MO,M

l’endaiit <|iie le Sommet mobile M viendra se superposer au Sommet fixe M’, le Sommet mobile M' viendra en M", et nous aurons OM" -- 031'= 031 , 31’ 031' = Q.

Décrivons un eerele de centre O et de rayon 031, puis laisons arc3r3r=arc 3r31, are3r M"= arc M" 31';

il est clair <jue 31, M', 31",..., seront autant de Sommets de l’Assembla^^e fixe, et que les cordes des ares formeront un polygone régulier inscrit, lequel, ajiri’s un ou plusieurs tours, viendra se fermer sur lui-mcme, au point de départ, en 31 ; .sans cela, il y aurait une infinité de Sommets de l'Assemblage sur la eirconférencc du cercle, ce qui est impossible. D’ailleur-, on (leiit toujours supposer que 31, 31' sont deux sommets voisins, et alors 31031' sera le plus petit angle de rotation ipii restitue les lieux des .Sommets. On aura donc, en nommant Q eet angle minininm,

tr.,1 o = H£.

'I'héohÈ-MK .\L\ I. — In .Issembluge ne peut pus.séder (pie des a.ies de symétrie binaire, ternaire, (jualcrnaire ou sénuire.

Sur 3131', 31'31''^y/^'-. i3|, achevons le losange 31M'3l''/w; le point m sera un Sommet de l’Assemblage, et nous trou\erons facilement 0/// = 03l'(i — 4siiTiQ).

Pourf/ = tj, Q=i8o", nous avons ()m = — 30.V1';

Pour 7 = 3f, Q= I y.o", Ponr7 = 4i Q= !|o".

Pour 7 = 5, Q= yu°.

Pour 7 = 6, Q= 6o”, Pour 7 > 6, Q= < 6o",

<)«(= — aOM' ;

0,,,=:: ^ZA(!o 31'= — o,38aOM'; Om= O ;

Owi < O.M'.

MEMOIRE

Cio

Les solutions y = 5 et 1/ > f> 11c sont évidemment pas admissibles ; car on peut toujours supposer que M a été pris à la distance minimum de l'axe de rotation, et, par conséquent, l’inéf^alité Ow<OjM' est impossible, sauf dans le cas où l’on aurait Üw = 0, parce qu’alors O serait un Sommet de r Assemblaf^e.

Donc, si l’Assemblage a un axe de symétrie, on aura nécessairement </=u, 3 , 4 ou (!,

>! étant le numéro d’ordre de la symétrie propre à l’axe que l’on considère.

Corollaire. — Des rotations de bo, 90, lao, iSo, a 4 o, 270 et 3 oo degrés sont les seules ijui puissent restituer, dans ceitains «as, les lieux des Sommets d’un A;isemblage.

Théorè.me Xr.VII. — l.ors<iuU c.viste, dans un As.semblage, un a.re de > rmétric ne passant par aucun Sommet, les droites parallèles, menées par des Sommets, sont des ajces possédant la même symétrie.

Soit Y le numéro d’ordre de la symétrie de l’axe considéré MM' (fig. 22) ,

et soit m un Sommet quelconque, lequel, après une rotation, égale It

de l’Assemblage moliile, vient occuper le lieu du Sommet m'. Si l’on transporte ])arallèlement à lui-mème, et de ni' en /«, l’Assemblage mobile qui aura subi cette rotation préalable, il se trouvera placé dans les memes conditions (|ue s’il eût tourné, dès le principe, autour d’une droite nmn' , menée par m parallèlement à .MM'; et, comme le lieu des Sommets n’a pas été troublé, cette droite nmn' est aussi un axe de symétrie de l’Assemblage. F>’ordre de symétrie de cet axe sera, en général, égal à <j. Toutefois, comme un axe d’ordre yV/> j étant un nombre entier quelconque, jouit à fortiori des propriétés des axes d’ordre <j, il pourrait arriver que le nouvel axe fût d’un ordre jiliis élevé, mais qui devra toujours être un multiple de l’ordre île symétrie de l’axe donné (* ).

Définition. — Nous désignerons sous le nom d’eracj intcrmédiaircs\essi\es

(*) C^^tle dy'iuonstration est due à M. Cauchr : comme elle est plus simple que la dcmonstratioii que j’avais donnée moi-même de ce thëorênie, je Pai substituée à celle dernière. [Fo/ez les Comptes tfndtis de V Académie, des ScienetSt t. XXIX, p. |35.)

