III. — Polyèdres symétriques v axe principal

Théorème VII. — Lorsqu un polyèdre possède deu.v plans de symétrie P, p, non perpendiculaires entre eu.v, il en possède un troisième P' qui est V homologue de P par rapport au plan p, et de même espère que P.

Soient CP, Cp, /ig. 3, les traces des deux plans P, p sur un plan normal à leur commune intersection, et soit / un sommet situé sur ce dernier plan. Soit, de plus, CP' la trace du plan P' homologue de P par rapport an plan intermédiaire Cp. Le sommet s' aura un homologue en S par rapport à Cp, et S un honiulogiie en s de l'autre côté de CP : de même, s aiiin un homo' logne en S' par rapport au plan Cp ; il est facile de voir que S' sera l’homologue de s' par rapport au plan (^P* : ainsi à chaque sommet correspond un autre sommet qui est son homologue par rapport à ce dernier plan; donc P* est aussi un plan de symétrie, et l'on voit qu’il est de même espèce que P.

Théorème VIII. — Lorsqu’un polyèdre possède un plan de symétrie P, et un axe de sYmétrie I, oblique à ce plan, la droite I/, homologue de l, parrapport au plan, est aussi un axe de symétrie.

Car soit S,yi^' 4, un sommet quelconque, ayant un homologue en s par rapport au plan P, et soient s, s', s", etc., le sy.stème des homologues de s par l'apport à l'axe L ; soient S, .S', S", etc. , les homologues de s, s', s” , etc. , par rapport au plan P. I^ configuration de S, S', S", etc., autour de L' sera la même que celle de s, s', s", etc., autour de L; doncL' est aiLssi un axe de symétrie, et de même espèce que L.

Corollaire. — Tout plan de symétrie entraîne la reproduction sur le côté opposé de ce plan, non-seulement de chaque sommet, mais aussi de chaque

SÜH LKS l'OI.VtUHES DR POBME SYMETRIQUE.

plBii OU nxe de symétrie du polyèdre. I.es plans et axes ainsi reproduits sont de même espèce que les primitifs, et inversement semblables à ces derniers.

TnéonÈME IX. — Dans tout polyèdre possédant un a.re L d'ordre q, à tout plan de symétrie oblique à l'a.ve correspondent q — i autres plans de symétrie de meme espèce.

Ce théorème se démontrerait comme les théorèmes Vil et VIII.

On peut aussi se borner à remarquer que, pendant la rotation du polyèdre autour de l’axe L’, le plan de symétrie peut être considéré comme participant à cette rotation ; or, pendant qu'elle s’elTectiie, ce plan ne cesse pas d'être un plan de .symétrie par rapport au polyèdi e qui participe à son mouvement ; il eu sera donc encore île même lorsque la rotation aura atteint une valeur

ancillaire de

TnéoiiÈME X. — Dans tout polyèdre possédant un axe I, d'ordre q, à tout axe de symétrie \I oblique sur le précédent corre.spondent q — i aulre.s axes de meme ordre et de meme espèce que l'a.rc L'.

Ce théoi-ème se ilémontre comme le précédent; lorsque le jiolyèdre tourne

de autour de I/, l’axe 1/ ne cesse pas d’être un axe de symétrie du '/ '

polyèdre mobile.

Corollaire . — Tout axe de symétrie d’ordre q nécessite la coexistence de tous les axes ou plans de symétrie qui sont les homologues d’un axe ou d’un plan donné, par rapport à l'axe d’ordre q. Les plans ou axes homologues ainsi obtenus sont de même espèce et directement semblable.s entre eux.

Thi-obème XL — Lorsqu’il existe un nombre total q de plans de symétrie se coupant suivant une meme droite., cette droite e.st un axe de .symétrie dont le numéro d'ordre est q ou un de ses multiples.

Les angles dièdres de ces plans sont nécessairement égaux entre eux ; sans cela ces plans se reproduiraient symétriquement l'un par rapport a l'autre (théorème Vil), et leur nombre total serait supérieur à q.

MÉMOIRE

Soient donc CPA et C/»A, Jig. 5, deux plans de symétrie voisins : on aura évidemment

Or, le point <j étant l'homologue île S par rapport au plan PCA, et S' l'homologue de U par rapport au plan /iCA, la rotation qui amènera S en S', en faisant tourner le polyèdre autour de CA, sera, d'après la démonstration du théorème V,

PCP' = 2 PC/7 =

Donc l’ordre de symétrie de l'axe CA sera </, ou l’un de ses multiples.

Théorème XII. — Imi-.u/uH existe deux axes (h‘ symétrie binaires, la normale à leur plan, menée par leur point d’ intersection, est un axe de symétrie du polyèdre.

