I.es formules inverses seront alors

La coordonnée numérique parallèle à l’axe dé|)lacé reste invariable.

Sl.'lt LES SYSTÈMES DE EOINTS DISTRIBUÉS RÉliL'LlÈUKMEN T. 5S

Problème XX\ II. — On demande ce que devient te .symbole d'nn [dan réticulaire {gbk) dans un nouveau système d'a.ces.

Soient toujours (ni, n, [?), (m', n', />'), (m", n" , p") les eoordonnées numériques des extriimités T, T', T" (Jig. lo) des paramètres des trois llan>;ées qui doivent servir de nouveaux axes. Si, dans ré(|iiatioii générali'

g.v -H hy

on substitue les valeurs de J‘, v, z, tirées des équations (55), l'on aura [gm-^hn-\-kp)\-\-(gm' s hn + kp')\ -'t- (gm” ^/in" h kp")

<i’où l'on voit que, dans ce nouveau système d'axes, le symbole des plans (g-Z/A) se eliange en (gm-\- bn ^ kp, gm'~hbn' \-kp', gm"~s~hn" \ kp"V, e’est-à-dire que, si le nouveau symbole est (GIIK ), l'on aura

I G~gm f /(« + //>,

Il = gm ' -H bn' -*-kp' ,

K = '' -H Zin " -f- Zy> " .

CoroUaire. — Si, conservant les axes des xet des/, on se borne à remplacer l’axe des s, et à prendre pour nouvel axe des z la Rangée i i i , qui est le prolongement en sens inverse de la diagonale du parallélipipède con.strnit sur a, b, d, un aura

ce qui change le symbole [gbk) en {g, h, — g — h — k).

Si l’on nomme alors / la caractéristique du plan réticulaire (gbk) relative à ce nouvel axe, on aura l'équation

Si e est le paramètre du nouvel axe, le segment intcrceptt- sur cet axe entre l’origine et le plan

gx Zi/ -H kz = I ,

MÉHOlKK

(Ifvcmi, ilans le nouveau système,

gx-^hy 4-/Z = I ,

aura évidemment [jour \aleiir

Ü'où l'on voit que, « loistjue les paramètres a, b, d, e de (juatre Rangées eonjuf'uées deux à deux sont disposés de manière à figurer (juatre forces se faisant équilibre dans l’espace, tout plan limitrophe à un plan réticulaire passant par l'origine déterminera , dans les paramètres de ces Rangées ,

les segments Ti’t’l’ ^ ’ ^ nombres entiers positifs ou

négatifs ; alois» on [lourra [nendre indistinctement pour symbole du plan réticulaire les notations (ÿ/iX'i, (^'///), i gib), (Ibk), et il existera, entre les quatre cai-actéristi(jues /(, b, l, la relation

\ot(ilion ù (/mitre caraetiTUtu/ues . — F,ors(ju’on emploie, pour fixer la position des plans réticulaires de l’Assemblage, ({uutre axes coordonnés satisfaisant aux conditions <pie nous venons d’énoncer, il convient de remplacer le symbole {gbb) par le symbole à rpiatre earaetéristitpies I ghk! |.

! h' finitions. — Je désigne sous le nom tle tétraèdre éiémentoÀre tout tétraèdre ayant pour sommets (juatre Sommets de l’Assemblage, choisis de mani(TC (jue chacun d’eux soit situé sur un plan limitro|ibe au plan réticulaire ijiii contient les trois autres Sommets, ou encore « tout tétraèdre construit « sur trois |)aramètres conjugués aboutissant au même Sommet. »

l u tel t('lraèdre forme toujours la sixième jiartie de l'iin des j)urallélijjijjèdes générateurs de l’Assemblage : ainsi, le volume de tous ces tétraèdres est le même et égal à

Je nomme tétraèdre princi/mi, celui dont la base est le triangle acutangle embrassé jiar les deux paramètres niinima de tout f .Assemblage, et dont les trcïis angles dièdres adjacents à la base sont aigus, deux de ces trois angles jHiuvant, exceptioniicllcnjent, devenir droits.