SUR LES SYSTÈMES DE POI^•TS DISTRIBUES REGULlÈREMEYT. (il

(|iii ne contiennent aucun Sommet de l’Assemblage. D’après le tlu'orènie précédent, les axes intermédiaires sont toujours accompagni’s d'axes de même symétrie, menés par les Sommets; d’où il résulte cpie l’on peut, à la rigueur, se bonier à considérer ees derniers, dans toute reclierclie ipii n’a pas pour but de déterminer d’une manière spéciale les propriétés propres aux axes intennédiaires.

Théorème XL^’III. — Tout axe de symétrie vontenaut un Sommet est une des Hantées de l\dssernhlei{^e.

Soit MM'(/4'g'. •I'à) l’axe donné passant par le Sommet M; soient m un autre Sommet extérieur à l’axe, et /«', ses homologues par rapport

à cet axe. Joignons M/«, Mmi', Mh/",...: si maintenant nous traçons la diagonale Mu du parallélogramme construit sur Mw, M;«', cette diagonale sera, en grandeur et en direction, un des paramètres de 1'. Assemblage, d'après le théorème XXX. De même, si l'on combine Mu avec .M/«", I.t nouvelle diagonale .M u' jouira des mêmes propriétés. Le résultat iinal , ainsi obtenu, après avoir épui.sé la série des homologues de m, sera le même que si l’on eût composé mécaniquement des forces égales en grandeur et en direction à Mm, Mm', .Mm",..., pour en obtenir la résultante. Or, si l'on décompose chacune de ces forces suivant .M.M',et normalement à cette droite, il est visible que les composantes normales à MM' s’entre-détruiront par suite de la symétrie, et que les com|)osantes verticales subsisteront seules. Si donc O est le point de rencontre de M.M'avec le plan du polygone mm'm"..., ehacune de ces composantes verticales sera égale à Al O; donc, si l’on pi’end MM'=-f/.MO, M' sera aussi un Sommet; donc Al.M' est une Rangée de l’Assemblage.

Théorème XLIX. — l'out plan mené par un Sommet normalement à un axe de symétrie est un plan réticulaire de l' Assemblage.

Soient .M le Sommet donné {/«". aa), et M.M' l’axe donné, que l’on peut toujours supposer passant par M. Soient m un antre Sommet quelconque, et m', m" ses homologues. Les lignes menées par M parallèlement à mm', m' m" , m"m,..., sont évidemment des Rangées de l’Assemblage; donc le plan normal à MM', et qui contiendra toutes ces droites, sera l’un des plans réticulaires du système.

MÉMOtItt:

Si l'axp AIM' était un axe binaire, on aurait recours à un deuxième Soiiiniet U situé liors du plan /wMM'; alors la même démonstration serait encore applicable.

l'HKoiir.aïc I,. — U existe fliiiis nu y/siewf>/u^e un plan île symé-

trie ne eontenant attertu Sommet, tout plan paruUèh: passant par un Sommet est aussi un plan île symétrie du système.

Soient m [Jig. a'i) un Sommet qucIcoïKjuc, et m' son liomolo^iie «le l'autre côté du plan donne Cdl, qui «*st, par bypoflicse, un plan rie svmétric tic l’Assemblage. Si l'oii transporte |>arallclement à lui-même, et rie m' en m, i-’est-à-dire suivant une rlirection normale au plan, rAssemblage mobile, on sait qu'il eontimiera à r'tre le syméiritjiie rie l' Assemblage fixe [>ar rapprrrt au plan ntu'inal sur le milieu rie la drrrite tpii joint le pr^int mobile m' au pr:>int fixe m \ à la limite, itrrstpie m’ eouicitlera avec m, le plan rie symétrie, tt)ujours parallèle à lui-même, finira par passer par m : mais alors les tieux \sseniblages, le mobile et le fixe, eoineirleront ; rlonc le plan mené par m, parallèlement à (ill, sera un plan rie symétrie du système.

.Seolie. — On ]jcut faire abstraction ries plans rie symétrie intermédiaires, pour ne considérer tjue ceux (rassant [>ar des Sommets.

rnémikMi', Id. — Tout plan de symétrie eontenant un Sommet est un plan rétienlaire.

