L%4LS6L%C

A% C, n, 3P\3rv

oL, c, oP.

Qiiai«rtiairt;a

T«rbinairet .......

MEMOIRE

Il importe de remarquer qu'ici les lettres C, A, I., n, F,..., représentent non pas un seul point, ou une seule ligne, ou un seul plan, eomine eela a lieu ilans les jiolyèdres à nombre limité de sommets, mais bien un système de points, ou un système d'axes tous parallèles, ou un système de plans |)areillemeut tous jiarallèles entre eux.

Il finit ajouter em;ore qu’il existe dans les Assemblages des eeiitres dt> symétrie qui ne coïncident pas avec les Sommets de l’Assemblage ; ces centres de symétrie sont les analogues des axes intermédiaires et des plaiLs de symétrie intermédiaires dont noas avons parlé, jwges bo et Gu. Ainsi, dans la classe asymétrique, il existe huit systèmes distincts de centies de symétrie de l’Assemblage, savoir : i“ les Sommets de l’Assemblage; a“ les centres des parallélipipèdes générateurs ; 3° les centres des faces de ces [wrallélipipèdes, centres qui se groupent en trois catégories distinctes ; 4 " les milieux des arêtes, qui constituent aussi trois systèmes distincts de centres. ()n |>eut consulter, à ce sujet, le Mémoire de M. Pbilip|>e Breton {Juurnal de Maihèmatufues de M. I.ioii ville, tome \, {>age 43o).

Il est entendu que nous nous bornons à considérer les centres qui coïncident avec des Sommets, de meme (]iie, (lariiii les axes tle symétrie, nous n’avons tenu compte que de ceux qui passaient par des .Sommets.

Des différents modes d'arrangement des Sommets dans la meme classe

d ’ Assemblages .

On a (bqà pu remarquer (|ue, dans une même classe d' Assemblages, venaient se grouper des A.ssemblages à modes d’agencement des Sommets complètement distincts, cpioique les axes et plans de symétrie fussent les mêmes de part et d'autre. Je les nommerai les divers /wor/cjr de la clas.si‘. M. Krankenheim, qui a été conduit, dans ses belles recberclies sur la cristallognipliie ('), à une subdivision du même genre, a désigné ces modes sous le nom A'ordres; mais le terme « modes » me parait ici préférable, comme ex|)rimant le fait géométrique au(|uel ils correspondent. Par la même raison, je rejette la désignation de types sous laquelle je les avais d’abord décrits, dans une conuuunicatioii faite à la Société Philumatlii(|ue le i 7 mars i84q.

^ •) Mttt Naturte cithosorunif t. XIX, 2 * |>arlit:, p. 483.

SCR t.ES SYSTÈMES PE POINTS PISTRIBUÉS RÉGULIÈREMENT. y5

Di-iix Asseinbhiges do la môme classe appartiennent à des modes distincts de symétrie, lorscpi’en faisant varier d’une manière continue les espacements des Sommets de l’un des Assemblages, sans t/ii'i'l perde un seul insUml ses axes de symétrie, on ne peut , malgré cela , le rendre que partiellement superposable avec l’autre Assemblage. Tels sont , par exemple, l’Assemblage dérivant du cube, et celui dérivant du cube centré. En faisant varier dans ce dernier le côté du cube, on peut faire coïncider la moitié de ses .Sommets avec ceux du premier .Assemblage; mais l’autre moitié, qui occupe les centres <le figure des cubes, reste en dehors de la superposition.

Deux .Assemblages appartiendront au môme mode, lorsqu’une variation continue de leurs paramètres pourra les rendre coïncidents.

Loisque les trois axes dont on fait varier les paramètres sont des Rangées conjuguées de chacun «les deux Assemblag«?s, ceux-ci appartiennent toujours au môme mode d’arrangement ; car la superposition de Rangées conjuguées homologiu's, Sommets à Sommets, entniiiie avec elle celle des Assemblages.

Tous les modes distincts d’une môme classe peuvent toujours dériver «le l’un des motles de la classe, par l’addition «le nouveaux Sommets, soit au «centre de ligure du solide générateur, soit sur les centres de ses faces; nous disons alors qu’on centre ce solide en s«)ii centre de ligure, ou sur ses fa«-es.

Je vais ajouter quehpies nouveaux détails à ce qui a été d«'jà dit sur la division en modes de nos classes, on systèmes.

