PGP
iq
il est clair (jne S et y' seront symétriquement placés par rapport au plan ACp; donc ce [dan est un plan de symétrie, et il en existe en tout (/ d'nne autre espèce que ACP, et tous directement semblables à AL,p.
Il existe donc •2fj plans de symétrie passant [>ar I,*', et leur nombre ne [>eut être plus considérable ; car s’il était égal à Q > 'itj, l'ordre de la symétrie de l’axe placé à leur commune rencontre serait Q on niQ (théorème XI), ce (jiii ne [leiii être.
Corollaire I. — I.c nombre des plans de symétrie passant par un axe principal A’’ est toujours o ou 27, et ne |>ent être supérieur à ce dernier nombre.
Corollaire II. — Ces plans de symétrie sont perpendiculaires deux à deux.
Théorème XXV'I. — Ia-s polyèdres h a~re principal A*'', epti ne possèdent’ ni plans de symétrie passant par cet ase, ni axes binaires, ont deux modes distincts de symétrie, selon (pie le plan normal à l'axe principal est ou n'est pas un plan île symétrie.
Le nombre des axes de symétrie est lixe par l énoncé du tliéoi ème; il en est de niènic de celui des plans de symétrie, du moment que 1 on sait si le
xxxvii)
MÉMOinü
plan normal k l’axe principal est ou n'est pas un plan de symétrie. Quant à la présence du centre de symétrie, elle est subordonnée à celle du plan de symétrie normal à l’axe principal (tliéorèmes \\I et XXII).
r.es symboles de ces deux modes de symétrie seront donc
Ia’’, oL% oC, oI'|,
[A”, oL% C, H].
Théorème XXVII. — Les polyèdres h are principal A’’, qui possèdent isolément, soit les iq plans de symétrie, soit les 7 .q a-res binaires, compatibles avec cet axe principal, ne peuvent avoir ni plan de symétrie normal à l'a-ce principal, ni centre de symétrie.
C'est une conséquence évidente des théorèmes XVII, XVIII, XIX et XX.
Le groupe de polyèdres auquel se rapporte l’énoncé du théorème actuel se décompose en deux classes à symétrie distincte, selon que les plans de symétrie ou les axes binaires font défaut; les axes binaires étant de deux espèces différentes (théorème XXII), nous représenterons ceux d’une première espèce par L’, ceux d'une deuxième espèce par L'". De même pour les plans de symétrie; ceux d'une espèce seront désignes par P, ceux de l’autre espèce par V . On aura ainsi, pour représenter les deux classes de polyèdres, les symboles
[A»’, qW, q\!\ oG, oPJ,
[A*’, oL% oC, r/P, qV'\.
Théorème XXVllI. — Dans les polyèdres possédant l'axe principal A’’, U q n.tes binaires et 2 q plans de symétrie passant par l’axe principal, les axes binaires peuvent vtre situés sur les plans de symétrie, ou bien alterner avec eux, c est- à-dire coïncider avec les bissectrices de leurs angles düdres; ce qui donne, pour ce cas particulier , deux modes distincts de .symétrie.
Pour toute autre position relative, les axes binaires, en reproduisant par <les rotations de 180 degrés les iq plans de symétrie (théorème X, corol-
SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE
laire), feraient doubler le nombre de ces derniers; et, de même, les axes binaires se répétant dans des positions homologues de l'autre côté des plans (théorème VIII, corollaire), doubleraient aussi en nombre; ce qui est contraire aux corollaires des théorèmes XXIV et XXV : donc, etc.
Théorème XXIX. — Dans les polyèdres à a.re principal A’’*, lorsque les plans de symétrie contiennent les a~ces binaires, il existe un plan de symétrie normal à l'axe principal, et un centre de symétrie.
Soit G\,fig. 5, l’axe principal ; soientCP l’im des axes binaires, et ACPQ le plan de symétrie qui contient cet axe. Le sommet S aura son homologue en s par rapport à l’axe binaire (iP; f aura son homologue en X par rapport au plan ACPQ. I^a disposition relative de S et 2 indique que le plan PCP', normal à ('.A et au plan (iAP, est un plan de symétrie du polyèdre, par rapport auquel S et 2 sont deux sommets homologues : donc il existera un plan de symétrie normal à A’’, lequel entraîne à son tour l’existence d’un centre de svmétrie (théorème XXII).
Théorème XXX. — Dans les polyèdres « axe principal A’% lorsque les plans de symétrie alternent avec les axes binaires, ceux-ci sont tous de meme espèce, mais inversement semblables chacun avec son voisin; il n'existe alors ni plan de symétrie normal « iaxe, ni centre de symétrie.