Soit M ijig. is i) le .Sonmu't situé dans le plan de symtWe (111; soient m. m ' tienx Sommets btmiologues par rapport à ce plan. La diagonale du losange construit sur .Mm/, M///' scia, en gninrleur et eu direction, le paramr-tre tic l’une ries llangt-es tlii système : or il est évident qu’elle est contenue dans Irplan de symétrie. On prrrnverait, de même, rjii’il existe rl’autrr's llangées passant par .M, et appartenant au [)lan de symétrie, mais non situées dans le |>laii ///.M/m'; d’où l'on voit que le plan rie symétrie est nécessairement un plan rt'ticulaire.

I’hkobf.mk lu. — I.orsipi’un y/ssemidage possède un a.re de symétrie d ordre pair, U possède aussi un .système de plans de .symétrie tous normau.r il eet (ure, et, réciproipiemeut, la préseure d'un plan de .symétrie entraîne relie d’un système d 'a.vcs d'ordre pair, normau.r à ce plan.

.l'ai démontré, dans une Note sur les polyèdres symétriques de la gcù>-

SUn I.ES SYSTÈMES HE POINTS DISTRIBUÉS RÉOUMÈREMENT.

iiK-lrie (* (**) (***) ), que, si l’on fait tourner de i8o degrés le polyèdre inverse d'tm polyèdre donné P, autour d’une droite A menée par le pvle de syinéfrie, on ulitient le polyèdre symétrique de P par rapport au plan de symétriimené j>ar le pôle normalement à la droite A.

Prenons un Sommet quelconque O {Ji^. l'i) pour pôle de symétrie, et eonslniisons l’Assemblage inverse, lequel eoineidera, Sommet à Sommet, avec le primitif; (mis, ayant mené j>ar 0 une droite niOm' parallèle à l'axe il'unlrc (>air, tàisons tourner de i8o degrés l'.Assemblage inverse autour de l’ette droite; il devra reeoineider avec lui-mème. Sommet à Sommet, jiar suite de la symétrie de l’axe. Donc, en vertu de la pro(>riété générale citée (>lus haut, le filan mené jjar () normalement à l'axe sera un (ilan de .symétrie |)our les deux Assemblages coïncidents, et, par consé<]uent, pour les deux moitiés de l’Assemblage donné (*').

Le théorème réeijiroque se démontrera de la manièie suivante :

.Soit O 2 'l) un .Sommet situé sur le (ilaii de .symétrie commun à l’.Assemblagc fixe et à l’Assemblage mobile : on sait, par la théorie générale des (lolyèdres inverses {vojez la Note citée), qu’en faisant tourner de ittoilegrés le [lolyèdre symétrique d’un (lolyèdre P autour de la normale au jilan de symétrie élevée à jiartir de ce .Sommet O, on doit retrouver le jjolyèdre inverse; dans le cas actuel, en faisant faire ce demi-tour à l’.Assemblage mobile, on le fera recoïncider avec I’. Assemblage inverse, lequel évidemment ne diffère pas de l’-Assemblage donné. Donc la normale est un axe binaire du système. Dans le cas général, on voit ((ii’elle (leiit être un axe d’ordre (lair ((iieleonque (*“).

DcJlnUion. — En continuant à désigner (>ar système de Rangées l'en- .smnblc de toutes les Rangées (larallèles entre elles ilans un .Assemblage, ou a à considérer dans un tel système la direction, la "randeur du para-

(*) Journal rte Mnthé'natiqnes de M. Lioiiville, t. XIV, p. i58.

Le polyèdre imvne de P «'obtient en joignant les «omniet:» de P à un |K>inl lixe <jui pteiid le mun de pâle rie symétrie, et prt>iongc‘ant ers droites au delX du pôle do quAntitos (‘gal«>» à

(**) On |»eiU aussi considérer ce théorème tunime une comu qucnce imiM*diute tlu ihi-oreme \\I lie mon Mémoire « Sur les Polyèdres de forme symétrique •, inséré dans le lonjo XIV du Journal //»• Mathématiques de M. Liuuville.

(***) Ce tliéorèmo réeiprot|uc est une conséquence immédiate du thcorciuc IV de mon Mniioin* • Sur les Polyèdres de forme symétrique •.

MÉMOIRK

niilrv, et enfin la densité du système, qui est égale au nombre «les Rangées eontenues dans un jjrisme indéfini de section normale égale à i , et à arêtes parallèles à la direction commune des Rangées.