Système ter quaternaire. 11 compreiul trois modes distincts :

I®. Le mode hexaédral : le solide gén«'Tateur est un «’ube portant une molécule à idiacun de ses sommets [voyez la remarque de la page 3, ligne u4);

a". Le mode octaédral ; le solide dont il «lérive est un octaèdre réguliei' poi-tant une moh'cule à chacun «le ses sommets; on peut le remplacer par un tétraèdre régulier, «jui en est une forme équivalente, ou bien encore par le rhomboèdre de 7o"3i'44'^' Ce mo«le dérive du cube par le centrage des six fiices de ce solide; alors le nouveau cube (cube à fac«-s centrées), outre les molécult^ «le ses sommets, en porte une au centre de chacune de ses faixfs. lai symétrie du solide ainsi obtenu est plus immédiatement évidente que celle de toutes ses autres formes é«juivalentc!s ;

3“. Ia‘ mo«le dodécaé«lral : le solide dont il dérive est un dodécaèdre

(fd MEMOIRE

rlioinboidnl portant une molécule en chacun de ses quatorze sommets et de plus une molécule centrale.

f)n peut le faire dériver du cul)e, par l’addition d'une molécule dans le centre de figure dtt solide. Si l’on joint par des droites les huit sommets d’un tel cube avec les six centres des cubes voisins, apposés sur chacune de ses six faces, on retombe sur le dodwaèdre rhomboidal centré.

f)n peut aussi prendre pour solide générateur le rhomijoèdre de i ao degrés; mais la symétrie de l’Assemblage est alors moitis évidente que dans le cas oîi l’on considère le cube centré.

.Syxtènie sfiimire. — Un seul mode (vot'e: page ftp).

Sy.ftème rjuiifernalre. — Il comprend rienx inofles distincts :

I ®. Le mode hexaédral , dont le solide générateur est un prisme di'oit à base carrée;

a". Le mode octaédral , qui dérive d'un octaèdre droit à base carrée.

< )n obtient cet octaèdre en centrant le prisme droit à base carrée, joignant ce centre avec les quatre sommets de la ba.se, et ceux-ci avec le centre du prisme sous-jacent.

Système termiire. — Un seul mode ( vqre: page Hp).

Système terhituiire. — Quatre modes distincts ;

I “. f ,e mode hexaédral rectangle : le solide générateur est un prisme droit à base rectangulaire, portant des molécules en chacun de ses huit sommets; les Réseaux des trois plans de symétrie du système ont alors des mailles rectangulaires ;

a”. I,e mode hexaédral rhombique : le solide générateur est un prisme droit à base rhonil>e. Ce mode dérive du précédent, au moyen du centrage de «leux faces opposées, par exemple des deux bjises du prisme générateur. On sait, en effet, qu’en centrant les mailles d’un Réseau rectangulaiix*, l•ehli-ci se change en un Réseau à maille rhombe. Dans ce cas, les Ré-seaux des deux plans de symétrie verticaux sont à maille rectangulaire; mais la maille est rhombe sur le troisième plan : l'axe normal à ce dernier plan peut êlie, suivant les (as, de preniièi’c, de deuxième ou de troisième espèce;

Le mode octaédral rectangle: le solide dont il dérive est un octaèdre droit à base rectangle. On pourra le faire dériver du prisme droit de même Ikisc et de même hauteur, en centrant ce dernier en son centre de figure, et

SL'H I.ES SYSTÈMES 1)E POINTS DISTIIIBI'ÉS RÉOUI.IÈkEMENT. y7

joigiiunt ce nouveau Sommet aux (juatre Sommets (Jii rectangle de la hase, ceux-ci avec le centre du prisme sous-jacent. liCs Réseaux des trois plans de symétrie ont alors des mailles l'ectangles;

I,e mode octaédral rliomhiipie, tburni par l'octaèdre droit à hase rliomhe. On le fera dériver du prisme liexaédral rectangle, en centrant les six faces de ce dernier prisme : ces six nouveaux Sonmiels, joints deux à deux, donneront l'octaèdre droit à hase rliomhe. I.es Réseaux des trois plans de symétrie seront alors à maille rliomhe.

On voit (jue ces quatre modes correspondent au prisme droit non centré, au prisme droit centré sur ses deux hases, au prisme droit centré en .son centre de figure, et au prisme droit centré sur scs six faces.

