XX. UIP Cahier. lo

-jf\ MÉMOIRE

laces on arêtes, il [loiirra être considéré comme étant le jiarallélipijx’-de générateur on noyau de l’Assemblage.

Corolhiiri'.. — On jx'iit aussi faire dériver l'Assemblage de l'un des tétraèdres élémentaires OM'N'P', 0"M*'N"'P"' {fig. 3o): les quatre sommets snllisent pour fixer complètement le système entier de l’Assemblage ; mais ce tétraèdre n'est point un solide générateur proprement dit.

Théobf.me LXIII. — Tout Assemblage à symétrie ternaire possède trois plans de symétrie passant par l’a-ve et perpendieulaires aux trois directions des côtés du triangle principal du Réseau des plans normaux h l'oxe.

I.a /ig. 29 représente en projection orthogonale les trois Réseaux des plans 2 = 0 , z = i, 2 = a; tous les autres Réseaux dc's plans z = p tse projettent sur les précédents, les Réseaux de la forme z = 3j sur le Réseau : = O, ceux de la forme z = 3j + i sur le Réseau s = i , ceux de la forme 2 = 3 y -4- 2 sur le Réseau z — 9 .. Soit menée par O la droite OMI» normale au côté AF, et par cctle droite un plan normal au plan de la figure, (ie plan sera évidemment un plan de symétrie pour chacun des trois Késeaux; il sera donc un plan de symétrie de l’Assemblage.

De même, les plans menés par O normalement aux côtés AR, RC seraient aussi des plans de symétrie; d’ailleurs la symétrie ternaire exige que ces plans soient au nombre de trois. Donc, etc.

liCs plans menés par O, normalement au plan de la figure, et parallèlement aux côtés, ne sont pas des plans de symétrie de l’As-semblage.

Scolic. — I.es crisLallographes «lésignent sous le nom de section principale du rhomboèdre, tout plan tel que {fig- 3o) fpii

passe par l’axe géométrique du rhomboèdre et par deux de ses six sommets latéraux, tels que M' et M": (X)'^ est dit l’a.i:e du rhomboèdre.

Ou voit, d’après cela, que les trois sections principales du rhomboèdr»" servant de noyau à un .Assemblage ternaire sont des plans de symétrie pour cet Assemblage.

'I’hÉorkmk LXIV. — Dans les Assemblages à symétrie ternaire, tout côté de la maille triéepiiangle d'un Réseau normal à rare ternaire est un a.re binaire de i Assemblage.

C’est une conséquence évidente des théorèmes LU et LXllI. On le

SUR LES SYSTÈMES UE l'ülNTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. 7^

voit, d'ailleurs, clairement sur la fig. 29, en considérant le Réseau MN'P eoiiime appartenant au plan s = 1 , et le Réseau M'N'P' coiniiie appartenant au j)lan z — — 1 . Alors, après une rotation de 1 80 degrt-s autour de la droite AGI), M vient en P', P en M', etc. ; de sorte que le Réseau z = 1 prend la place du Réseau z = — 1 , et vice versa. De même, les Réseaux z—p et z~ — P se substitueraient l’un à l’autre; donc AOD est un axe binaire.

Symétrie ipiaternaire .

Tiikoreme I.XV. — Du/is tout Assemblage à axe de symétrie (juuterriaire, le Réseau des plans réticulaires normaux h l’are f/uulernaire est à maille carrée.

Soit M (Jig. 3 i) l’un des Sommets de l’Assemblage placé à la distance inininium de l’axe quaternaire, mais hors de cet axe. De M menons un plan normal à l’axe, et qui le coupe au point O ; puis, dans le cercle de centre O et de rayon OM, inscrivons un carré M dont M soit un des sommets :

les quatre points M, M', M*, M" appartiendront au Réseau de ce plan. Alors, si le point O est l’un des Sommets de l’.'\sseinblage, le Réseau aura pour [larallélogramme générateur le carré et le carré

dans le cas contraire.