Il résulte de la constance des volumes des |)arallélipipèdes générateurs t|ii en pass;int d'un système de Rangées à un autre, le quotient du paramètre par la densité reste toujours const;int et égal au volume 0 du parallélipipède générateur.

liorsqu’on altère un système de Rangées par rintercalation de nouveaux .Sommets équidistants, entre deux Sommets voisins sur clia«|ue Rangée, on modifie T Assemblage, et, selon que le nombre des Sommets interealaires est I, a, 3,..., sur chaque paramètre, le nouvel Assemblage est un Assemblage doublé, triple, quadruplé,..., quant au nombre de ses Sommets Mors le volume U du parallélipipède générateur diminue dans le rapport de l'imité aux nombres a, 'I, 4,.... Ceci posé, l'on peut démontrer le tlu'orème suivant :

Théorèmk lui. — /-e.ï memes systèmes de Hanÿées se retroiieent dans r /! ssenddu^e primitivement donné et dans l\-fsscmb(agc ipii en dérive par rintercalation de nouveaux Sommets sur l'un de ses systèmes de Rangées.

Soient prises trois Rangées conjuguées pour axes coordonne^, l'axe des : étant l'une des Rangées du système modifié par l'intercalation de nouveaux

Sommets: alors, si a, h, sont les trois paramètres de ces axes, «, b,-^

seront les trois paiametres dans le nouvel Assemblage, S — i étant le nombre des Sommets ajoutés sur eliaijue paramètre. Pour revenir à l'Assemblage primitif on supprimera dans eelui-lii tous les plans réticulaires de la forme

/ étant un nombre entier quelconque, et l'on ne conservera que les plans z = o,: = 9, 1 = 2 «,..., z=jh.

tionsidérous maintenant la Rangée menée de l'origine Ü (Jig. ao) au Sommet t à coordonnées un, n,p) de l’-Assemblage à Sommets intercalaires. ■Mors, si l ordonnée p est un multiple de Ô, le Sommet t appartiendra à l’.\s- >emblage primitif; le système des Rangées 0/ se retrouvera dans l'.Assemblage primitif, avec la même grandeur de paramètre. Si l'ordonnée p

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUÉS REOULIÈREMENT, ri*'!

n’est pas un multiple de 9, on prolongera O/ de {9 — i) 0<; l’ordonnée numérique du Sommet t" [>arallèlement aux z étant alors devenue un multiple de 9, le point t" appartiendra à l’Assemblage primitif : ainsi le système des Rangées Of subsistera encore flans l’Assemblage, après In suppression des plans réticulaires

Donc tous les systèmes de Rangées subsistent, sans que leur direction soit troublée, après la suppression des Sommets intercalaires. Ces systèmes sont seulement altérés, soit dans leur densité, soit dans la grandeur de leur paramètre; pour chacun d’eux, la suppression des Sommets fait croître, dans le rapport 9 : i, le rapport du paramètre à la densité.

Corollaire. — I.es mêmes systèmes de Rangées se retrouvant dans les fieux Assemblages, avec des modilications qui ne portent que sur la granfleur du paramètre ou la densité du système, il en résulte que les mêmes systèmes de plans réticulaires existent aussi dans les deux Assemblages; toutefois l’épaisseur des strates, ou l’aire de la maille génératrice, variera de l’un à l’autre, de manière à ce que leur produit croi.sse, flans le rapport 9 ; i , par la suppression des Sommets intercalaires.

.■\près ces théorèmes généraux, nous allons successivement passer en revue les propriétés qui caractérisent chaque genre particulier de symétrie.

Symétrie binaire.

Théorème I.IV. — Da/ts tout ylssemblage à a.re de symétrie binaire, si l'on considère les deu,t plans réticulaires li/nitroplies d’an plan réticulaire normal à l’axe binaire, le Réseau de l'un de ces deux plans co'incidc aeec la projection orthogonale du Réseau de l’autre.

Car, soient P un plan réticulaire normal à l'axe, P' et P" ses deux limitrophes; les Réseaux de et P" sont homologues par rapport au plan P qui est un plan de symétrie tle l’Assemblage (théorème LU) : donc le Réseau fie l’iin des plans P', P" est la projection orthogonale du Réseau de l'autre.

