S ME «O! R K

II' H K', pour wtte position des axes, s«?ront

/« = — hk, n — ^k, P — O, m — — /(/■, n' = O, p' — : ;

on en eoneliit

np' — pu' — g’/ik, pm — mp' ■=■ gh' k, mn — nm' — ghk’’,

et, I) étant le plus gnuid commun diviseur des trois binômes,

D = ghk,

attendu (|ue ", h, k sont des nombi'es premiers entre eux.

Soit donc ai l'aire de la maille génératrice des Késeaux des plans (illK, ti'H'K.': on aura, en vertu du théorème \XXV1J et de rét|uation

(.^ 7 ) a aire tri. (’/H'K' = ml) — g/ikee,

ce qui démontre la d<Mixième partie du tliéorèine. Kt, comme on a, d'autre ()art.

aire tri. (»HK —

.11 1 r I ri G'H'K'

il en résulte

■2 aire tri. (IMK =

PnoBt.KMK XXIV. — Trouver l’aire du purullélogruuuuc générateur dans te système des plans réticulaires indiqués par le symhole (glik).

■le nommerai a, (i, S {fig. ly) les angles sOj, rO.r et )0.r de l’angle trièdre O; m, », -s? les angles dièdres du même angle .solide, u étant l'angle dièdre dont O.c est l’arête, », « étant les angles dièdres dont (>r et O: sont les arêtes. Je nommerai S (ghk) l’aire ineonnuc du parallélogramme génélateiir des Réseaux des plans (ghk). Ceci posé, on aura, par une lormule i-onnue que j’emprunte à la Géométrie analytique à trois dimensions.

I (;HK’ = (Rio' -H GKO’ -h HKÔ’ — aGHO.GKO eus I — aGHO.HKücosv — atiKO.lIKOeos'ro.

SLB I.ES SYSTKMKS UE POINTS UISTRIBI ES HÉCiULlÈBEMENT.

Le plan (^HK étant le plan réticulaire qui a pour équation

g.r -+- hy -H X: = I ,

on aura

aire tri. GHO — iOG.Oll siiifT = i ^ sin S,

aire tri. GKO — iOG.OK sin S = 4 - sin, ' 3 ,

aire tri. HKO = 4OH . ÜK sin a = 4 | ^ *•" *■

Coti venons maintenant de représenter hd sin a par ip,

ad sin [i par x >

(J> sin S par 4 ;

P sera l’aire de la maille du Réseau du plan des/i, soit S (100) ;

X sera l’aire analogue pour le plan des X'z, soit S (010) ;

4 sera l'aire analogue pour le plan des j:k, soit S(ooi|.

On aura alors

aire tri. GHO = 4 ’

a gh

aire tri. GKO = 4 t ■■

aire tri. HKO = 4 jj.;

mais, d’autre part, en vertu du tliéorème XXXVIII, aire tri. (ilIK = 4

Donc, en substituant ces valeurs dans l’équation (ig)* *1 viendra

— a g/l ipx ‘-■os — a gk p4 eosr — a/(X 4 ‘‘OS

et c.ette équation fera connaître l’aire du parallélograniine générateur du plan réticulaire (g/ik), dès que l’on connaîtra les aires analogues pour les Réseau.x des trois plans coordonnés conjugués.

Problème XXV . — Trouver l'épaisseur des streUes parallèles uu.v plans réticulaires dont le symbole est (g/tk).

Soit toujours S(glik) l’aire tlu parallélogramme générateur du Réseau du

XXXUf Cahier. 7

MEMOIRE

'io

systi'nne {g/d). Soient A l'épaisseur des strates correspondantes, et 1» le volume du parallélipipède {’énci'ateur; on aura (••il) 11 = aS( ;,-■///■).

(Conservons aux an;;les a, S, u, v, leurs si^^nifieations préi-édentes ; nous pourrons mettre l'équation (/fi) sous la forme

(•ja.) 11 = ahfl 1 — eos’« — eos'j'î — cos’ è -*■ acos« eos'î cosi) .

