SUR I.ES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUÉS RÉCOUKREMEN T

Sco/ie. — On voit facilement que le Réseau pointillé (Jig. aq)

sera la projection orthogonale du Réseau du plan z = i.

Si, au contraire, le Réseau M'N'P'... avait été la projection orthogonale du Réseau : = i , alors MM’... eût été celle du Réseau s = a.

Corollaire. — Si, sur la Rangée OO,, l’on sup|>rinie le Sommet M,, ainsi que celui qui vient après .M, sur la même Rangée, et si l’on fait la même opération sur tout le système des Rangées parallèles à < H>,, et qui partent des Sommets du Rt^au z = o, on changera l’Assemblage ternaire en un Assemblage sénaire qui aura pour noyau un prisme droit à base rhombe de (io et I uo degrés. Réciproquement, on passera de T.^sscniblage sénaire à l'Assemblage ternaire correspondant, trois fois plus riche en Sommets, en intercalant deux nouveaux Sommets sur chaque paramètre d’un système de Rangées parallèles à l'une des deux grandes diagonales du prisme générateur à base rhombe.

Mais il importe de remarquer que l’on obtient ainsi deux Assemblages distincts, selon que l’on a eboisi l'une ou l’autre des deux diagonales; ces Assemblages ont la propriété de coïncider, lorsipie l’on fait tourner l’un d’eux de i8o degrés autour de l’axe ternaire. Ainsi, d’un même Assemblage sénaire peuvent dériver deux Assemblages ternaires, distincts par leur situation dans l’espace, un Assemblage ternaire direct et un Assemblage ternaire inverse.

Théorème LXII. — Tout Assemblage à symétrie simplement ternaire a pour noyau un rhomboèdre.

Reprenons la Jig. 3o et la deuxième démonstration du tliéorème précédent. Faisons tourner de i 20 degrés autour de OO'" le parallélogramme OM'O^M": le Sommet M' viendra se substituer successivement à N' et à F; le Sommet M" viendra se substituer à N" et à P". Or, de même que les quatre Sommets O, M, P', M’ fonnent un rhombe plan, OM'N'P", OM'P'N" seront aussi des rhombes plans égaux au précédent, et il est visible qu’il en sera de même des trois faces supérieures.

Le solide ainsi obtenu sera donc un rhomboèdre, et comme il ne renferme aucun Sommet de l’Assemblage, ni dans son intérieur, ni sur ses