Systi-we buunre. — Ce système n'ofl're que deux modes distiiicls :

i". Le mode liexaédral, dont le solide générateur est un prisme droit à hase parallélogrammique;

a". l,e mode octaédral, qui dérive du précédent en centrant les prismes de ce dernier en leur centre de figure, ou bien encore en centrant deux de leurs quatre faces verticales. Ces deux genres rie dérivation correspondent à nn seul et même mode (*) (tliéorènie l,V, seolie 1 ).

Si, après le centnige de deux faces verticales, on fait tourner le prisme de 90 degrés, en rendant verticales les arêtes suivant lesquelles se coupent les quatre far'es non centrées, ou obtient pour solide générateur un prisme il hase rliomhe, non horizontale, ipii est le prisme rliomboidal ohlirpie ries minéralogistes.

Système asymêtrirfiic. — O système n'oifre ipi'un seiri mode.

(*) M. Fiaiikutihcim Nui. caritnorum, l. XIX, 1 * parlie, p. admt't dans k’S Asm'IU-

bliigcs binaires (système du prisme oblique d'Hauy) trois modes distinris:

I**. laC prisme droit à hase parallélogrammique^

2 ". Le prisme ubiiqtir à base rhombe;

3*. L’nctaédre droit à base paraliélognimmiqne.

Il e&t facile de voir que les modes 2 * cl 3*' forment double emphit, et corrcspoiHlent Muilenient a des |X)siiions difTcrenies de Taxe binaire, qui est horizr>ntal et transversr dans le prisme oblique à base rhonibc d'Ilauy, tandis qu'il i^t vertical dans roclaèdre droit à base parallclogrammiqiic.

Les divisions rationnelles du mode «Ktaédral dé|KMident de la manière dont le Sommet , ceiiUe du prisme, ac projette sur sa base, relativement aux trois c6l<*s du triangle prmci|Kii du Reseaii.

XXXnf Cither. l3

MHMOIHK

Outre la eoiniminauté «le position des axes et plans de symétrie, les divers modes d’nn nnnne système sont reliés entre enx par la pro|>riété énoncée dans le tliéorème suivant .

Thkorkmk IAWII. — Tous les Assembloges appartenant atuv divers modes d 'une mente classe, et rpii dérivent les uns des autres par des centrages convenablement faits, offrent les memes systèmes de /langées, et les mentes systèmes de plans réticulaires .

En e(f«»t, lorstpi'on centre dt*s (larallélipipi’iles {{énérateiirs, cela revient à ajouter un Sommet sur le milieu de riine des diajronales du paralléli]>ipède, d'ailleurs arbitrairement choisie; or cette intercalation, en vertu «lu théorème LUI, n’altère pas les systèmes de Ilangéi's et plans réticnlair«*s (!«■ r.'Vssemblage, du moins «piant à leur direction absolue.

Lorsqu’on centre «leux faces opp«)sées du paralléli|>ipi-de gt’mérateur, cela revient à ajouter un Sommet sur le milieu de l'une «les «leux diagonales «le la face, c'est-à-«lire à «loiibhT le nombre des Sommets du système des Rang«*es correspomlaiites; les systèm«s> de llangées et plans réticulaires restent em-ore les iik'iiu's, «niant à leur «lirecti«m. Donc, et«-.

Scolie. — Le même thi'orème s’appli«|ue aussi aux Assemblages sénaire et ternaire «|ui ont le même axe |n'incipal et le même R«-seau sur le plan normal à cet axe. On peut même remar«pier «|ue la «‘oexisteiice «les nnnnes systènu's «le Raiig«-es et plans réticulair«»s s’appli«|ue à la fois à l' Ass<*mblage sénaire et aux deux Assemblages ternaires «/wwt et //«i'«rse<|ui en«léri\ent par l'intercalation «le deux nouveaux Sommets sur chaque param«-tre «les Rangées diagonales «lu prisme générateni' à base rhombe ( thé«>rème L\l , corollaire).

Des plans réticulaires de nte’nte espèce cl des llattgées tic titc'me espèce dans les Assentldages symétritptes .

Définition. — Deux [>lans l'éticulaires s«mt de meme espèce «lans un \ssemblage, lorsque la configuration des Sommets relativement à l'un de ces plans est la même que la configuration des Sommets relativement à l'antre. Pour constater cette similitude «le configin*ation , on lie par la pensée les Sommets de l’Assemblage à chacun des deux plans, et l’un des deux systèmes est supposé mobile. Alors, si l’on peut faire coïncider en même

SlîR I.ES SYSTÈMES DE POINTS DISTKIBliÈs bÈoILIÈBKMENT. 99

temps le pl.in mobile avec le jilaii fixe, les Sommets mobiles avec les Sommets fixes, les plans réticulaires seront de même espèce.

