SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT
qui possèdent en même temps trois axes quaternaires et quatre axes ternaires. symétrie qui caractérise ces Assemblages sera dite symétrie terfjuaternaire. La présence simultanée de deux de ces sept axes suflit pour constater la symétrie terquaternaire.
Théorème LXXIX. — Tout Assemblage terr/uaternaire possède six axes binaires qui bissèquent les angles droits que forment les axes quaternaires eombinés deux à deux.
Soient .v'Ox, y'Oy, z'Oz (Jig. 4^) trois axes quaternaires se coupant au Sommet O; la symétrie de Taxe quaternaire Os exige que les deux bissectrices des angles .rOy, x'Oy soient des axes binaires (théorème LXIX , corollaire). Il en serait de même pour les quatre autres bissectrices.
Théorème LXXX. — Tout Assemblage terquaternaire possède trois plans de symétrie joignant dcu.T à deux les axes quaternaires, et six autres plans de symétrie joignant deux à deux les axes ternaires, mais d’autre espèce que les trois précédents.
La présence des trois axes quaternaires exige que les plans réticulaires normaux à ces axes soient des plans de symétrie de l’Assemblage (théorème LII). Les six axes binaires nécessitent de même six plans de symétrie qui leur soient normaux; du reste, on a déjà vu (théorème I.XXIV) que le plan de jonction de deux axes ternaires était un plan de symétrie : un tel plan est évidemment normal à l’un des six axes binaires du système.
Scolie. — Pour se figurer la position mutuelle de ces axes et plans, on peut considérer un culie dont le centre coïncide avec leur point de concours. Les quatre diagonales du cube sont les axes ternaires; les trois droites, joignant deux à deux les centres des faces opposées, sont les axes quaternaires; les six droites, joignant deux à deux les milieux des arêtes opposées, sont les axes binaires ; les plans menés jiar le centre parallèlement aux faces sont les trois plans de sjTnétrie de première espèce; les plans menés par deux arêtes opposées sont les six plans de symétrie de seconde espèce.
On peut également diviser la surface de la sphère en huit triangles trirectangles, au moyen de trois grands cercles: les sommets Q, Q', Q*',..., de ces triangles sont alors des extrémités d'axes quaternaires; les centres
MEMOIRE
T, T', T",..., tic ces nicnies triangles sont des extrcmitcs d’axes ternaires, et les milieux 15, B', B",..., de leurs côtés sont des extrémités d'axes binaires.
On a, en se bornant à considérer les plus petits des angles formés par ces axes, et en nommant O le centre de la sphère, les relations angulaires suivantes ;
Q(X)'= po", gOT =
TOT' = 70 » '5 1 ' 4 r, fH )B = 4 5",
BOB' = 60 ", TOB = 3 5” 1 5' 5a'.
Théorème LXXXI. — S’il existe duns un .Assemblage un axe de métrie sénaire, il ne peut y exister ntu un autre a,i e fpte des axes binaires situés dans le plan normal à cet a.ce.
F.t d'abord il ne peut exister simultanément deux axes sénaircs, puisqu’il n’existe aucun polyèdre régulier dont les angles plans s’assemblent six par six à chaque sommet ( l'qre: les démonstmtions des théorèmes LXXIII et F AXVll, ou mieux encore le théorème XLI de mon « Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique «).
S’il existait dans l’A-ssemblage un axe ternaire ou (]uaternaire, oumème un axe binaire oblique à l’axe sénaire, la symétrie propre à cet axe forcerait Taxe sénaire à se répéter, et il y aurait au moins deux axes sénaircs dans l’Assemblage, ce cjui n’est pas possible, d’après la remarque précédente.
Classification des ylssemblages symétriques.
Au point de vue de leur symétrie, on peut distinguer sept classes d’ Assemblages <jue je désigne de la manii-re suivante :
Première cUase. — .Assemblages terquaternaires. Trois axes quaternaires, quatre ax«*s ternaires et six axes binaires, disposés comme le sont les lignes joignant deux à deux, dans un cube, les centres des faces opposées, les sommets opposés et les milieux des arêtes opposées. Trois plans de symétrie normaux aux axes quaternaires; six plans de symétrie normaux aux axes binaires.
Trois modes d’arrangement distincts ;
I,c cube;
SLR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REOUM ÈREMENT. 8(J
•a". [,e cube centré, que l'on peut remplacer par le rhomboèdre de I to degrés ;
r,e cube à faces centrées, que l'on peut remplacer par le rhomboèdre de 7o“'{i'44"’, ou par le prisme centré, à base carrée, dont la liauteur égale le côté de la base multiplié par y/a. Le tétraèdre régulier et l'octaèdre régulier peuvent aussi servir à la dérivation de ce troisième mode.
Dctu-ième dusse. — Assemblages séiiaires. ün axe séiiaire normal à un plan réticulaire dont le Réseau est à maille triéqiiiangle; trois axes binaires de première espèce, parallèles aux côtés du triangle principal ; trois axes binaires de deuxième espèce, parallèles aux liauteui's.