Tirons de rérjiiation (5o) la valeur de S’ iglih) pour la substituer dans l’équation {•‘ii) élevée au carré; nous aurons

«’/<*//’( 1 — cos’a — ros*;S — cos*o J- 2<os» ro», 3 rosi)

Kniin, si nous renipla«;ons <p, x, ^ l*ar leurs valeurs en a, h, d, a, fi, i, cette équation deviendra

rt* h'

I — cfw — ros*^ — cos*‘o -f- 2 r«^a rott 6 ms^

^ 1 *^005 0 — a® . rosv~9

r/* aU ttfi

hk sin^sini}

roN«

On aurait pu arriver «lirectement à cette formule, en clierchant l’expression analytique de la [)crpeudiculaire abaissée de l’origine sur le plan dont l'équation, en coordonnées linéaires, est

Tiikoréme \\X1\. — L'intervalle moyen des Sommets d'un ^-Issemhlage est ê^al à la racine culn'qiie du volume de son parallèlipipcde générateur.

r.onformément à la définition donruV par Poisson de Y intervalle moyeu {voyez page ai), nous nommerons intervalle moyen des Sommets d’un .■i.ssemhlage le côté d'un cube égal à l’unité de volume divisée par le nombre des Somm<-ts que renferme cette unité de volume.

Soit K cet intervalle moyen; en nommant toujours f le nombre des Sommets, siippost- très-considérable, ipie contient l’unité de volume, on aura

sni Lia SYSTÈMES DK POINTS lltSTIIIBl ES UÉCLT-IÈBEMENT,

«l oti, à «iiisp de P = j^(wor<?ï(leu\ièiiie(U'iHonstratiün(lulliéorèiiieXXXV), ou eoiiduni

lî étant le volume invariable du |iarallélipipède générateur de l'Assem- Nage.

Problème XXVI. — Chauler les tixcs coorduimcs et cdfiriiuvr les nouvelles eoordomwes en foneüon des uneiennes, et réciprorfuenient .

Soient (ni, n, />), (ni', n , p'), (ni” , n" , p") les coordonnées nuinéi i(|ues des extrémités T, T', T'' (Jig- ao) des jiaramètres des trois llangées ijui doivent servir de nouveaux axes. Soient X, Y, Z les coordonnées nuinéri(|ues d’un Sommet quelconque dans le nouveau systi-me d’axes, l’ar une voie analogue à celle qui conduit aux équations ( 17 ), on obtiendra

1 X = ni X -I- ni Y 4 - ni"7, ,

l.a Rangée OT allant de l'origine au point (ni, n, p) est ceiLsée serviid'axe des X. I.a Rangée OT' sert d’axe des Y, et la Rangée OT", d'axe des ’L.

Je pose maintenant, jiour abréger,

, r t n t H tu f t* f t' i * *f\

fnn j) — mp n pm n — nm p -t- np m — pn m = \jnn p ),

. ) nin — nm = (nin ), nni — ni/i = (nm ), ni n — n m =(ni n ),

i pm ’ — mp'—(pni'), mp " — pni" — (nip"), p m " — m'p"'= (p'nt"),

t / t\ tf W f tt\ t H t tt J f

I rtp — pn =(fip ), pn — np = {pn ), np —p n = {n p ).

Si , par les procédés connus de l'élimination , on tire des éejuations (55) les valeurs de X, 4 , Z, on aura

ME>IOIIlF.

<1 où l'on voit que, pour que X, Y, Z soient toujours des nombres entiers, il liiut que les trois Rangées données soient conjuguées.

Kn adoptant cette hypothèse, on aura

(inn'p") = ± I ,

ce <|ui changera les prticédentes équations en

I — X = («'//). r -H ( y/m") J.+- (,'>71 Idz Y = (/>rt")x-f- (/«//). r -!-(«/«'') :,

[nt />=(«/?') ,r-f- {/»«') V-l- (/««")

l’ar une rotation convenable du système OT, OT', OT" autour de O, amene'/. ( )T sur 0.r, amene/. OT' dans le plan .rO v, en ayant soin que OT' et Oj soient situés d'un même côté par rapport à la droite O.r indéliniment prolongée dans les deux s«-us ; alors, si OT" et O: tomijent du meme côté par rapport au plan des xy, vous devrez donner le signe ^ aux premiers membres des équations (57); dans le cas contraire, vous devrez préférer le signe — .

CorolJaire. — Supposons que l’axe des s change seul et soit remplacé par OT", et nommons /«„, «„ les coordonnées numériques de T" parallèlement aux axes des .r et des y.

Dans ce cas, l’on aura

et les équations (55) donneront