I. — Polyèdres asymétriques

Puisque ces polyèdres n’ont ni axes, ni centre, ni plans de symétrie, ils peuvent, conformément aux conventions précédentes, être représentes par le symbole

I oL, oC, oP |.

§ H. — Polyèdres symétriques dépourvus d’axes.

Théorème IV. — Dans tout polyèdre possédant un plan de symétrie et un centre de symétrie, la droite menée par ce centre normalement au plan est un axe de symétrie d'ordre pair.

Soient PQ,/ig’. a, le plan de symétrie, C le centre, Sun sommet quelconque dupolyèilre, Ca.\ la normale au plan. Par cette droite et S mene?. le plan A(}S iionnal à PQ, et contenant le sommet s bomologiie de S par ra|>port au c entre C, ainsi que le sommet S' homologue de s par rapport au plan PQ. Si l’on joint S et S', il est visible que la droite de jonction sera perpendiculaire sur CA, et que l'on aura aS'= nS. Donc la condition pour que l’axe AC soit un axe binaire sera satisfaite. L'axe AC pourrait aussi être un axe quaternaire, sénaire, et, en général, un axe d’ordre aq. Donc, etc.

Théorème V. — Lor.upiil existe deux plans de symétrie dans un polyèdre, leur intersection est un axe de symétrie.

Soit S,/ig. 3, un sommet cpielconque du polyèdre; prenez pour plan de la figure le plan mené par S normalement aux deux plans de symétrie donnés; .soient CP, Cp les traces de ces plans sur le plan de la figure. On obtiendra

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMéTBIQÜE. XXVII

l'homologue f de S par rapport au plan CP, en faisant, dans le plan l’C/?, angle SC J = 1 angle SCP = a angle jCP, Cj = CS ; de même, on aura l’homologue S' de s par rapport au plan Cp, en faisant angle S'Cj = a angle fC/J, CS' = Cj; d'où, p9r soustraction,

S'CS=aPC/>, CS' = CS.

En répëlani sur le sommet S' la construction faite sur S, on arrivera de même à un autre homologue S", pareillement déterminé par les équations polaires

S"CS' = a PC/7, CS" = CS'.

Si donc de C, avec un rayon CS, on décrit la circonférence SS'S", et si l’on porte un certain nombre de fois l’arc SS' sur cette circonférence, les points S, S', S", etc., formant un système nécessairement limité, seront les sommets d’un polygone régulier inscrit à ce cercle. Si y est le nombre de ces sommets, on voit qu’à chaque point S correspondent (j — i autres points homologues de S par rapport à la normale au plan : cette normale sera donc un axe de symétrie dont le numéro d’ordre y dépendra de la valeur de l’angle PC/7.

CoroUaire. — L’angle SCS' est nécessairement de la forme

p, (] étant des nombres entiers premiers entre eux, et, dans le cas où S, S' sont deux bomologues aussi voisins que possible, on a

SCS' =

d'après le corollaire du théorème II.

Théorème VI. — /.ej polyèdres symétriques dépourvus d'axes n'ont que deux modes distincts de symétrie, selon qu’ils possèdent un centre ou un plan de symétrie.

MEMOIRE

Car ils ne peuvent posséder à la fois un centre et un plan de syméti-ie, en vertu du théorème IV, ni deux plans de symétrie, en vertu du théorème V. Ces symboles de ces deux modes de symétrie seront donc

[oL, C, oP),

[oL, oC, P|.