Pour que deux plans réticulaires soient de même espèce, il faut cpie leurs Réseaux soient superposables; mais cette condition n'est pas toujours suffisante. Il faut, en outre, que la siqjerposition des Réseaux entraîne celle des Sommets extérieurs aux plans.

.l’ai fait voir (.lournal de M. I.iouville, tome \ 1 V, p.ige 1^7) : 1“ qu’on obtenait le polyèdre inverse d’un polyèdre donné, en jircnant un point arbitrairement, joignant ce point, ou pôle de symétrie, avec les sommets du polyèdre donné et prolongeant ces di-oites en arrière de quantités égales à elles-mêmes; 2° qu’au moyen du polyèdre inverse, tournant tic 180 degrés autour d'une droite (pielconqne menée par le [)6le, on obtenait un polyèdre symétri<|ue du polyèdre donné (dans le sens géométrique de ce terme) par rappiort à un plan de symétrie normal à la droite.

L’Assemblage inverse d'un Assemblage donné est toujours susceptible de coïncider avec l’A-ssemblage primitif: il suffit de prendre pour pôle de .symétrie l’un des Sommets. Il en résulte (|u’il en est de même d’un .\sseniblage et de l’un de ses symétriques (dans le sens géométri(|iie <lii mot), ou, en d'autres termes, que deux Assemblages, symétriques par rapport à un plan de symétrie qnelcompie, peuvent toujours être amenés à coincidem'e.

Théorème LXXXIII. — ,Si, en faisant cuincider le Réseau du plan réticulaire M de 1 ’ . isseutblage mobile avec le Réseau du plan réticulaire F de r Assemblage fixe, les tletux Assemblages, tut lieu de coincider, devenaient symétrûpies l’an de l'autre {dans le sens géométritjue) par rapport an plan des deux Réseaux edincidents, les deux plans réticulaires seraient de meme espece.

En effet, si l’on fait alors tourner, de 180 degrés, l’.Assemblage mobile autourd’une droite passant par l'un des .Sonnnets des Réseaux coïncidents et normale au plan de ces Réseaux, on amènei-a l’-Assembliige mobile en eoincidence avec l’inverse de l’Assemblage fixe (*), c'est-î-dii'c avec l’. 4 ssemblage fixe lui-même.

(*) Noie sur les polyèdres symétriques de la géométrie, théorème IV {^Journal th Mathématiffucy, tome XIV, page i39).

I oo

MEMOIRE

Théorème I.XXXIV, — Dans tout Assemblage //ossédant un pUui de symétrie, deux plans réticulaires, symélruptes (dans le sens géométrifjue) par ra/>port à ce plan, sont de meme espece.

En faisnnt toiiriuT l’nn de ces deux plans, considéré comme taisant partie de l’Assemblage mobile, autour de la droite, intersection de ces plans, on amènera leiii-s Réseaux en coincidence, et l’Assemblage mobile deviendra symétrique (dans le sens géométri(jue) de l’Assemblage fixe par rapport au plan des Réseaux superposés; donc, en vertu du théorème précédent, ces plans seront de même espèce.

On peut aussi établir directement que les deux plans donnés sont de même espèce, en les faisant passer tous les deux |)ar un Sommet pris arbitrairement S, et menant par S une normale au plan de symétrie. Cette normale sera un axe d’ordre pair (théorème Cil); si donc on fait tourner

l'Assemblage mobile d’un angle égal à q fois l’angle 27 étant le numéro d’ordre de la symétrie de l'axe, il y aura restitution des lieux des Sommets, et il est facile de voir que les deux plans réticulafres donnés viendront à superposition. Sommet sur Sommet.

Théorème I.XXXA’. — Deux plans réticulaires parallèles sont de meme espèce.

Il sufiit de transporter le Réseau mobile parallèlement à lui-mènie [Kuir obtenir la coïncidence des Sommets.

Théorème CXXXVl. — S’il existe dans un Assemblage dettx plans réticulaires de me'me espèce, mais non parallèles, cet Assemblage possède au moins un tuve de symétrie.