Soient CP, Cp, Jig. 3, les deux axes hinaires, et S un sommet du polyèdre ; je supposerai que S soit situé à une hauteur A au-dessus du plan PC/i qui est le plan de la figure, et qu’il se projette orthogonalement en S : l'homologue de S par rapport à l’axe CP sera le point s situé à une distance A au-dessous du plan de la figure, et l'on aura, entre les projections S et s, les ■'dations

angle SC J = aangle SCP, Cjt=(JS;

de même on ohtiendia l'homologue S' de s par rapport à l’axe C/7, en posant

angle S'C J = a angle jCP, CS' = Cj-, et le point S' sera à une hauteur A au-dessus du plan de la figure; donc S'CS = aPC/7, CS' = CS.

En répétant les mêmes opérations sur S', on atteindra de même S", puis S'*; tous ces points formeront les sommets d’un polygone régulier inscrit au cei'cle de rayon CS, et seront les homologues de S par rapport à la noi'male

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE

an plan. Donc cette normale sera un axe de symétrie dont le numéro d'ordre^ dépendra de la valeur de l’angle VCp.

Théorème XIII. — Lorsfju’il existe un nombre total q d'axes binaires répartis sur un plan, la normale au plan est un axe de symétrie dont le numéro d’ordre est q ou un multiple de q.

Les angles de ces axes sont nécessairement égaux entre eux; sans i-ela, ces axes se reproduiraient l’un l’autre, dans le même plan (théorème \, corollaire) , et leur nombre total serait supérieur au nombre q.

Soient donc CP, C/> deux axes binaires voisins, /ïg. 5, et CA la normale à leur plan : on aura évidemment

Or, si s est l’homologue de S par rapport à l’axe CP, et S' l’homologue de s par rapport à l’axe Cp, la rotation qui amcneixi S en S', en faisant tourner le polyèdre autour de CA, sera, d’après la démonstration du théorème précédent,

angle 1X]P' = a \\.p =

donc la droite CA sera un axe de symétrie d'oixlré égal à ^ ou à un multiple de q.

Théorème XIV. — Lorsqu'il existe trois axes quaternaires rectangulaires entre eux, il existe en meme temps quatre axes ternaires extérieurs aux plans qui joignent deux à deux les ares quaternaires.

Soient OA, OB, OC, jig. 6, les trois axes quaternaires se coupant au centre de Kgure O du polyèdre. Faisons faire au polyèdre un quart de tour autour de OA et de B vers C; le lieu uppaient des sommets restera le même, et l’axe OB viendra eu OC. Faisons faire au polyèdre un second quart de tour, autour de la verticale OC, de A vers B; le lieu apparent des sommets restera encore le même; l’axe OB restera en OC, et l'axe OA viendra en OB. Le résultat de cette double rotation sera donc de transporter le système des

MEMOIRE

axes OA, OB, fixes avec le polyèdre et mobiles avec lui, sur le système des droites fixes OB, OC. Or il est visible que ce transport équivaut à une rotation unique de i ao degrés autour de la droite OD qui joint le centre de figure O au centre D du triangle sphérique trirectangle ABC. D’où l’on voit que la ligne OD est un axe ternaire du polyèdre, et comme il existe huit triangles trireclangles à centres opposés deux à deux , ces axes ternaires seront au nombre de quatre, tous extérieurs aux plans AOB, AOC, BOC.

Corvtlairc. — Un polyèdre à trois axes quaternaires rectangulaires ne possède ()as d'axe principal; car, dans tout polyèdre pourvu d’un axe principal, si l’on prend trois axes quelconques L, F/, 1 / non situés dans le même plan, deux au moins des trois angles qu’ils comprennent doivent, d'après la définition de l'axe principal, être égaux à 90 degrés. Or, cette condition n’est pas satisfaite par le système des trois axes OA, OB, OD.

Théorème XV. — üam tout polyèdre possédant un axe principal A’, s’il existe un second a.ce de symétrie, cet axe, nécessairement situé dans un plan normal h A'', aura une symétrie simplement binaire.

Soient CA, Jig. 7, l’axe A*, et CF> le second axe, j: étant le numéro d’ordre inconnu <ie sa symétrie; il est clair que cet axe sera situé dans un plan normal à A’, et je dis, de plus, que l’on aura x= a.

En efl'et, d'après la définition de l’axe principal, les axes homologues de A* par rapport à 1/ (théorème X, corollaire) doivent être normaux à A*, ou coineider avec lui. Ainsi, on ne peut faire que les suppositions x=2, j;=4i correspondant, la première au cas d’un demi-tour autour de I/, la deuxième au cas d’un quart de tour.