S’il existait un plan de symétrie normal à l’axe, ses intersections avec les plans de symétrie .seraient des axes binaires (théorème XVII), ce qui est contraire à l’énoncé de notre théorème; donc il n’existe ni plan de svmétrie normal à l’axe principal, ni centre de symétrie (théorème XXI).
Les axes binaires voisins L,/,, l.,l,,Jig. 8, sont inversement semblables, comme homologues par rapport an plan de symétrie intermédiaire qui passe |)ar l'axe principal et par P,C/>,.
La similitude inverse n'exclut pas nécessairement, dans le cas général, la similitude directe; mais, dans le cas présent, il est facile des’assurer que L,/„, L,i, ne peuvent Jamais être directement semblables; car la rotation qui amènerait la coïncidence caractéristique de la similitude directe ne peut évidemment s’effectuer qu’autour de l’axe principal, autour de la bissectrice
XI^ MÉMOIRE
ou enfin autour de la deuxième bissectrice />,CP,, normale à la précédente, (ionime il existe ary axes binaires, on a
af/ 47 ’ “ ' '^7 7
Si CL,, CL, étaient directement semblables par rapj>ort à l’axe principal, la rotation qui restitue les lieux des sonuiicts étant-^i l'ordre de la symétrie
de l’axe prineipal serait 47 , ce qui ne peut être. De même Cï-,, CL, ne |>euvcnt être directement semblables par rapport à CP,, puisque CP, n’est point un axe binaire. La normale à CP,, ou CP,, n’est pas non plus un axe binaire, puisque l’on a
90“ = y X P,CP,,
et qu’ainsi cette normale est une droite du groupe CP,, CP,, CP,. Donc les axes binaires voisins .sont inversement semblables, sans aucune possibilité de superposition.
Ijii fig. 8 offre la disposition des sommets homologues pour le cas 27 = G. Le plan de symétrie normal à l’axe principal est pris pour plan <le la figure. Les ronils noirs indiquent les sommets situés au-dessous de ce plan ; les ronds à centre blanc, les sommets situés au-dessus du même plan.
En exprimant les symboles des deux modes de symétrie que nous examinons, il convient de remarquer que, dans le cas du théorème XXIX, les plans de symétrie sont normaux aux axes binaires, et que, dans le cas où les plans alternent avec les axes, ils ne peuvent leur être perpendiculaires. Nous aurons ainsi pour les formules relatives, i° au cas de la coïncidence, 2" au cas de raltcrnance :
|A’’, 27!,’, oC, 27PJ.
<Jn voit, par les théorèmes XXV’!, XXV II et XXV 111 , ipic les polyèdres à axe principal d’ordre pair ne peuvent avoir que six modes de symétrie; on les trouvera indiqués dans le tableau synoptique fpii termine ce Mémoire.
SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE. XLI
Dans ce tableau; on peut donner à q toutes les valeurs possibles, depuis q = I inclusivement, jusqu'à </ = oo .
Cas des polyèdres à OJCe principal d’ordre impair.
Théorème XXXI. — Un polyèdre possédant un axe principal d'ordre impair ne peut posséder en me'me temps un plan de symétrie normal à cet axe et un centre de symétrie
C’est une conséquence du tliéorèrac IV’.
Théorème XXXU. — Dans tout polyèdre possédant un axe principal A*^*'*, s'il existe d'autres axes, ces axes sont binaires, leur nombre total est égal à -À q + i , et ils sont tous de meme espèce.
Un quelconque des nouveaux axes, nécessairement binaire et situé dans le plan normal à A’’’’"' (théorème XV^), sera répété aq fois, en vertu du corollaire du théorème X; d’ailleurs ces aq i axes seront distincts entre eux, et ne se superposeront pas (comme cela arrive pour le cas des axes principaux d’ordre pair), lin effet, si on les numérote o, i, a, etc., dans
l’ordre où des rotations successives, égales chacune à
J les font naître,
on trouve que les inclinaisons de o, i, a, 3 , etc., sur l’axe o sont
et correspondent à des droites distinctes, puisque deux de ces angles ne peuvent jamais différer de 180 degrés.
Il ne peut exister, dans le plan normal à l’axe piincipal, d’autres axes binaires rpie ceux dont nous venons de constater la présence. Car, soit Q leur nombre total : si l’on avait Q > ay i , le numéro d’ordre de la symétiie de l’axe principal serait Q ou mQ (théorème XIII), ce qui est contraire à la supposition d’un axe principal d’ordre a^ -t- i .
Corollaire. — Le nombre des axes binaires normaux à A’*^' sera toujours o ou ary -t- I .
MÉMOIRE
Théorème XXXIII. — Dans tout polyèdre possédant l'axe principal s'il existe des plans de symétrie passant par l'axe principal, leur nombre total est iq \ , et ils sont tous de meme espèce.