Les deux plans réticulaires, que je nommerai F et M, peuvent toujoui’s être considérés comme ayant un Sommet commun S qui ne participe pas aux mouvements de l’.Assemblage mobile. Supposons que des rotations convenables de cet Assemblage aient fini par amener le Réseau mobile .M sur le Réseau fixe F. La coincidenc»* pourra toujours (d'après la théorie bien connue de la composition des rotations en mécanique) être considérée comme jiroduite par une seule rotation de l’.Assemblagc mobile autour d’un axe de rotation passant par le Sommet S. Il importe de remarquer que cette droite, ainsi que l’angle de rotation unique qui amène M en coînci-

SIR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTBIBl ES RÉGDI.IÈREMF.NT. IOI

deiice avec F, se trouvent coinplétenicnt déteniiincs, à la condition cependant que l’angle tle rotation ne surpasse pas i8o degrés. Cette droite, jouissant ainsi de la propriété de produire, après rotation convenable, la restitution des lieux des Sommets, sera un axe de symétrie de l'Assemblage.

Corollaire. — Il ne peut y avoir de plans réticulaires de même espèce , et non parallèles, dans les Assemblages asymétriques.

Déjinilion. — Deux plans réticulaires de même espèce et non parallèles, sont dits homologues par rapport à un axe de symétrie de l’Assemblage, loi-sque la rotation unùjtic qui amène leurs Réseaux en coïncidence, l’Assemblage mobile se superposant à l'Assemblage fixe, a lieu autour de cet axe; l’on déduit de là le théorème suivant :

Théorème I.XXXVII. — Deu.v plans réticulaires de meme espèce, itou parallèles, sont toujours homologues par rapport à un axe de symétrie.

(■'orollaire. — On obtient tous les systèmes de plans réticulaires qui sont de la même espèce qu’un plan réticulaire donné, en eberebant les homologues de ce plan par rapport à tous les axes de symétrie de l’Assemblage.

Théorème LXXX\ III. — Le nombre des plans réticulaires de même espèce, homologues par rapport à un axe de symétrie d'ordre q, est égal à q, si ces plans réticulaires n offrent aucune particularité de position pur rofiport à l'axe, c'est-à-dire si ces plans ne sont ni normaar ni parallèles à cet are.

En Taisant tourner le plan de , 2^^, — 1 (</ — 1)^^> on ob-

tiendra ses <j — i homologues; il est évident que leur nombre total est égal à <j'. ces plans sont tous distincts les uns des autres, c'est-à-dire qu’ils ne peuvent être parallèles entre eux.

Théorème LXXXIX. — Le nombre des plans réticulaires de me'me espèce, homologues par rapport à un axe d'ordre q, et parallèles à cet ave, est égal à q, si q est impair, c/ à i q, q est pair.

lie nombre total des plans est encore ici égal à 7; mais, dans le cas particulier où (j serait un nombre pair, les plans deviennent parallèles, deux à deux ; le nombre total des plans de direction distincte se réduit donc alors » \(j.

102 MEMOIRE

Théorème \('. — nombre des plans de mcmc expcce, homologues par rapport à l'a-ve d'ordre (j, se réduit à l’unité, dans levas où le plan primitieenient donné est normal « l'a-re.

(’ette proposition est évidente.

Au moyen de ees prineipes, on résomlra fàeilement la question de la détermination des plans rétieidaires de même espèce, quant à leur nomlire, et quant à leur situation relative, |jour un Assemblage donné, soit dans le cas oii ees j)lans ii’ollriraieiit aucune particularité de position relativement aux axes de svmétrie, soit dans le cas où ils seraient parallèles ou normaux à un cei'tain nombre île ces axes. C.etle question est d’une grande importance en eristallograpbie.

On peut établir jjour k>s Rangées de même espèce des théorèmes tout à lini semblables à ceux i|ui se rapportent aux plans réticulaii’es de même espèce.

Définitions. — Lu définition des Rangées de meme espèce i>st la même que celle des axes ou plaas réticulaires de même espèce; celle des Rangées homologues est pareille à celle des plans réticulaires homologues.

Théorème XCI. — Si, en faisant coineider le paramètre de la liangée M de r .-/ssemldage rnohile aeee celui de la Rangée F de l Assemblage five , les deux Assemblages, au lieu de coineider, devenaient .syniétrùpies l’un de r autre ( dans le sens géométrique de ce terme) par rapport à un plan passaut par la Rangée F, les tieu.r Rangées seraient de naine espèce.