Corollaire. — Si l’on affecte des numéros fl’ordre à tous ces plans réticulaires successifs, tous normaux à l’axe, on voit que, dans la série fies plans à numéro d'ordre pair, le même Réseau se re|)roduira, en projection

XXXm- Cahier. g

f>6 MÉMOIBK

orthogonale; il en sera de même dans la série des plans à numéro d’ordre impair.

TiiéoRÈME LV. — Tout ^4 ssemblnge à axe de symétrie bi/iairc peut e'tre considéré comme dérivant d’un prisme droit h base parallélogrammiepie, leipiel peut, dans certains cas, offrir en son centre de Jij'ure l’un des Sommets de T Assemblage.

Soit ABCDE (fig. a4) le Réseau tracé sur le plan normal à l’axe binaire et passant par un Sommet A. Prenons ce plan pour plan des .cjr; son équation en coordonnées numériques sera : = o.

Tous les Réseaux tracés sur les plans ; = ± a, 2 = ± 4, z = rfc (i,..., se projetteront ortiiogonalement sur le Réseau ARCD... (théorème LIV).

Les Réseaux des plans z = ± i,z = ±3,..., pourront aussi se projeter orthogonalement sur ABüD,...; dans ce cas, le paralléli|)ipède générateur sera un prisme droit à base parallélogrammique.

Mais le contraire pourra aussi avoir lieu. Supposons alors que l’un des Sommets .A' du Réseau z = i se projette en a sur le plan z = o. Si l’on Joint A avec A', et si l’on prolonge AA' d’une ipiantité égale à elle-même, jusqu’en D", D" sera évidemment un Sommet du Réseau z = a; et si l’on abaisse les perpendiculaires \'a, I) sera run des Sommets du RtWau

Z = O (théorème LIV), et « sera situé au milieu de la longueur «D. I.e Sommet A ayant été choisi arbitrairement, on voit que a est un centre géométrique du Réseau ABCn,..., et occupe le milieu de l’un des paramètres Al) de ce Réseau. .Maintenant, sur Al) comme base, construisons deux triangles élémentaires égaux et opposés, tels que AGI), .\HI) ; le point a sera le centre du parallélogramme générateur .ACDE, et A' sera le centre de figure du prisme droit ayant pour base inférieure ACDE, et sa base supérieure sur le plan Z = a. L’.Assemblage pourra donc être considéré comme compo.sé d'une infinité de tels prismes, de hauteur égale à l’intervalle compris entre les plans z= o, z= a, et portant en outre, chacun en son centre de figure, l'im des Sommets de l’Assemblage.

Scolie /. — Il est toujours permis de supposer que \ a été choisi de manière à être, parmi tous les Sommets du Réseau z = o, le plus voisin du point a; alors, si AD n’est pas le paramètre minimum du Réseau z — o, soit .AB ce paramètre minimum, porté dans un sens tel, que l’on ait

SUR LES SYSTÈMES DE POIMTS DISTRIBués niGÜLIÈREME>ÎT. C>-

BAD < 90 degrés. Pui&cjue l’on a nB > «A, le Sommet B est en dehors de la circonférence décrite sur AD comme diamètre, et ainsi il est certain que l’on a ABD < 90 degrés. Mais, d’antre part, à cause de AB<BD, on a aiLssi ADB< B.\D < 90 degrés; donc les trois angles du triangle BAI) sont aigus: ainsi, BAÜ sera le triangle principal du Réseau z = o (théorème NI). Donc la projection de A' tombera toujours sur le milieu de l’un des trois côtés du triangle principal; ce qui prouve que l’alternance des Réseaux à numéros d’ordre alternativement pairs et im|>airs ne peut se faire que de trois manières différentes, selon que la |)rojcction des Sommets du Réseau z = 1 se fait sur le milieu du petit, du moyen, ou du grand côté du triangle principal du Réseau z — u.

D’où l'on voit encore cpie l'.Assemblagc peut aussi être considéré comme composé de prismes ayant pour base un parallélogramme tel que ABCD, ayant pour hauteur l’intervalle compris entre les plans z = o et z = 2, et portant des Sommets sur les centres île deux <le leurs faces verticales rectangulaires; la base de chacune des deux faces emtrées peut toujours alors être supposée formée par l’uu des trois côtés ilu triangle principal.

