X.I7 sin y sin t' = i
Fa- nombre des Sommets contenus dans ce parallélipipède se calculera comme le nombre des boulets d'une pile à faces rectangulaires, et sera égal à
< In aura donc, p étant ve nombre, toujours très-grand,
Kio KI5 »in <)' sin t' i
^ a' h' d' sin J' sin T ' SI'
Or le nombre f, ijiii mesure la densité de l’Assemblafçe, doit rester eonstant, (juel (jue soit le système d’axes conjugués que l'on ait adopté pour sa déterniiiiatioii.
Si donc l'oii pose
( ).t = « , ( ) V ~ l>, ( )z — </, angle .rOv = S, inclinaison de Oz sui' .rOr — t,
on aura
( 'l I ) Si' = SJ = (i/iit sin S sin t.
'l'HÉonkME XXWl. — H<k-ipro(juciiient , si le /jurnllélipipètle construit sur les partuuctrcs des /(a/if'ces OA, OB, Ol) (lig. i8) est égal en volume au purallélipipede générateur de 1' .■tssemblage, les trois Rangées seront eonjuguées.
(ioneevons que dans l'inlérieur du parallélipipêde il existe un Sommet de I Assemblage, et nommons I* ce Sommet, elioisi de manière à être aussi rapproelié que possible du plan AOB ; le [larallélipipède construit sur OB, OA, OB serait égal à 11 (théorème précédent) ; doue le parallélipipêde l'onstruit sur Ol), OA, OB, (pii a même base sur le plan OAB et une hauteur plus grande aurait un volume plus grand que il, ce qui est contraire a l’hypothèse eonqirise «lans l'énoncé du théorème; tlone, etc.
I’hobi.rme XXfl. — Trouver la condition pour ijur trois Rangées soient ron/nguées.
S<iii-nt (nt, n, p), (ni', n , p'), (m" , n" , p") les coordonnées des trois Sommets T, T', T" (Jig- 20 ). On suppose (|ue«/, /;, p n’oni pas d'autre diviseur commun que l'unité, et qu’il en est de même jMuirw/, n' , p' , et poui- /«", n" , p" . On demande la condition pour (jue les Rangées OT, OT', OT", dont les symlioles sont nmp, m'n'p' , in"n"p", soient des Rangées eonjiigiiées.
Soient (0, », ^), (Ç', »', Ç'), (^", »*', Ç") les coordonnées linéaires des points T, T', T", dans le système d'axes conjugués 0.r, ()>■,();, ayant pour paramètres a, h, d.
Ou démontre, dans les Traités de (iéométrie analytique, que le \olume d'un tétraèdre, ayant son sommet à l’origine, et les sommets de s;i base triangulaire aux points (?, ». a pour valeur.
SliB I.KS SY.STHMKS DK POINTS DlSTRlBt'KS HKOÜUKKKMKNT. ]:*
an |»rrs.
: (g^'r - ?r"" + «r r + «cr- C"'?''»-
si le système d’axes est rectangulaire.
■Mais, si les axes sont obliques, et si l’on a
angle .rO y= j, inelinaison de O: sur ,rC)v = T,
ee volume doit être multiplié par sin<5 sinr.
Donc, si l’on nomme Ij' le volume du parallélipipède cousiruil sur les paramètres ( OT' et OT", il celui dn parallélipip«‘dc générateur, rtii aura, au .signe près,
11' = (niri'/i" — nif}'n" pin'ii” — iiiu'i)" iii>'iii" — pu' ni") iihil siii j sinr, ou encoiv, à cause de ré({uatiou (/|i),
( I U ) ii — (///// f) — mp n H- pm n — nm p -h np m — p n m ) il.
Si les Rangéi-s sont conjuguées, ou doit avoir il'— =11 (théorème \\\ \ ). Donc la condition cherchée sera
( 1 i ) mn p — mp n h • pm n — nm p -t np m — pn m = ± i .
Hceiproquemeut , si l’équation (4^) est satistiiite, on en eonclura il' = si, et les trois Rangées seront ccmjuguées (tliéoi’ème \.\XVI).
I’kobi.èmk XXIII. — Troin' 1 'r la l■l>mlilinn pniir i/ur deu.v /{aiif'n w, iillani lie /’iirigim- an.i: points T, T' (lig. ao), soù-nf ronju^nrrs sur le plnn rétienlnire tpti ronlient ces ilri/.i- linn^ées.
