SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUKS RÉOVLIÈREMENT. 7<J

(leux Sommets sur trois, sur chacune des grandes diagonales des prismes droits géni^rateurs à base rhonibe. Or nous avons vu (théorème LUI) <|ue l'intercalation de nouveaux Sommets, ou la suppression des Sommets intercalés, dans un système de Rangées parallèles, n’altère pas les divers systèmes de Rangées ou de plans réticulaires, du moins quant à la direction de ces systèmes.

La suppi'ession des plans à indice non multiple de 3 modifie les systèmes de Rangées, soit en rendant leur densité trois fois moindre, soit en rendant leur paramètre trois fois plus grand. Elle modifie les systèmes de [ilans réticulaires, soit en triplant l’épaisseur des strates, soit en triplant faire de la maille génératrice des Réseaux de ces plans.

Symétrie tert/uaternaire.

I>es énoncés des théorèmes qui vont suivre, et la définition de la j>age 8<>, indiqueront cc que l’on doit entendre par la symétrie ter</uatcrnaire.

Théorème LXXIII. — Lorsqu’un y/sscmhlage possède deux a.res de symétrie ternaire non parallèles, il en possède quatre, disposés comme le sont les quatre grandes diagonales d'un cube, c'est-à-dire se coupant sous l’angle 7o"3i'44*^ dont le cosinus est égal à et il ne peut en posséder un plus grand nombre.

Soient 0.\ et OR (Jig- 34) les deux axes de symétrie donnés partant d’un même Sommet O, et prolongeons-les jusqu'à la rencontre d'une surlk<;e sphérique de centre O et de rayon égal à i . Menons l’arc de grand cercle .\B, et faisons tourner le système OAR de 1 20 degrés autour de OR, jusqu'à ce qu’il arrive en OCR, puis de lao degrés autour de OC, etc.; nous arriverons facilement par cette voie à démontrer que les axes ternaires sont assemblés, ou bien comme les quatre diagonales d’un cube, ou bien comme les dix diagonales d’un dodécaèdre régulier; mais si l’on nomme a {Jig. 34) le centre du polygone régulier sphérique ABCD... ainsi obtenu. Ou devra être aussi un axe de symétrie tel, que la restitution des Sommets s’opère après une rotation égale à l'angle AaïC, autour de Ou; or, chins le cas du dodécaèdre régulier, on aurait

Aû.C = i44“,

m^MOIRE

;ii)};le qui ne peut jamai» ( vojr'ez le corollaire du théorème XL VI ) produire la restitution des lieux des Sommets : donc le cas de dix axes ternaires assemblés comme les diagonales d’un dodécaèdre régulier doit être exclu; donc, etc.

(icux de nos lecteurs qui désireraient une démonstration plus développée de ce théorème, la trouveront dans mon a .Mémoire sur les Polyèdres de forme .symétrique ». Je me borne à rappeler que j'ai démontré dans ce .Mémoire :

i". Que lorsqu’il existe dans un polyèdre deux axes d’ordre supérieur au <leuxièiiie, le polyèdre est sphéroéclricjuc ( tbéorème XL de mon Mi’moirc) ;

1 °. Qu’il existe deux groupes de polyèdres sphéroédriqucs, les (piatcr- Icrimircs, ayant quatre axes ternaires assemblés comme le sont les quatre diagonales d’un cul)e, et les d^ceni ternaires, ayant dix axes ternaires assemblés comme le sont les dix diagonales d’un dodécaèdre régulier (corollaire du théorème XLIII, même Mémoire);

'1°. Que les polyèdres décc/nlernaires ont en même temps dix axes ((iiinaires (théorème LU, même Mémoire).

(knnme les .\.ss<îmblages ne peuvent jamais posséder d’axes quinaires, ils ne peuvent, par consé<|uent, avoir dix axes ternaires.

De là résulte clairement que tout Assemblage qui a deux axes ternaires rentre dans la catégorie des polyèdres quatertcrnaircs , et meme dans la <‘atégorie spéciale des polvcdres (pintcrternaires à centre de symétrie, puisque chacjue Sommet d’un Assemblage peut être pris pour son centre de symétrie. Ainsi le théorème actuel est complètement démontré.

Théokkmf. L.XXIV. — Le plan de jonction de deux axes ternaires non parallèles est un plan de symétrie de l\4ssemhla"e.

Soient 0\ (fig- 35) l’un de ces axes, et OH le second axe: du Sommet O, et d’un rayon OA égal à i, décrivez une surface sphérique; menez l’arc tie grand cercle AH, et les arcs de grand cercle AC, .\D, tels, que l'on ait

B.\C=iao% BAD = 12o“, AC = AD = AB.