Si jt= 4 . l'axe CI^ sen» quaternaire, et l’axe (i.\ se reproduira en Cl/, qui sera un axe de même espèce que lui (théorème X), et situé dans le plan normal à CA, [tassant [var C; Cl/ sera donc aus.si un axe d’ordre y, et pour ([ue les axes homologues de l’axe CL par rapport à CI/ ne sortent pas du [>lan IXI/, comme l’exige la définition de l’axe principal, il faudra que l’on ait 7 = 4 ou (/ = a.

I.e cas 7 = 4 correspond au cas de trois axes quaternaires rectangulaires,

SÜB LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XXXIll

et doit être rejeté; car il n‘y a pas alors d'axe principal (théorème XIV, corollaire).

Dans le cas 17 = a, l'axe CI< .sera le véritable axe principal. En effet, il est facile de voir qu'il ne peut y avoir de plan de symétrie passant par Ca , et oblique à CL ; car son premier homologue par rapport à l’axe quaternaire CL ne serait ni normal ni parallèle à CA, et cela serait contraire à la supposition que CA est un axe principal : donc rien ne s’oppose à ce que l’on considère CL comme axe principal, et l’on doit le faire, puisque l’ordre de sa symétrie est plus élevé que l’ordre de la symétrie de Ca. Donc, si Ca est réellement un axe principal, ou ne peut jamais avoir a; = 4 -

Il ne reste que la supposition a; donc le deuxième axe de symétrie sera un axe simplement binaire.

Théorème XVI. — Dans tout polyèdre à cure principal, les q axes binaires situés dans le plan normal à cet axe sont également inclinés, chacun sur son 'voisin, et sont de même espère de deux en deux.

Car soient CP, Cp,Jig. 3, deux axes binaires voisins; l’axe binaire C^y forcera l’axe (iP à se reproduire du côté opposé en CP' (théorème X, corollaire); (3’' entraîne à son tour l’existence de l’axe Cp', et ainsi de suite : d’où l’on voit que les q angles I*C/y, /yCP', P'C//, etc., doivent être égaux entre

eux et a

Les axes CP et CP' sont de même espèce et directement semblables par rapport à l’axe intermédiaire Qp; de même Cp et C// sont de même espèce entre eux et dii*ectement semblables par rapport à l’axe CP'; donc, etc.

Théorème XVII. — Les polyèdres qui possèdent un axe A*, q plans de symétrie passant par cet cuve, et le plan de symétrie II normal à l’axe principal, possèdent aussi q axes binaires, aux intersections de ces q plans avec le plan fl.

Iæ rencontre de deux plans de symétrie est toujours un axe de symétrie (théorème V); or, cet axe ne peut être que binaire (théorème XV); donc, etc.

On peut aussi, pour démontrer ce théorème, recourir à la fig. 5, où CPQ est l’un des q plans passant par l’axe A’, et CPP' le plan TT.

MÉMOIRE

Soit 1 l'hoinologue du sommet S par rapportai! plan n ; soit s l’homologiic de 2 par rapport au plan CPQ ; il est visible que S et j sont homologues Tun de l’autre par rapport à CP, qui est ainsi un axe binaire du polyèdre.

Théorème XVlll. — Les polyèdres (pti ont un axe A’, (/ axes binaires normaux à A*, et te plan de symétrie 11 normal à A’, ont aussi q plans de symétrie passant par l’axe A’ et par chacun des axes binaires.

Soit CP,yi’^. 5, l'un des axes binaires; soit CPP’ le plan Tl normal à l’axe principal CA. Ije sommet S aura un homologue en s, de l’autre côté de l’axe biliaire CP; le sommet s aura un homologue en a, de l’autre côté du plan II : les points S et ir seront homologues l’un de l'autre par rapport au plan CPQ; donc ce dernier plan sera l'un des plans de symétrie du polyèdre.

Théorème XIX. — Les polyèdres qui possèdent un axe principal A*, q plans de symétrie passant par cet axe, et un centre de symétrie, possèdent aussi q axes binaires menés par le centre normalement à chacun de ces plans.

C’est une conséquence des théorèmes IV et XV.

Théorème XX. — Ixs polyèdres qui possèdent un are A’, q axes binaires normaux à A’, et un centre de symétrie, possèdent aussi q plans de symétrie normaux à ces axes binaires.

Cela résulte du théorème ,XXI que nous allons démontrer.

C(U des polyèdres à axe principal d’ordre pair.