Car, si l’on fait aloi-s tourner l’-Assemblage mobile, <le 1 8o degrés, autour d'une droite passant par l'un des Sommets de la Rangiù* F et normale au plan de symétrie, on amèneni l’Assemblage mobile en coïncidence avec l'inverse de l’As.semblage lixe, c’est-à-dire avec l'Assemblage fixe lui-même.

I’héobème XCil. — Dans tout .‘Issemblage pussédtuU un plan de ■symétrie, deu.v Rangées, symétriques (dans le sens géométrique) par rapport à ce plan, sont de meme espèce.

I'héorème XClll. — Deu.c Rojigées parallèles sont de meme espèce.

'fiiÉOHÈME XCIV. — S'il existe dans un .dssemblagc deux Rangées de. naine espèce, non parallèles, cet Assemblage possède au moins un (ure de symétrie.

SUR LES SYSTÈMES DE l'OINTS DISTRIBLÉS RÉOfl.lÈREMENT. lo3

Théorème XCV. — Deux Rungéa de meme espèce, non puratlèlcs, sont toujours homologues par rapport à un axe. de symétrie.

Corollaire. — On olilient tons les systèmes tle Rangées tie niêtne espèee que celle d'une Rangée donnée, en cliereliaiit les homologues île celle-ci par rapport à tous les axes de symétrie de l’Asscrnhlage.

Théorème K(jVI. — Le nombre des Rangées de meme espèce, homologues par rapport à un a.ce d'ordre q, est égal ti q, si ces Rangées ne sont ni parallèles ni normales à cet a.ee.

Théorème XCV'II. — Le nombre des Rangées de meme espère, homologues par rapport à un a.ce d’ordre q et normales à cet a.ce, est égal à q, .si q est impair, et à ^ q, si q est pair.

Théorème X(jV111. — Le nombre des Rangées, homologues par rapport h l’n.rc d'ordre q, se réduit à l'unité, dans le cas du parallélisme de la Rangée avec l'a.re.

(>es théorèmes se démontreraient exactement comme les théorèmes LXXXIV à XC : ils sont, du reste, une conséquence nécessaire de la réciprocité ijui existe entre les Rangéi*s et les plans réticulaires ilans les Assemblages dits « Assemblages [lolaires rnn de l'autic, « réciprocité dont il sera question dans le paragraphe suivant.

Théorème XCIX. — Des axes de symétrie de mc'me espèce .sont en meme temps des Rangées de me'mc espèce.

(>e théorème est la conséijuence des délinitions des axes île meme espèce (page ôX) et des Rangées de même espèce ( page loa).

§ VI. — Des Assemblages i'olaikes.

Défudtions, notations. — Un Assemblage étant donné, menons par l uii de ses Sommets, pris arbitrairement pour origine, des normales à trois plans conjugués de cet Assemblage, et sur chacune de ces trois normales, portons des longueurs égales aux aires des parallélogrammes élémentaires des Réseaux tracés sur chacun de ces plans, divisées par V intervalle moyen des Sommets. Si, avec ces trois nouveaux axes, et ces longueurs pour paramètres, on

M^MOIRK

cüiisti'iiit 1)11 Assemblage, il sera dit Y /Assemblage polaire du primitif, et jouira de [«•opriétés im|)ortantes, que nous allons faii'e connaître.

Le symbole ghk représentant une Rangée allant de l'origine au Sommet dont les eoordonnée.s numériques sont g, h, k dans l’Assemblage primitif, le symbole re|>résentera une Rangée allant de l’origine au point

dont les coordonnées numéi'iques sont g, h, k dans son Assemblage polaii’e.

I.e symbole (g/ik) l'eprésentant le plan réticulaire dont l’équation est g.v -i- A) 4 - kz = O,

le symbole |(g'AA)j repra-seutera un j>lan réticiilaiie dont l’équation est de même forme dans l’Assemblage polaire.

.le continuerai à désigner par Vg/ik le paramèti'e d’une Rangée allant de l origine au Sommet dont les coordonnées numériques sont g, h, k, c'esta-dire le [taiamètre de la Rangée g/ik.

•le désignerai par P| gkk\ le pai'amètre tl’une Rangée allant tie l’origine au point dont les coordonnées )uiméri(|ues sont g, //, k dans l'Assemblage polaii'e, c'est-à-dire le paramèti'e de la Rangée polaire

.le continuei'ai à désigner par H{glik) l’aii'e du parallélogramme généi'ateur du Réseau tracé siii' le plan réticulaii'e {glik), dans l’Assemblage primitif.