Par ÜA passent trois plans de symétrie (théorème LXIII) (jui couperont la sphère suivant trois grands cercles. Si ces plans n’étaient pas dirigés

SUR I.ES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT. 8l

suivant AB, AC, AD, ils le seraient suivant Ah, Ac, Ad; B, C, D auraient des homologues en B', D': ainsi non-seulement OB, OC, CD seraient

des axes ternaires; mais il en serait de même de OB', (Xi', OD', ee qui est eontraire au théorème préeédent. Doue OAB, OAC, OAD sont des plans de SYTuétrie; ce sont, de plus, les trois sections principales du rhomhoèiire générateur dont l’axe est dirigé suivant OA.

'rnÉoBÈME T.XXV. — Ixs bissectrices des angles 7o"3i'44*» I 09 "a 8 ' iB", ijue forment entre eux deux axes ternaires, sont des axes de symétrie pour te Réseau du plan réticulaire qui unit ces deux axes.

La démonstration de ee théorème se déduit facilement des prlncip<‘.s exposés dans mon « Mémoire sur les l’olyèdres de forme symétrique » : car il en résulte que la bissectrice de l’angle obtus (ioq°a8' i6") de deux a.xes ternaires d’un polyèdre quaterternaire est toujours un axe de symétrie binaire ou quaternaire du polyèdre (théorème XLIV de ce Mémoii-e); donc cette bissectrice est un axe de syinétrie pour les Réseaux de tous les plans réticulaires qui pa.ssent {>ar cette droite. La bissectrice de l’angle aigu des deux axes ternaires sera donc aussi un axe de symétrie du Réseau de leur plan (théorème XII).

Problème XX.IX. — Trouver les Assemblages qui possèdent quatre axes de symétrie ternaire.

Dans un Assemblage quelcompie à noyau rhoniboédrique, soit 00' (fg. 30) l’axe ternaire, de paramètre (X)'; O, O' sont deux Sommets, et l’une des trois sections principales est prise pour plan de la figure. Soit AOA'O' cette section principale : .si par les Sommets O, A, A', O' on imagine des plans Of)H, AmB, A'/n'B', (l'O'H' normaux à l’axe, ces plans pourront être considérés comme ayant pour éijuations

ils divisent donc le paramètre de l'axe 0(J' en trois parties égales.

Maintenant nommons

M l’angle du rhomboèdre, c’est-à-dire l'angle que forment entre elles deux faces de ce rhomboèdre passant toutes les deux par O, ou toutes les deux jiar O';

XXXllP Cahier. il

Ha

MEMOIRE

a le paramètre des axes binaires de l’Assemblage, c'est-à-dire la longueur des côtés du triangle équiangle formant la maille du Réseau des plans

d le paramètre de l’axe ternaire, c’est-à-dire la longueur 00'.

II est aisé de voir que l’on a, quel que soit l'angle m du rhomboèdre,

Am = m' ■=■ a,

Om = mm'= 0'm'= | d ;

l’angle ,u dépend du rapport existant entre les paramètres a et d, et l’on trouve facilement que cette dépendance est exprimée par la formule

(Ira) tang’ i M = J. -I- f

Ces préliminaires, qui s’appliquent à tous les Assemblages ternaires, étant posés, cherchons la condition pour que l’Assemblage possède quatre axes ternaires.

Prenons pour plan de la figure le plan de jonction de 00' avec le deuxième axe ternaire, qui sera OA. On sait: i® que ce plan sera l’une des trois sections principales du rhomboèdre à axe 00' (théorème LXXIV) ; a® que l’on doit avoir

cos mOA = I (théorème LXXIII),

d'où il résulte que l’on a

OA = 30m = 00';

3“ que la bissectrice OM de l’angle AOO' est un axe de symétrie du Réseau du plan de la figure (théorème LXXV).

D’où l’on voit que, si l’on mène AM parallèle à 00', O'M parallèle à OA, la figure OAMO' sera un rhombe dont les tjuatre sommets seront des Sommets appartenant au Réseau du plan de la figure, et dont les diagonales OM, AO' seront des axes de symétrie du Réseau (théorème LXXV). Si maintenant on partage OA en trois parties égales 0«, ««', n'A, les plans normaux à OA, passant [wr O, n, n'. A, viendront couper la bissectrice OM en C, B', N. Comme les Sommets de notre Réseau ne peuvent se rencontrer, d’une part, que sur le système des Rangées G'O'II', .Vm'B', BmA, d’autre part,