Lu plan de symétrie normal à l'axe sénairc; trois plans de symétrie de meme espece, normaux aux axes binaires <le la première espèce; trois plans «le symétrie «l'une autre espèce, normaux aux axes binair«fs de la deuxième espèce.
lin seul mode d'arrangement, indicpié par les six soiumets d'un prisme «Iroit à base triécjuiaiigle. I^e parallélipipède générateur est un prisme droit dont la base est un rliombc de (io et i ao «legrés.
Truisicme du.tse. — Assemblages quaternaires. Un axe «|uaternaire normal à un plan réticulaire dont le Réseau est à maille carrée; deux axes binaires de première es[)èce, {wrallcles aux ci'ités de ee carré; «leux axes binaires de deuxième espèce, parallèles aux diagonales.
Ün plan de symétrie normal à l'axe «piaternaire; deux plans de symétrie de même espèce, normaux aux axes binaires de la première espèce; deux plans de symétrie d'une autre espèce', normaux aux axes binaires de la deuxième espèce.
Deux mod(‘s distincts d'arrangement :
i". I.e prisme droit à base carrée;
a". I.e prisme droit à base carrée, centré; on peut lui siilistituer un octaèilre droit à Iwse carrée.
Oiuiirième dusse. — Assemblages ternaires. Un axe ternaire Donnai a un plan réticulaire dont le Réseau est à maille tri«M]uiangle; trois axes binaires «le meme «•spèce, parallèles aux côtés du triangle jirincipal.
Trois plans «le symétrie pas.sant par l'axe ternaire et jierpeiuliculaires aux ax«;s binaires.
XXXUV Cnhrr n
90 MÉMOIRE
Un soûl mode d’arrangement indiqué par les liuit sommets d’un rlumilioédre.
( ’inijuiènie classe. — Assemblages terbinaires. 'l’rois axes de symétrie binaire, rectangulaires entre eux, tous les trois d'espèces différentes ; trois plans de symétrie joignant ces axes deux à deux.
Quatre modes distincts d'arrangement :
I Le prisme droit à base rectangle ;
a". Le prisme droit à base rectangle, centré; on peut lui siibstitiier l oetaèdre droit à base rectangle;
'i“. IjC prisme droit à base rbonibe; on peut lui substituer un pri.sme droit à base rectangle, centré sur ses deux bases, ou sur deux de ses faces latérales, parallèles et oppost-es l’une à l’autre;
i". Le prisme droit à base rbonibe, centré; on peut lui substituer l'octaèdre droit à base rbombe, dont les trois sections principales sont des rliombes.
Sivième classe. — A.sscmblages binaires. Un seul axe de symétrie biimire ; un seul plan de symétrie normal à l’axe, et dont le Réseau a pour triangle principal un triangle acutangle quelconque.
Deux molles distincts tl’arrangement .
i". Le prisme droit à base parallélogrammique, non centré;
:j“. Le jirisme droit à base parallélogrammique, centré; on |>eut lui substituer le |)risme droit à liasc parallélogrammique, ayant deux de ses laces latérales centrées.
.Septième cleu.fe. — Assemblages asymétriques. Aucun axe, aucun plan de symétrie.
Un seul mode d’arrangement :
l.e prisme oblique à base parallt-logramniique.
Le tableau suivant indique le nombre des axes de symétrie dans les diverses classes d’ Assemblages :
SUR LES SYSTÈMES DK EOIXTS DISTRIBUES RÉOUI.I ÈREMENT. yl
••'luire»
ilOMMB
4 |•la(ernaire!l.
Dit âxes
ternaires, j binaitet.
KAMIiRC 1
des Bies.
Torquaicroain'x
4 fi
(^lualernaim
Teroiirw. ........ . *
T«rbiii.iir6»
A«]rni^(riqaM . .
On voit, (l’ajirc-s ce tableau, que le nombre total des axes suflit pour iléfinir coinpiétenient chacune de ces classes, |niis(|u’il est nécessairement l'un des sept nombres i 3 , 7, 5 , 4 i "It i> o; le premier de c«*s nombres exprime le plus haut degré de symétrie qui puisse se présenter dans un Vssemblagi’.
Relativement à l'espèce des axes, 011 remarquera :
1". Que les axes tpiaternaires sont toujours de même espèce; a®. Qu'il en est de même des ax«»s ternaires;
3 ". Mais que cela n’est pas toujours ainsi |JOur les axes binaires.