ScoUe //. — Dans le cas de ralternance des Réseaux, on peut encori' substituer an prisme droit centré l'octaèdre de la Jig. 28, dont l’axe A' A" traverse normalement et centralement la base parallélogrammique ACDE.

Il doit être entendu que cet octaèdre n’est point pour cela un solide génératciir , capable de reproduire, par des juxtapositions immédiates, tous les Sommets de l’Assemblage.

Symétrie terbinairv.

Théorème LVI. — Si le solide générateur de !’ Asscmbliige est un prisme droit à base rliombe, centré ou non rentré, l' yissrmhlage possède trois a.res de symétrie binaire rectangulaires entre eux.

Supposons que le rhombe ACDE(/î^. 2,j) soit la base du prisme droit générateur; alors, si l’on jette les yeux sur lu Jig. aô, qui représente, sur le plan z = o, 1" le Réseau z = o, dont les Rangées sont figurées jiar des lignes pleines, et en projection sur ce Réseau, les Réseaux z=2y, ainsi que les Réseaux z= ay -+- 1 , mais ces derniers, dans le cas seulement de la

MEMOIRE

superposition de toutes les projections; a® mais, pour le e-as de l’alternance seulement, les Réseaux s = ay -t- i , figurés par les lignes pointillées ae, cd, de, ae, etc., il deviendra évident que tout plan normal au plan de la figui-e, et dirigé suivant une des diagonales du rhombc, par exemple suivant la ligne aa , sera un plan de symétrie pour l’Assemblage, puisque tout est pareil à droite et à gauche de ce plan. Donc la dmgonale AD, normale à ce plan, sera un axe binaire du système (théorème Idl); on démontrerait de même que la seconde diagonale EiC est aussi un axe binaire.

ScoUel. — Dans le cas où a {fig- 3 Ü) tomberait sur le milieu de A.\', c sur le milieu de AC, d sur le milieu de F,D, etc., le théorème précédent ne serait plus applicable, quoique le prisme générateur fût encore un prisme droit à base rhombe.

ScoUe II. — Si le triangle principal devient éipiilatéral, et si, de plus, les Réseaux sont superposés, la symétrie devient sénaire, et l’Assemblage appartient à une classe spéciale, dont il sera parlé ultérieurement; mais si, dans ce cas, les Réseaux successifs sont alternants, la symétrie générale de l’Assemblage n’est pas modifiée par cette circonstance.

Théorème L\"II. — Si le Réseau normal à l'ajce binaire est à maille rectangulaire, V AsscmhUigc possède trois tuves de symétrie binaire rectangulaires entre eu.r.

Dans le cas où les Réseaux sont superposés sans alternance, le solide générateur est un jiarallélipipède rectangulaire non centré, et le théorème est évident.

Si les Réseaux sont alternants, il peut se pré>senter deux cas distincts: ou bien le point a de la Jig. a4 tombe sur le milieu de l’hypoténuse du triangle principal , alors rectangle, ou bien sur le milieu de l'un des deux petits côtés.

Dans le premier cas, la fig. 26 offre la projection des Réseaux alternants sur le plan s = o. Dans ce cas, les plans menés normalement au plan z = o, suivant les droites AC, oc, ED,..., ainsi que les plans menés suivant AE, ae, (»D,..., .sont évidemment des plans de symétrie de l’.Vssemblage : donc aloi-s les côtés des rectangles sont des axes binaires (théorème Eli).

Dans le second cas, la projection est représentée par la Jig. 27, où ACDE

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUÉS RÉGULIÈREMENT. 6l)

est 1.1 maille du Réseau s = o, acde celle du Réseau a = i . Dans ee cas encore, les plans menés suivant les côtés des rectangles sont évidemment des plans de symétrie de l'Assemblage. On remarquera que, dans ce dernier cas, on peut adopter pour solide générateur un prisme droit à base rliomlie ; il suffit, en effet, de prendre pour base la maille du Réseau rhombique situé dans le plan normal à s = o, et qui a pour trace la droite .-\rtKe.

Scolie. — Si le rectangle se changeait en un carré, la symétrie deviendrait quaternaire , et l’Assemblage rentrerait dans une classe partienlière, dont nous parlerons bientôt; cependant, dans le cas de l’alternance correspondant à la Jig. ay, la symétrie resterait la même.