SIB I.ES SYSTÈMES DE EOINTS DISTIUBUÈs RÈC.LLlkliKMKST. 55

Théorème XL. — Tout tétraèdre ayant pour sommets l'origine et les trois points (m, n, p), («/', n' , p'), (m", n" , p"), a pour volume le produit du volume du tétraèdre élémentaire par le faeteur

f ft f n . t N t n /// t tr

mn ]) — in|) n -+■ pin n — nin p -+- np in — pu m .

Ce tliéorèiiic est une consécpicnec fie la Ibrnuile

Soit OTT'T" {fîg. ao) le tétraèdre donné; on aura (tio) volume télra. O’I'T'T''^ ji! [mn p").

(iette formule reste exacte, lorsque m, n, p, ou ///', p' , ou ///", //", p" ,

ont des diviseurs eommiins autres que l'unité.

Probi.ème XXVIII. — Trouver le tétraèdre principal d’un rtssemblage.

Choisissons arbitrairement un Sommet () [Jig. 9.i), et cherelious les deux paramètres minimafl V, OB; traeonvles dans un sens tel, <]ue l'angle AOB soit aigu, ou tout au plus égal à 90 degrés, ce cpii sera toujours possible. .\elievons le triangle A( )B, (jui sera l'un des triangle.s prinei|>aux du plan réticulaire AOB, et sur l'un quelconque de ses troi.s c(>tés, par exemple sur .\B. construisons le second triangle principal BAO' qui, réuni au précédent, complète le parallélogramme générateur O.AO'B. Sur le contour de ce parallélogramme, élevons à angle droit les faces d'un prisme indéfini dans les deux sens. Le plan réticulaire, limitrophe du plan (A.AO'B, et situé au-de.ssiis de ce dernier plan, sera coupé par le contour du prisme suivant un jiarallélogramme égal à la base OAO'B, et qui devra contenir dans son intérieur un Sommet de l’Assemblage, à moins qu’il n’en contienne deux, ou f|iiatrc, sur son contour. Soit Dec Sommet; les Bangées OA, OB, ( )I) seront conjuguées, et la pyramide OABD sera le tétraèdre principal.

Si le Sommet ainsi obtenu était situé en d, et se projetait ortliogonalement dans l’intérieur du deuxième triangle B.AO', les Rangées 0 '.\, O' B, (Yd seraient conjuguées, et la pyramide O'.ABf/ serait le tétraèdre principal.

Scolie. — Soit OABD le tétraèdre principal résultant de la construction précédente, et nécessairement situé au-dessus du plan O.AO'B. Si nous répétons la même construction sur le plan limitrophe du plan O.AO'B, et qui est situé au-dessous de ce dernier plan, nous obtiendrons un autre

MF.MOIRK

Sommet I)', dont la situation par rapport à D sera telle, que A, D, B, D' formeront un parallélogramme. la* tétraèdre O'ABIJ' sera aussi un tétraèdre principal, mais placé au-dessous du plan OAO'B. Il est facile de voir <jue OABI), O'ABÜ' sont deux polyèdres ûiveises {'), dont le pote de s^ niêlne sera en a>, au centre du parallélogramme OAO'B: d’où l’on voit que, a lians tout Assemblage, il existe deux tétraèdres pi'incipaux inverses l’un Il de l’autre. »

ThÉorkme XI.I. — 7'otis tes an"tes plans du tétraèdre prineipal sont ai "U s; iptelrpies-uns d’entre eux (quatre au plus) peuvent etre droits, exeeptionnellenient.

Soient OA, OB ai) les deux paramètres minima de l’ Assemblage, et O.VBI) son tétraèdre principal.

I.a ju’oposition énoncée est évidente pour les trois angles de la base O, AB. Menez en < ) un plan normal à OA : par la construction même du tétraèdre, f>l) et O.A ne [leuvent être situés de côtés difli'rents par rapport à ce plan ; donc ,AOI) • (JO degrés. On démontrerait de la même manière (|u'iine inégalité pareille a lieu pour les angles DOB, DAO, DAB, DBO, DBA.

Maintenant, de OB < OD, on conclut ODB ■ ' OBD < qo degrés; de OA OD, on conclut ODA < O.AD < 90 degia-s; enfin, de BD > BO, DA > OA, on déduit