Nous nommons ax«'s binaires de premitre espèce, ceux de plus petit |jaramètre ; axes binaires de deuxii'me espère, ceux dont le paramètre est plus grand que celui des axes de la première espèce, mais moindre que celui des axes de troisième «■spèce, si ces derniers axes se rencontrent dans l’Assemblage; axes binaires de troisième espèce, ceux à paramètre maximum.
la; tableau suivant olli e la distribution des axes binaires par ("spèees, pour chacune de nos six premières classes. J'y ai ajouté le nombre des plans de syinétrie qui caractérisent la clas.se ; chacun tl’eux correspond à un axe binaire, quaternaire ou sénaire qui lui est normal.
Relativement aux plans de symétrie de même espèce ou d'espèces dillérentes, on se guidera sur la règle suivante : « A des axes <l'ordre pair et de » même espèce correspondent toujours des plans de symétrie de memf M espèce; réciproquement, si les axes sont d'espèces diflerentes, les plans de /» symétrie qui leur sont normaux sont aussi d’espèces dill’érentes. »
f.e nombre total des plans de symétrie est toujours égal au nombre total <les axes d’ordre pair qui existent dans l’Assemblage.
MEMOIRE
l>e nombre maximum de ces plans de symétrie est donc égal à 9.
AMKlIKtAfdi;».
^lOMsnc xotSL dn plan»
de
symétrie.
première
Mpècr.
deuxième
espèce.
troisième
espèce
Twq«»lfrnairt^ ....
fi
Sénaires
Q<islernair«« . ...
Ternsirea. .........
Tttrbinalre»
Binaires
Dans la deuxième classe (Assemblages sénaires), le paramètre des axes binaires de première espèce étant 1 , celui des axes de deuxième espèce est toujours égal à y/3.
Dans la troisième classe ( Assemblages quaternaires), le paramètre des axes binaires de preniièi'e espèce étant 1 , celui des axes de deuxième espèce est toujours égal à y/ 2 .
Dans la cinquième classe ( Assemblages terbinaires), les rapports sont indéterminés.
jXotations symholitjnes de la symétrie des Assemblages.
.Si, par l’un des Sommets d’un Assemblage, on fait passer tous les axes et plans de symiétrie qui lui sont propres, on pourra considérer l’Assemblage comme un polyèdre dont le centre est au Sommet que l’on a <-boisi.
On nomme centre de s^-inctrie dans un polyèdre un point central ainsi situé, qu’en le joignant à un sommet quelconque du polyèdre, et prolongeant la droite de jonction , au delà de ce centre, d’une quantité égale à elle-même, le point ainsi obtenu soit aussi un sommet du polyèdre, lequel .sera dit V homologue du sommet primitif, par rapport à ce centre de symétrie.
Tous les polyèdres ne sont point pourvus d’un tel centre «le symétrie; lorsqu’il existe, sa présence y introduit un élément particulier de symétrie dont il est important de tenir compte.
Dans un Assemblage quelconque, tous les Sommets sont évidemment des
SirB LES SYSTÈMES DE FOISTS DISTRIBI.ÉS RÉGULIÈREMENT. t)3
i-eiitres de symétrie; cette multiplicité de centres est en rapport avec la multiplicité que l’on observe dans le système des axes de symétrie parallèles à un axe donné.
f )n peut appliquer aux .\ssemblages les mêmes notations symboliques ipii m’ont servi à représenter la symétrie des polyèdres ordinaires (lUémoire sur les Polyèdres de forme symétrique, yon/via/ de .Mat/iématû/ues, tome XIV).
Dans les symboles que j’ai adoptés, la lettre C indique un polyèdre pourvu d’un centre de symétrie; ce symbole devin évidemment se présenter dans toutes les expressions de la symétrie des Assemblages.
Les lettres A, I,, 1/ désignent des axes de symétrie; A*, L'% des
axes binaires; A’, I/...., des axes ternaires, et ainsi de suite, l'indice supérieur indiquant le numéro d'ordre de la symétrie de l’axe.
La lettre A s’applique toujours à l'axe principal, seul de son espèce.
I,e nombre des axes de même espèce est indiqué par le coeflicient ijui précède la lettre symliole de ces axes; ainsi la notation (A*, 3L’, 3L'’) indique un axe principal sénaire combiné avec trois axes binaires d'une certaine espèce, et avec trois autres axes binaires d’nnc autre espèce.
plans de symétrie sont désignés par les lettres n, P, P'; on affectera la lettre fl au plan de symétrie nonnal à l’axe principal A ; les symboles 1*^, P'’, 1^, aux plans de symétrie normaux aux axes IA, I/’, IA'; le nombre de ces plans sera placé, sous forme de coefficient, en avant de la lettre P: ainsi (11, 3P’, 3P’’) signifiera un plan de symétrie normal à l’axe principal, trois plans de .symétrie de même espèce normaux aux axes 3 IA, et trois plaiLs de symétrie d’une autre e.spèce normaux aux axes 31/’.
Ceci posé, les symboles de nos sept cla.sses d'Assemblages seront les suivants ;
AiMMftLAG&f.
• tlIBOLit M Utia ■THtTaiE-
T«rqiuier»air«i. . ..