Définition. — Nous désignerons sous le nom de symétrie terbinairc celle qui est caractérisée par trois axes binaires normaux l’un à l’autre. Ces trois axes, quoique de même ordre, sont d’espèces différentes.

Théorème LVIII. — Dans tout Assemblage à symétrie tcrbinaire, les plans réticulaires normaii.v aux axes binaires sont à maille rhombupic ou rectangulaire.

Soient pris les trois axes binaires pour axes des .r, des v et des s. Si l’oii fait tourner l’.^ssemblage de i8o degrés autour de l’axe des .r, le Réseau O doit recoincider avec lui-même; ainsi l’axe des .r doit être un axe de symétrie binaire pour le Réseau du plan des ce qui exige (théorème XI \' , corollaire II) que sa maille soit rhombe ou rectangulaire. Il en serait de même pour les Réseaux situés sur les plans des xz et des jz.

Corollaire. — Il résulte des théorèmes précédents que tout Assemblage terbinaire rentre dans l’une des quatre catégories suivantes :

i". Prisme droit à base rhombe non centré, ou prisme droit rectangulaire ayant deux de ses faces latérales centrées ;

a®. Prisme droit à base rhombe, centré ;

3®. Prisme droit rectangulaire, non centré;

4". Prisme droit rectangulaire, centré.

Dans les cas a® et 4*, on peut, pour faire dériver l’Assemblage, remplacer le prisme par un octaèdre ACDEA'.A" (fig. a8), à base rhombe (deuxième cas), ou à base rectangulaire (quatrième cas).

Scolie. — J'ai démontré, dans mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme

MÉ.MOIRi;

sMiiêtrif|u«‘ », plusieurs lliéorènics relatifs à la symétrie binaire. On peut les appli(}uer aux Assemblages, en ne perdant pas de vue qu'un Sommet (|uel- «•on(jue peut être considéré comme étant le centre de symétrie de l'Assemblage, et le lieu de croisement de ses axes et plans de symétrie. Je me bornerai à reproduire ici l'énoncé du théorème suivant (corollaire du théorème \II 1 de mon Mémoire), dont la démonstration directe n'oflrirait d'ailleurs aucune difficulté ;

» |jors(|u’il existe deux axes binaires normaux l’un à l’autre, il en existe » toujours un troisième normal à leur plan. »

TiiÉoRkME L1X-. — Ia"s nu'mcs systèmes de [langées et de plans réticulaires se retrouvent dans l’yfssemblage dérivant du prisme droit centré et dans V Assemblage dérivant du meme prisme droit non centré.

Le centrage du prisme n'est autre chose que l'intercalation d'un Sommet -.iir le milieu de l’une de ses quatre diagonales. Si l'on effectue la même intercalation sur tous les prismes de l'Assemblage, en opérant toujours suila diagonale parallèle à celle primitivement ehoisie, il est clair que l'on aura un Ass«‘inblage doublé, dans lequel, en vertu du théorème LUI, on devra retrouver les mêmes systèim*s de Hangéeset de plans niticulaires que dans r \ssemblage primitif. Doue, etc.

Symétrie ternaire.

ThÉorf-ME L\. — Dans tout Assemblage possédant un a.re ternaire, le [lé.seau des plans réticulaires normaux à l'a,te est à maille truxpiianglc .

Soit M [Jîg. 1 1 et /?"'. 29) l’iin des Sommets de l’/Vs-semblage, choisi de manière à être aussi voisin que possible de l'axe de symétrie ternaire, sans être cependant sur cet axe. Par M, menons le plan normal à l'axe, et le coupant en O; enfin eoastruisoas le triangle équilatéral MNP autoiir de < ) comme centis».

Si Oe.st un Sommet de r.\ssend)lage, le Réseau oflrira la configuration représentée fig. 1 1 : .M’, N', P' seront aussi des Sommets, et l’axe de symétne sera non-seulement un axe ternaire, mais, qui plus est, un axe sénaire. F.n effet, prenons le plan de la ligure {^g. 1 1) pour plan des-ry: il est claii" i)ue le Réseau des [)lans = = 1 , s = 2 , . . . , se projettera orthogonalement sui-

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT. ~l

i-elui du plan s= o ; car, en tramportant le Réseau s = o sur le plan ; = i , jmrallèleinent à lui-même, il faut qu’aucun des Sommets de l’hexagone MM'NN'PP' ne se rapproche de l’axe. Dans ces conditions, la droite, menée par O normalement au plan de la figure, sera évidemment un axe scnaire.

