SUH LES SYSTÈMES DE POINTS DISTEIBUÉS RÉGULIÈREMENT

qui joignent deux à deux les centres des faces opposées de ces cubes. Ces axes quaternaires sont rectangulaires entre eux.

Théorème LXXVII. — Ijorsquil existe daut axes de symétrie f/uuternoire, il en existe trois assemblés rectangulnirement, et il ne peut en exister un plus grand nombre.

Ce tliéorème se démontrerait comme le théorème I.XXlll. f.es intereeetioas des axes avec la sphère de rayon i forment un système de six points répartis de manière à figurer les sommets d’un octaèdre régulier inscrit ; donc, etc.

C’est d'ailleurs une conséquence immédiate du théorème XLl de mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique ».

Problème XXX. — Trouver les yJssemblages <pti possèdent trois oxn f/uatcrnaircs.

Le solide générateur de tout .Assemblage à un axe quaternaire €*st un prisme droit à base carrée, centré ou non centré (théorème l.XVI). Soit donc OACB {Jig. 3y) la base de ce prisme, O, A, C, H étant des Sommets de l’Assemblage.

Soient a le paramètre des Rangées dirigées suivant les côtés de ce carré, d le paramètre des Rangées normales à .son plan.

las» deux axes quaternaiix’s qui restent disponibles sont nécessairement situées dans le plan OACB (théorème LX.XVII); ils sont donc dirigés suivant O.A, ()B, ou suivant (Kî, (iOE; sans cela, la symétrie binaire rpie pos.sèdent ces dernières lignes (théorème LXIX , corollaire) doublerait le nombre des axes quatei naires, ce qui serait contraire au théorème LXX V 1 1 . De là résultent les trois solutions suivantes :

Première solution. — Si le prisme n'est pas centré, les axes situi'-s dan,% le plan de la figure ne peuvent être OC et COE; car une rotation de 90 degrés autour de (Xi amèneiait dans l’intérieur du prisme indéfini qui a OACB pour base, et qui doit rester vi<le de tout Sommet dans son intérieur: mais l’on peut prendre (J.A, OB pour axes ipiaternaires, et, en faisant tourner (^ACB de 90 degrés autour de 0.\, on voit t|ue l'on aura

Ainsi, dans ce cas, le solide générateur est un cube non centré.

Deuxième solution. — Si le prisme est centré, soit D son centre (que l’on n’a point marqué sur la figure), se projetant orthogonalement en d sur 1 <* centre du carré f)ACB.

Si les axes quaternaires disponibles sont alors dirigés suivant OA , OB, une rotation de OACB autour de OA, égale à 90 degrés, fera voir que l’on a, comme précédemment,

Le point D occupera le centre du cube ayant OACB pour liase; le solide générateur est alors un cube centré.

Troisième solution. — Enfin , si les axes quaternaires disponibles sont f)C et GOE, en effectuant une rotation de 90 degrés autour de OC, on voit que A viendra en D; d’où l’on déduit

Drf = Arf = a y/jj

et, en doublant cette liauteur, on aura la hauteur du prisme générateur, savoir,

Mais, si l’on prend alors le carré OCEE pour base, le prisme se change évidemment en un cube centré sur ses six faces.

Corolluire. — I^es trois genres d’Assemblages que fournit la solution du problème XXX coïncident avec les trois genres d’Assemblages que fournit la solution du problème XXIX.

11 en résulte que les Assemblages (jui possèdent trois axes de symétrie quaternaire possèdent «piatre axes de symétrie ternaire, et vice versa.

Théorème LXXVIII. — Tout Asscmhla.gc (jui possède en même temps un axe ternaire et un axe quaternaire, possède trois axes quaternaires et quatre axes ternaires.

Les trois axes quaternaires sont une conséquence de la symétrie propre à l’axe ternaire donné ; l’Assemblage possède donc aussi quatre axes ternaires (corollaire précédent).

Définition. — Xous nommerons dorénavant Assemblages terquatrrnaires les trois genres d’ Assemblages dont nous venons de constater l’existence, et