Soient (m, n, p), (/«', n', p') les coordonnées de T et T', 1,’équalioii tlii plan O'r'r' sera donnée par la lormule (3(1), dans laquelle g. A, k ont des valeurs indiquées jiar les formules (3'>). D'équation des deux plans réticulaires limitrophes de OTT'sera donnée (problème XIX) par
i,'.e -+- liy -1- A; = ± 1 .
.■\insi cette équation pourra s’écrire
.1 (np' — pn'j -+- r(pm ' — '«//) -j- z(mn ' — nm') — ± D.
MKMOIHE
Soient niainteiiaiit (/«", />'') les eotn'doiinees d’nn Soininet T*' apjwrte-
naiit à l'iiii de ees plans limitrophes; 01'" sera une Kan;;êe conjti};iiée avec le jilan < >TT', et l'on aum
( 'j4) ///"(///;' — i>ii') -+- n" [ put ' — p" {iiin — nm')= ± I).
Mais, si OT et <)T' sont déjà dtïs Rangées conjuguées l’nne à l'autre sur le plan < t'rr', OT, OT' et OT" seront trois Rangées conjuguées, et l’on aura, en vertu de la condition exprimée par(4'i),
/// [np — pn ) 4 « ( prff — mp ) 4 - p — nm ) = dr i .
De cette éipiation et de l'équation (44), on conclut I)= t . Kéciproqiiemenl, si D est égal à i, la condition (4'î) sera satisfaite, et les Rangées OT, OT' seront conjuguées entre elles sur leur plan de jonction (théorème XX\II).
Donc, si /ip' — pn' , pin' — nip', et nin' — nni' n’ont d'autre diviseur eoimnuu que l’imité, les Rangées OT et OT' sont des Rangées conjuguées du Réseau du plan OT'I”, et la réciproque est également vraie.
Théorf.mf. XXXVH. — Si{ni,n, p), (ni' , n' , p') .mnt les rtmrdiniini t nnniêrù/nes des Soniniels T' (lig. 20 ), le nonthre des bandes pnrallèles à OT o« à OT', el eontennes entre deux côtés opposés du parallélo^rannne ennstruit sur < )’!', O'F', sera égal au plus grand rommun diviseur des trois biniinies np' — pn', pin' — mp', mn' — nm'.
Kn ell’et, soient ni", n" , p" les coordonnées d'nn Sommet T" apjiarteiiant à un plan réticulaire limitrophe du plan f)T'I’'. On aura (équation 44)
m"(np ' — pn') -t- n"{ pin'— mp') H- p" (mn ' — nm') — ± D.
.Soit ti' le volume du parallélipipède construit sur les trois arêtes OT, OT’,
< )T" ; la valeur de 12 ' sera donnée par ré((uation (.i'-*), qui se changera, dans le cas actuel , en
12'=uD.
Soient maintenant a l'aire du parallélogramme générateur du Réseau du plan O TT, ai' l’aire du parallélogramme construit sur OT et O T', enhn i l’épaisseur de la strate comprise entre T" et le plan OTT'; on aura
12 = :iai, 12' = A®'.
si:b les systèmes iie points ihstbibiiés iiéoulièhkmknt. 47 Donc aussi
Or le rapport a> \ a devra évidemment être égal au nombre de liandes parallèles soit à ()T, soit à OT', qui traversent le triangle OTT' : donc 1) repn-senti'ra ee nombre de bandes ; donc ce nombre sera le plus grand commun diviseur de nos trois binômes.
ThÉobÈME XXX. VIII. — Dans un système ilf phuis réticulaires /jiiral/èles ayant pour symbole {ghk) et dont le parallcU>gramme générateur a pour surface a, le triangle intercepté par les ares conjugués dans le plan
a pour aire le (juotient de l'aire par le produit ghk des earacteristi(ptes, et faire du triangle intercepté par ces me'mes a.res dans le plan
g.r 4- liy 4- X ; = ghk.
a pour valeur le produit de ^ par gbk.
Soient (»MK {fig. i<|) le plan
gx + h y + X-5 =r I ,
et G' H' K' le plan
gx 4- hy f- kz— ghk,
de sorte qu’on ait, a, b, d étant les trois paramètres de O.r, Or, O:.
!(X'.’=hka, =
H<i) !oH'=gX7«, OH=J,
|oK'=ff/«/, OK = '/,
aire G'H'K'; aire GHK :: (Xi ; (Mi g‘h‘D‘. i.
Transportons l'origine des coordonnées en (V, les axes gardant leurs dii-ections. I,es coordonnées numériques {ni, n, p), («/, n' , p') des .Somiiiets
