces plans ; ainsi [n, 3P’, 3P’’] signifiera un plan de symétrie normal à l’axe principal, trois plans de symétrie de même espèce normaux aux axes 3f.’, et trois plans de symétrie d'une autre espèce normaux aux axes 31/’.
Définition IX et divisions. — Au point de vue de leur symétrie, les polyèdres peuvent se partager en quatre gi andes classes ;
1° l’oi.YKDnES asymétriques;
2° Polyèdres symétriques dépourvus d’axes;
MÉMOIRE
3° Poi.YÈDBES SYMÉTHiQUlis A AXE PBiNCil’Ai. ; cctieclasse se divise Cil deiix, polyèdres h ajc principal d'ordre pair et polyèdres à axe principal d'ordre impair;
4° Polyèdres symétriques spiiéhoéuriques, lesquels possèdent un ou plusieurs axes, dont aucun n’est un axe principal : ils se divisent en deux groupes, les polyèdres (ptalerternaires et les polyèdres décemternaires, selon le nombre des axes teiTiaires qui leur sont propres.
