X.XXIir Cahier. C

MFMOIHK

I^e iMi'ullélipipède construit sur les paramètres de ces trois Rangées est un des parallélipipèdes générateurs de l’Assemblage : les trois faces qui s'assemblent à l'nrigim; Ibnnent trois [ilans conjugues ayant [>our plans limitrophes les trois autres faces.

Théohême XXXIII. — Si l’un reni/tUirc le système des trois liangées ronjnguêes OA, OH, Ol) (lig. ty) par le système des trois Rangées conjuguées OA', OH, Ol), le volume du parallélipipède ne sera pas altéré par ce changement .

F.n effet, la droite AA' sera située dans un plan parallèle au plan HOl); ainsi, les j>arallélipipèdes générateurs, dans les deux systèmes «l’axes, auront la même base OHH'I), et leurs hauteurs seront égales.

'I'héorèmf. XXXIV. — Si l’on substitue au système des trois Ra/igées ronjuguéesOX, ( )H, OI)(fig. i 7 ), le système ( )A, OH', 01)' , les Rangées ( )H' et Ol)' étant conjuguées l'une de l’ autre sur le plan HOl), le vtdumc du parallélipipède générateur restera le me'mv après ce c/uingement.

Car les bases parallélogrammi(]ues de ces parallélipipèdes ont même surlace sur le plan OBD (théorème III) ; les hauteurs sont les mêmes ; donc les volumes sont égaux.

Théorème XXXV. — Le paralléUpipède générateur d’un j4ssemblage a toujours le meme volume, quel que soit le système de Rangées conjuguées dont il dérive.

Soient O.r, Or, Oz (Jig. tS) les trois paramètres qui ont servi à construire les Sommets de r.A.ssemblage ; soit Q le volume du parallélipipède construit sur ces trois paramètres; soient OA, OR, OD les trois Rangées conjuguée.s ((ui nous sont données, et Si' le volume du parallélipipède générateur correspondant.

Soit maintenant O.A' la trace du plan AOB sur le plan des xy ; cette trace est l'une des Rangées du Réseau du plan AOB (théorème XXXI). Soit donc OH' l'une de ses conjuguées, dans le même plan. On pourra, en vertu du théorème XXXIV, remplacer le système de Rangées (f).A, OB, OD) par le système (OA', OB', OD), sans altérer le volume il' du parallélipipède générateur.

Soit, de meme, OD' la Rangée, trace du plan OH'D sur le plan des xy, et soit OH" une Rangée conjuguée de OD' dans le plan OH'D. On pourra

SUH LKS SYSTEMES DE POIMS DtSTHIBrÉü KÉr.HukKEMEM'.

substituer au système ^OA', OH', OD) le système (OA', Ol)', t)H"), sans altérer le volume ij' tlu parallélipipècie j'éiiérateur.

Ori peut, enfin, remplacer (OA', Ol)', OB") par (Oj’, dy, OH"), piiis(|ne O.r et Ov sont deux Rangées conjuguées du plan AO'D', ipii coïncide avec le plan des j:>-, l.e volume du parallélipi|>ède générateur restera égal à u'.

Si l’on compare ce dernier parallclipipède au parallélipipède construit sur O.r, O)', t);, on aura, en vertu du tliéorème XXXIIl,

Pcu.ru’me démonslratûi/i. — Xous conviendrons de nommer ilensitr <h‘ r .Issemhlage le nombre des Sommets coritemis dans l’unité de volume, les dimensions de cette unité de volume étant supjiosi'-es, tontes les trois, extrêmement grandes comparativement aux paramètr»*s des Rangées ipie l’on considère.

(Wi [Kisé, soient {fig. iR)

OA = «', OH = //, OD = f/', angle AOB = S' , inclinaison de Ol) sur le plan AI )H = t'.

t)n aura, par une formule connue,

12' = a h' <!' sin i' .sin t'.

Prenons, sur les droites OA, OH, OU prolongées, des longueurs *, i, <7 très-grandes relativement à a , b', fi', de manière fjue le parallélipipède construit sur «, i, «r soit égal à l’unité de volume, et qu’ainsi l'on ait