Théorème LXVT. — l’out Assemblage à axe de symétrie quateriMire dérive du prisme droit à base carrée, centré ou non centré.

I/axe quaternaire possédant évidemment toutes les propriétés d'un axe binaire, le noyau de l’Assemblage sera un prisme droit à base parallélogiamniique, centré ou non centré (théorème LV).

Si le prisme n’est pas centré, tous les Réseaux des plans z=p se projetteront sur celui du plan z = o normal à l’axe quaternaire, et il en résultera , en projection orthogonale, la disposition indicjuée par la Jig. 3 a.

Si le (irisme est centré, les Réseaux des plans s = a y se projetteront encore sur le Réseau à maille carrée : = o; mais, quant aux plans z = ay -(- 1 , la projection de leurs Sommets se (éra {fig. 3 a) sur le milieu de l’un des trois cotés du triangle principal ABC (théorème LV, scolie I): or elle ne peut se faire ni sur O', ni sur 0 ”; car le prisme droit élevé sur le carn- ARGD, comme base, aurait deux de ses faces latérales centrées, et les deux

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autres non ccntn«s, résultat évidemment incom[»atible avec la symétrie des axes quaternaires menés par les Sommets A, B, C, D. Donc la projection du Réseau z = i se fera en O, c’est-à-dire sur les centres des carré-s du Béseau z = o, comme l’indique la Jig. i3.

Corollaire 1. — I^e théorème LUI peut ctn» appliqué aux Assemblages ipiaternaires. IjCS mêmes systèmes de Rangées et de plans réticulaires se i-etrouvent dans l’Assemblage dérivant du prisme droit centré et dans l’Assemblage dédoublé que l’on obtient en sup|)riniant les Sommets placés aux centres des prismes.

CoroUaire 11. — On peut substituer au prisme droit centré à base carrée l’octaèdre à base carrée de la Jig. «8; toutefois ce solide n'est pas un solide générateur de l’Assemblage.

THéoBÈMF. I.XVIl. — Dons le cas du priime droit à hase carrée, non rentré, les quatre areites latérales sont des u.res de symétrie quaternaire : les parallèles à ces a.res menées par les centres des hases carrées sont aussi des ojces quaternaires ; mais ces a.res sont du genre de ceu.v que nous avons nommés a res intermédiaires, et ne renj'crmcnl aucun des Sommets de V Assemhlagc.

'I’héorèmf. I a \ 1 1 1 . — Dans le cas du prisme droit centré à ba.se carrée, tous les a.res de symétrie quaternaire sont des Rangées, et ont pour paramètre la hauteur du prisme.

Théorème Ij\1\. — Dans tout Assemblage quaternaire, il e,vistc dèsplans de symétrie passant par l’a-ve, et dirigés, les uns suivant les côtés, les autres suivant les diagonales du carré générateur du Réseau normal à l’a-re quaternaire.

CoroUaire. — Chaque côté et chaque diagonale du carré générateur du Réseau normal à l’axe quaternaire sont des axes binaires de l'Assemblage (théorème LII).

néjlnitions. — Les axes parallèles aux côtés des carrés seront dits axes biliaires de première espèce; les axes parallèles aux diagonales de ces carrés seront dits axes binaires de detuvicme c.spcce. Les premiers ont le côté du carré, et les autres la diagonale du même can-é, pour paramètre.

SUR I.F.S SYSTKMES UE POINTS IllSTRIBUÉS Ré(!UU ÈREMENT. 77

Ces quatre systèmes d’axes se roupent sous des angles de 4 :’> degrés et de 90 degrés.

Ces divers énoncés n’exigent aucune démonstration.

Symétrie sénaire.

Théorème LXX. — Dans tout /fsseinblage à turc sénaire, le Réseau des plans nnrmau.v à Va.re est à maille triéaptiangle, et les divers Réseau.r de res pituis se projettent orthogonalement les uns sur les autres.