De meme S| (§•///) | sera l’aire du |)arallélogi'amme élémentaii'e du Réseau tracé sur le plan réticulaire dont la notation est f(g'AA)|, dans l’Assemblage polaire.

(à)ntinuant à nommer E l'intervalle moyen, et remarquant i" que loo, 0)0, ooi sont les notations symimliques des axes des ar, des v et des z ; u" (jiie (loo), (oio), (ooi) sont les notations symboliques des plans des v;, lies ,rz et des j;v, on aura , d’après les conventions précédentes,

(fil) l‘|ioo| = -i^, P[oiol = P|ooiJ=-^-'.

.le continuei'ai à désigner par «, j^;, S les angles plans sur les plans des »';, lies rz et des .r v; pai' u, r, <ar, les angles dièdres ayant pour arêtes les axt>s

SfR LKS SYSTÈMES l)E POINTS DISTHIBirÉs RF.OlJLIÈREMENT. loô

(l«•s J’, des > et des s. (jeci posé, on aura évidemment

I S(ioo) = Poio.Pooi .sina,

S(oio) = P loo. Pool .sin fi,

S(oo i) = P loo . Poio .sin S.

Dans l' Assemblage polaire, nous prendrons pour axe des |x| la normale au plan des pour axe des [ j | la normale au plan des .rs, pour axe des I Z I la normale au plan des ,ry. Les trois demi-axes positifs doivent être dirig*'-s du même côté que le demi-axe positif de même désignation dans l’Assemblage primitif, par rapport au plan auquel chacun de ces nouveaux axes est perpendiculaire. Les trois angles plans de ces axes seront repn^ntés par [a|, | îi], | ^ |; leurs trois angles dièdres, par [ u |, [ v |, | <iv |.

Théorème C. — Les angles a, S étant les angles plans du puraUé- Upipède générateur de l' ydssvrnblagc primitif, et u, », <:» ses angles dièdres, les angles plans de son polaire seront 180" — a, 180“ — », 180° — 'b-, et ses angles dièdres 180° — a, 180" — j3, 180" — S.

C’est une conséquence bien connue des propriétés des triangles sphériipies polaires.

f)n aura donc

(«*)) l«] = i8o'>— U, [, 3 j = i8o“— », fJ| = i8o“ —

Théorè.me ci. — Si, du sommet O d'un tétraèdre O.ABÜ (lig. ,'I8), on élève sur les trois faces latérales ÜBD, OAD, OAB les normales ()«, < )b, Od, situées, par rapport à chacjue face, du nie'me côté que le sommet opposé à la face, et égales respectivement fW.r aires triangulaires de ces trois faces, la diagonale du parallélipipède construit sur les arêtes Oa, OA, Od sera normale à la base ABD et égale à l'aire de cette base.

On a , par construction ,

Oa=aireOBD, OA = aire OAD, Orf = aiivOAB.

De même que Oa, OA, Od sont perpendiculaires aux plans OBD, OAD,

XXXII f Cahier. i 4

lût) M ÉMOI K K

OAB, de même OA , OH, OU seront perpendiculaires aux plans OM,

On//, ()«/>.

Abaissons de O sur la base A15D la iiorniale OP, et par a menons le plan <t\' P parallèle au plan bOd, et, par conséquent, normal à l’arèle ÜA. Ce plan coupera OA en A' et OP en p. Projetons les triangles ORD, ABD sur le plan n.Vpj O et A auront une même projection en A' : ainsi les lieux aires projetées coïncideront. I^a première des deux aires projetées a pour valeur

aire ORD cos ( plan ODB, plan» A'/.;), et, en remplaçant les plans pai' leurs normales,

aire ORD cos (0«, OA) = aire ORD ^ = OA'.

I /autre aire projetée sera de même

aire ABD cos {Op, OA) = aire ARD Donc , en égalant ces deux expressions, il viendra

< ) \' = aire ABD ,

d’oii

(R“) Oy .1 = aire . ARD.

•Menons maintenant par b un plan parallèle à aÜd; on démontrera de même que ce plan coupe OP à une distance de O égale précisément à l’aire ABD, c’est-à-dire au point p déjà obtenu.

