SUR I-ES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUÉS RÉGULIÈREMENT
que sur le système des Rangées APN, n'RB'Q, «CO', ces Sommets ne doivent èti'e cherchés que sur les points d’intersection de ces droites. Mais d’abord il est évident que les quatre points R, P, Q, D' ne peuvent appartenir k l’Assemblage; car, si le point D' était dans ce cas, en le faisant tourner de 120 degrés autour de OO', il viendrait en un lieu de l’espace tel, qu’il aurait u pour projection sur le plan de la figure, et serait situé dans l’intérieur de la strate comprise entre les deux plans menés par O et « normalement à OA, ce qui est évidemment impossible. Donc les points C, R', \ peuvent seuls être des Sommets, dans l’intérieur du rhombe OAMO'. Donc le nombre des solutions se réduit k trois, le paramètre de la Rangée tKlB'M étant nécessairement égal kOM, ou à 0B'= -jOM, ou kOC = jOM.
Première solution. — Le paramètre de la Hangéc bissectrice est égal (I OM. Le parallélogramme A0.\'0' est alors la section principale du rhomboèdre ayant OO' pour axe.
(ie rhomboèdre est complètement déterminé par l'équation Am’ = OA’ — Om’ = J rf’,
d'où l’on tire
«’= 3 Am’= tang’ I M = 3, M = 1 20 ®.
L’Assemblage dépendant du rhomboèdre de 1 20 degrés auquel nous sommes ainsi conduits, peut être obtenu en centrant tous les cubes d’un /Assemblage k noyau cubique. En effet, le point O pieut être considéré <Njmme étant le plus bas Sommet d’un cube dont le centre serait en O' et le Sommet supérieur en O*; le parallélogramme 0A'0"M serait sa section principale suivant la diagonale 00"; le Sommet A serait le centre de l’un des six cubes qui se juxtaposent à 0A'0"M suivant chacune de ses faces.
Deuxième solution. — Le paramètre de la Rangée bissectrice est égala OB'. Le rectangle OB'O'B est alors la section principale du rhomboèdre qui a 00' pour axe. L’arête O' B' du rhomboèdre étant normale à la face qui a O' B pour trace, on voit que le rhomboèdre correspondant est un
MKMOIRE
<nibe. (^n cli'diiirait aussi ce résultat «les formules
rt’ = 3 B/« = I Aw« = J f/% tang’ i« = | + i = i, M = 90".
Troisième solution. — Ia; par tut /être fie la Ilangéc bisscrtricc est égal a (iC,. Dans ce cas, O, (j, B', N, M sont des Sonuncts de l' Assemblage. I.a sectiofi prim-ipalc est OCO'C'. On a, alors,
rt’ — 3C/« = J Bw* =: i «/’,
tang^iM = i + i = i, M=7o“3.'4r.
D’après la valeur, 7o"3i'44'^i tl** l’angle dièdre «lu rliomboèdi-e générateur, on r«-eonnait «pi’il se termine supérieurement et inférieurement par deux tétraèdres réguliers. On a, d’ailleui’s,
dü’ = (d 7/’ -4- c7//’ = i «/’ -I- .^ «/> = i æ = n\
ce qui prouve bien «jiie les trois fa«-es latérales de ce tétraèdre sont des triangles «•«piilatéraux.
I,es Sommets C, G' occupent les centres de deux di*s faces du cube à section j)rinei[>ale OBO' B'; les quatre Sommets «pii se projettent orthogonalement en D «'t D', sur le plan de la figure, occupent les centres des quatre autix’s faces du même cube. Ainsi l’Assemblage actuel peut èti-e considéré comme dérivant d’un cube ayant scs six faces centrées.
Kn r«’sunié, le cube, le rhomboèdre de lao degrés (rhomboèdre tangent extérieurement au cube, suivant le langage d«‘s ci'istallographes), et le rhomboèdre de 70"3 i' 44*’ (rhomboè«lre tangent intérieurement au cube), sont les seuls rhombo«*dres qui puissent servir de noyau à un .Vssemblage jiossédant quatre axes ternaires.
'rnÉORÈME LXW J. — JLes Assemblages qui possèdent quatre axes ternaires possèdent aussi trois ares quaternaires .
On peut substituer aux trois rhomboè«lr« s que nous venons d'obtenir le cube centré, le cube non centré et le cube à six faces centrées. Or chacun de ces solides possède évidemment trois axes quaternaires ; ce sont les lignes