Théorème XXI. — Tout polyèdre possédant un a.re d'ordre pair et un centre de symétrie possède un plan de symétrie passant par le centre et normal à cet axe.

Soit CA,/<^'. a, l'axe de symétrie d'ordre aiy; soient C le centre de symétrie, et IHj le plan normal à CA. Le sommet Sa aiy — i homologues par rajiport à l'axe CA; si donc on abaisse la normale Sa sur CA, et si on la

SUR LES POLYEDRES DE FORME SYMEI'HIQUE. XXXN

prolonge de nS' = aS, S' sera l’iiii de ces homologues. Joignant S' au centre C, prolongeant et faisant cX = cS\ on obtient le sommet 2 homologue de S' par rapport au centre G : évidemment S et 2 sont homologues par rapport au plan PQ; donc ce plan est un plan de symétrie du polyèdre.

Th^orè.me XXII. — Tout polyèdre possédant un cuve d’ ordre pair et un plan de symétrie normal à cet axe possède un centre de symétrie^ situé à la rencontre de l'axe et du plan.

Soit S',Jiff. 2, rhoinologiic oppost; au sommet S par rapport à l’axe GA; soit s l’homologue de S' par ra|)port au [)lau PQ normal à l’axe C.\ : les deux sommets S et j seront homologues relativement au point G où l’axe coupe lè plan; ce point sera donc un centre de symétrie du polyèdre.

'riiÉoRÈME XXllI. — 7 'ont polyèdre possédant un axe d'ordre pair, et un plan de symétrie passant par cet axe, possède un second plan de .symétrie passant par l'axe et normal au plan précédent.

Soient C\, fig. 7, l’axe d'ordre pair, LGa le plan de symétrie donné, S un sommet du polyèdre. S' son homologue de l’autre côté de GA, l'honiologue de S' par rapport au plan LGA : S et / seront homologues par rapport au plan AGL' passant par CA et normal au précédent; donc, etc.

Théorème XXIV. — Dans tout polyèdre possédant un axe W, s'il existe des axes binaires normcuix à 1.’’, leur nombre total est égal à savoir : q ares d'une première espèce, et q axes d'une secorule espèce, alternant avec les précédents.

Soit CP, fig. 5 , un axe binaire normal à l’axe GA d’ordre -iq; soit menée, dans le plan PGP' normal à GA, la droite Cl^ faisant avec GP l’angle

36o“ iSo'’^

la droite Cl^ sera un axe binaire de même espèce que CP, à cause de la symétrie propre à l’axe CA (théorème X, corollaire). I,e nombre des axes

XVXVI MÉHOIBB

ainsi obtenus sera égal à q\ chacun d'eux peut être considéré comme dérivant de CP par des rotations égales à

les axes correspondants aux rotations

coïncident avec les précédents.

Si maintenant on partage PCP' en deux jjarties égales par la bissectrice Vjp, Ç,p sera aussi un axe binaire. Car soit s l’homologue de S par rapport à CP; soit s riiomologue de s par rapport à l’axe CA, l’angle de rotation qui amène j en s étant

— = PCP';

les sommets S, s' seront homologues par rapport à ùp considéré comme étant un axe binaire : ces q droites bissectrices seront ainsi des axes binaires, mais d’une autre espèce.

Il y aura donc 27 axes binaires, et leur nombre ne peut être plus considérable ; car, s'il existait Q axes binaires, Q étant supérieur à a 9, l’ordre de la symétrie de Taxe nonnal a leur plan serait Q ou /«Q (théorème XIII), ce qui est contraire aux conditions de l’énoncé.

Corollaire I. — Le nombre des axes binaires normaux à un axe principal A’’ sera toujours égal à o ou à 2ç.

Corollaire II. — I<es axes binaires normaux à A’* sont perpendiculaires entre eux, deux à deux.

Théorème \XV. — Dans tout polyèdre possédant un axe L’’, s'il existe des plans de symétrie passant par cet axe, leur nombre total sera 2 y, dont q d’une espece, et q d'une autre espèce, alternant avec les précédents.

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XXXVII

Soient AGP, .^CP', fig. 5 , deux plans de symétrie faisant entre eux l'angle

j,Qjy 360“ 180"

Le système de ces plans se composera de <] plans de symétrie, de même espèce et ilirectement semblables entre eux. De |)liis, les plans intermédiaires qui partagent en deux parties égales les angles dièdres (ACP, AGP') sont aussi (les plans de symétrie. Car soit AG/i un de ces plans intermédiaires ; prenei <r homolugue d’un sommet donné S par rapport au plan AGP, et soit (t' riiomologue de <r par rapport à GA, l'angle de rotation qui amène <t en a' étant