Il en sera de même, en menant par d un plan parallèle à «0/>. Ces trois plans, avec leurs plans parallèles bOd, aOd, aOb, forment un parallélipipède dont Oa, Ob, Od sont les arêtes, et dont Op est la diagonale ; cette diagonale est donc égale et normale au triangle ,\BD.

C'oroUairc. — Si les arêtes 0«, 0/>, Od, sans être égales aux aires des laces, leur étaient proportionnelles dans le rapport i ;B, la diagonale O^ serait aussi, avec l’aire .ABD, dans le même rapport i ;B; elle continuerait à être normale au plan ABD.

SVB I.RS SYSTÈMES DF. POINTS DISTRIBI KS llÈC.ri.lÈREMKNT. I

Théorème. CII. — Si {ghk) <'St le symboie d’ un plan réticulaire uppartennnt à un Assembluge donné, et si, dans son Assemblage polaire, l'on construit la droite menée de l'origine au point dont les vMn'données numérùptes sont g, h, 7 , cette droite, de sy mbole | ghk |, sera normale au plan {gbk).

Soipiit O.i-, O)-, Oz (fig. 3g) les trois IlangiVs conjuguées prises pour axes coiinlonnés dans l’.Asseinlilage primitif, et soient a, h, d les paramètres de ces Rangées, faisons

U.\ = hku, OR = gkh, < HJ = ghd.

I /équation du plan ARI) en coordonnées numériques sera

gx -y- h y -y- kz= ghk

On aura de plus

( aire ORl) = i hk hd sin st = -j g' hk S ( i oo) ,

((18) ' aire OAD = i git'h ad sin git’k S( o i o),

I aire 0.\B = i ghk'‘ ah sin = -j ghk'‘ S(oo i ).

las symboles S(ioo), S(oio), S(ooi) représentent, d'après nos conveii' tions, les aires des parallélogrammes générateurs sur le plan des>z, sur le plan des xz et sur le plan des x > .

(lonstruisons maintenant les trois axes de r.\ss«'mblage polaire, et soient pris, sur ces axes,

. Oo = j»’ P [ I oo I = 1

06 = AP|oiol = '*^%“>,

0^ = /P|oo.J = ^r',

K étant rintervalle moyen des Sommets.

Soit Dp la diagonale du parallélipipède construit sur Oa, Ob, Od; les coordonnées numériques de p seront g, h, k dans l'Assemblage polaire, et la notation de la Rangée Dp sera ( ghk ].

Kn comparant les valeurs de Oo, Db, Dd aux expressions des aires OBD,

MÉMOIRE

OAD, OAB (équations G8), on voit qu’elles leur sont proportionnelles, dans le rapport

P :\ghkz=i :\(rhk E.

Doue, d’aprt-s le corollaire du théorème CI , la diagonale O/^ sera iioniiale à la base ABD, c’est-à-dire au système des plans réticulaires dont le symbole est (gM).

/)cu.rièrnr dcmomtration. — Si l'on veut démontrer le théorème Cil f>ar l’analyse géométrique à trois dimensions, on nommera t l’inrlinaison de l’axe Oz sur le plan des Jv (Jig- I 9 ); Ç„, les coordonnées linéaires

du point a; celles du point h; n,, celles du point tf, et on

posera

(Gg) I — ros’ a — cos’,^ — cos’ J -icosa cos^ cos <5 .1’.

< )n aura alors

^ O// Ofi AaA sia* ^ ^

^ J ~ ÏË ’

d’où l’on conclura facilement les valeurs de Ç,, », par les équations connues de la normale au plan des xy, dans les systèmes d'axes obliques.

On déterminerait de même Ç,, »,, Ç,, Ç,, »„,

I -es coordonnées Ç, », ^ du point p seront alors données par les Ibnnnies

ÇJE=(?. + Ç, -t-0,)JE

= gb(i sin’ ûT — had sin a sin (3 cos <0 — kab sin a sin J cos r ;

»JE = (», -t- », -(-»,) JE

= — gbd sin a sin ^ cos ® -f- had sin’ (3 — kab sin (3 sin <5 <-os u ;

= — gbd sin (3 sin J cos pl — had sin a sin i cos r -t- hab sin “ J.

Si donc on pose, pour abréger,

fe-, h • Ar- -e

- Sin a — J sin a sin S cos -, sin a sin è cos r = 1 ,

(jo) — f sin a sin ^ cos<w -t- g sin’ (3 — ^ u = s,

I — f sùi ^ sin S cos /U — g sin a sin J cos » -I- ^ sin’ S= t.