Soit .M (Jig. 1 1) l’un des Sommets, pris liors de l’nxe, au minimum de distance. .Menons par M un plan normal à l’axe, et qui le coupe au point O. Soit construit alors l’hexagone r»‘gulier .M.M'NN'PP' ayant son centre eu ( ). Chacun de ses sommets sera un Sommet de l’Assemblage, et il en sera de même du centre O. Ce plan étant pris pour plan des .vy, son équation sera z = o.

Sur les plans réticulaires 5=1, z = la même démonstration est

ap|)licablc; l’intersection de chacun de ces plans avec Taxe sera aussi un Sommet. Donc les Réseaux de ces plans coincident, en projection orthogonale, avec le lléseau du plan := o. D’ailleurs il est évident que ces Réseaux sont à maille triéquiangle.

Corollaire . — L’axe sénaire est une des Rangées de rAssemblage, et celte Rangée est conjuguée avec son plan normal.

Théorème LXXI. — Tout Assemblage a a.ve de symétrie sétuiirr dérive il' un prisme droit à hase triéi/uiangle.

C’est une eons«-quence du corollaire précédent. Si sur le rhombe O.MM'IN {Jig. Il) on élève un prisme droit ayant pour hauteur l'intervalle qui sépare le plan : = o du plan z = i, ce solide sera le parallélipipède générateur de l’Assemblage, puisque OM et ON sont deux Rangées conjuguées du Réseau du plan OMM'N.

r.c prisme droit de meme hauteur et de base triangulaire OMM' peut aussi être pris pour solide générateur de l’Assemblage.

Corollaires. — Toutes les Rangées parallèles à l'axe sénaire sont aussi des axes sénaircs.

MÉMOIRE

Toute parallèle à l’axe séuaire menée par le centre de l’un des trlanglo écjuiangles du Réseau normal à l’axe est un axe intermédiaire, dont la symétrie est ternaire.

Toute parallèle à l’axe sénaire menée par le milieu de l'un des côtés des triangles équiangles du Réseau ; = o c.st aussi un axe intermédiaire, mais de symétrie binaire.

Tous les plans réticulaires normaux à l’axe sénaire sont des plaas de svmétrie.

Tous les plans réticulaires passant par l’axe sénaire et parallèles aux (■ôté-s des triangles du Réseau s = o sont des plans de symétrie; il y a trois systèmes distincts de tels plans.

Tous les plans réticulaires passant par l'axe sénaire et perjiendiculaires aux côtés des triangles <lii Réseau z = o sont aussi des plans de symétrie; il y a trois systèmes distincts de tels plans.

Dans chacun des tiiatigles équiangles du Réseau z = o, cha(|ue côté est un axe de symétrie binaire de l’Assemblage; il y a trois systèmes de tels axes, et ces axes .sont de même espèr-e.

Dans ces mêmes triangles, chaque normale à un côté menée par le sommet opposé est aussi un axe de symétrie binaire; il y a trois systèmes de tels axes: ces axes sont de même espèce entre eux, mais d’espèce dillérente de celle des précédents.

/hlfiiiitivns. — I.es axes parallèles aux ci’>tés seront dits axes binaires lif première espèce; les axes perpendiculaires aux côtés, et dont le paramétré est la grande diagonale du rhombe générateur du Réseau z = o, s«-ront dits axes binaires de deuxième espèce.

Os six systèmes d’axes se coupent entre eux sous des angles de ’io, lio et ()o degrés.

Théoukmk I.WIl. — Si, dans un Assemblage à symétrie simplement ternaire, on supprime, parmi les Iiéseau.r des plans réticulaires normau.r à l'ajc, ceux: tpii ont un numéro d’ordre non divisible par 3, on obtient un Assemblage à symétrie sénaire: toutes les Rangées et plans réticulaires de r Assemblage primitif se retrouvent dans le nouvel Assemblage.

l.a première partie de la proposition énoncée a déjà été démontrée (tliéorimie I,\I, corollaire); la suppression indiquée revient à aniiulei