Ce cas restant réservé, nous admettrons, dans ce théorème et les suivants relatifs à la s^'/nétrir simplement ternaire, que le centre O {fig. aq) du triangle MNP n'est pas un Sommet de l’Assemblage, ce qui ne veut pas dire cependant que l’axe mené par ce point ne doit contenir aucun Sommet.

I.ie triangle MNP {Jig- aq), résultat de la construction indiquée, sera évidemment le triangle princijwl du Réseau : doue le Réseau sera à maille triéquiangle.

Théorème I.XI. — Dans tout Assemblage à symétrie simplement ternaire, deux plans réticulaires narmaux à l’axe ternaire, et séparés par deux plans réticulaires intermédiaires , ont des Réseaux (pii se projettent orthogonalcment l'un sur l'autre.

Prenons le plus bas de ces quatre plans pour plan des xy, de sorte que son équation soit z = o. Je dis que le Réseau du plan ;= 'J se projettera orthogonalement sur le Réseau o.

.Soit ABCDKF {Jig. aq) un hexagone régulier dont les sommets ajipartiennent au Réseau z = o, et par le centre O, qui est aussi un Sommet du Réseau, menons sur son plan une normale, qui sera un axe ternaire du système (théorème XLVll). Puis, transportons parallèlement à lui-même le Réseau z — o sur le plan s = i. Soit MNP le triangle principal du Réseau î = I , triangle dont la surface est percée par la normale élevt’e en O ; la figure représente la projection orthogonale de ce triangle sur le plan ; =o.

Si 0 coïncidait avec la projection de l’un des Sommets M, N, P, les Réseaux se correspondraient daas les plans 3=o, ; = i, et la symétrie .serait sénaire .

Ce cas étant exclu , la symétrie ternaire de la normale élevée en O exige que O coïncide avec le centre du triangle MNP; et, eomme ce dernier triangle doit avoir ses côtés parallèles à AB, AO, BO, il n’est susceptible que des deux positions, inverses l’une de l’autre, MNP, M'N'P'. Le triangle MNP, dont les sommets coïncident évidemment avec les centres de figure des triangles

MÉMOIRE

AOF, BOC, DOE, peut être considéré comme provenant d’une translation, sans rotation, de AOB, ou de COD, ou de EOF. Le triangle .M'N'P', dont les sommets sont les centres de figure de DOC, EOF, AOB, proviendrait de la translation de l’un des triangles BOCi, DOE, FOA.

Supposons doue que le Réseau z = i soit, en projection, le Réseau à lignes interrompues MNP... de la figure. .Alors, dans le losange AOFG, la grande diagonale 0(î devra passer par .M, et l’on aura, par des propriétés connues du triangle équilatéial, OM = -jfHî. Si donc on joint le Sommet O an .Sommet situé sur le plan c = i, et qui a .M pour projection, Sommet que je nommerai M, (et qui n’est point indiqué sur la figur**), l’oblique OM, sera l’origine d’une Rangée de paramètre OM,. En prenant sur cette Rangée une longueur 0(i, = 30.M,, le Sommet (J, (qui n’est point marqué sur la ligure) devra évidemment avoir sa projection en O, et, de plus, il appartiendra au plan : = 3. D’où l’on voit que le Réseau s = 3 se projette sur le Réseau s = o.

Deuxième démonstration. — Soit 00'0"”0* (fig. 3o) l’axe ternaire passant |)ar le Sommet 0 qui est censé appartenir au plan s = o; cet axe est coupé en O', O* j>ar les plans s= i, c= a, et au point O" par le plan ; = 3. Le triangle écpiilatéral .M'N'l*' de la ligure est la maille triangulaire du Réseau du plan : = i , et il a son centre en O' sur l’axe ternaire.

l’ar l’axe OC)*” et par l’un des trois Sommets M', N', 1*', par exemple par M', menons le plan M'OO'w' qui coupera N' F en son milieu m' et sera perjiendiculaire à cette ligne. Sur OP', ON', comme cotés, construisons le rliombe ON'P'M" dont le quatrième .Sommet .M" appartiendra à l’Assemblage, sera situé dans le plan s = a, et sera, en outre, évidemment contenu dans le plan M'OO'w'.

On aura alors

M"0''= îO'w'= M'O',