On déinontrerii, coimiie dans le lliéorènie précédent : i" que les -i- i plans provenant de rotations successives, tontes égales à autour de
l'axe prbicipal, sont distincts, de meme espèce, et directement semblables entre eux ; a” que leur nombre ne peut sui passer a^ -+- 1 , à cause du théorème XI.
Corollaire. — Le nombre «les plans de symétrie passant par l'axe principal sera toujours égal à o ou à aiji-l- i.
Théorème XXXIV. — Les polyèdres à a.re principal qui ne
possèdent ni plans de symétrie passant par cet a.vc, ni ares binaires, offrent trois modes distincts de symétrie, selon qu’ils ont ou n’ont pas un plan de symétrie normal à l’axe, et, dans ce dernier cas, selon qu’ils ont ou n’ont pas un centre de symétrie.
Si le polyèdre possède un plan de symétrie normal à l’axe principal, il ne peut avoir de centre de symétrie (théorème XXXI) ; dès lors, l’axe étant un axe principal, la symétrie du polyèdre est complètement fixée.
Si le plan normal à l’axe principal n’est point un plan de symétrie, la même impossibilité n’existe jilus. Ainsi, avec nos précédentes notations, nous aurons les trois symboles distincts
(A’»"’, oL’, oC, ol'|, oh\ C, oP|,
[A’»"', oL*, oC, n|.
Théorème XXXV. — Lej polyèdres à axe pri/icipalA^^*' , qui possèdent isolément, soit les %q -h \ plans de symétrie, soit les %q -+- \ axes binaires, compatibles avec cet axe principal, ne peuvent avoir ni plan de symétrie normal à A’’*', ni centre de symétrie.
SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XLill
C’est une conséquence évidente des tliéoremes XVII, XVIII, XIX et XX.
Ku conservant les notations déjà adoptées, on trouve que les deux classes de polyèdres auxquels se rapporte le théorème actuel sont représentées par le.s symboles
(2f/-M)I.’, oC, oP|,
[a”*', oL*, oC, (a</-t-i)P].
Théorè.me XXXVl. — Dans les polyèdres possédant l'axe principal A’^' , -iq i axes binaires et -xq -k-i plans de symétrie passant par l’a-re principal, les axes binaires sont situés sur les plans de symétrie, ou bissèquent leurs angles dièdres.
Ce théorème se démoiiti'e exactement comme le théorème XX VI II.
Théorème XXXVII. — Dans les polyèdres h axe principal A’**', lorsque les plans de symétrie contiennent les os es binaires, il existe un plan de symétrie normal à l'axe principal, mais pas de centre de symétrie.
La démonstration est celle du théorème XXIX. Mais la conséquence relative à l'existence du centre de symétrie n’a plus lien, à cause du théorème XXXI.
Théorème XXXVlll. — Dans les polyèdres à axe principal A'^', lorsque les plans de symétrie alternent avec les axes binaires, ceux-ci sont tous de meme espèce, et coïncident avec les normales aux plans de symétrie; il c.i iste alors un centre de symétrie, mais pas de plan de symétrie normal à l’axe principal.
Les axes hinaires CL,, CL,, CL,, Jig. g, part.ngeni alors en xq -(- i parties égales la demi-circonférence d'im cercle décrit de C comme centre; ce nombre étant impair, l’une des bissectrices des angles L,CL,, L,CL,, etc., sera normale à CL, ; donc il existera tonjoiii's nn plan de symétrie normal à l'axe CL, : c’est le plan dont la trace est P,C/^, sur le plan de la fig. g, supposé nornuil à l'axe principal. La coexistence d’un plan de symétrie et d’un axe binaire qui lui est normal entraîne celle du centre de symétrie (théorème XXII).
XMV
HF.MOIBE
D'ailleurs, les axes binaires sont tous directement semblables par rapport à l’axe principal, et, par conséquent, de même espèce, l^es ronds à centre blanc et à centre noir de la Jig. 9 indiquent la disposition des sommets homologues; les ronds noirs indiquent les sommets situés au-dessous du plan de la figure; ceux à centre blanc, les sommets situés au-dessus de ce plan.
J.,es symboles des polyèdres auxquels se rapportent les théorèmes XXXVIl et XXXVIII seront donc, d’après les conventions de la page xxv,
[a’’"', (ar/-J-i)L’, C, (2<y-4-i)P’),
[A>»-, + oC, n, (2.y-^i)Pj.
On voit, paries théorèmes XXXIV, XXXV et XXX\ III, que les polyèdres à axe principal d'ordre impair 11e peuvent avoir que les sept modes de symétrie indiqués dans le tableau qui termine ce Mémoire.
On peut, dans ce tableau, donner à q toutes les valeurs Imaginables, depuis 17 = 1 inclusivement jusqu’à r/ =x.
§ IV. — Polyèdres symétriques sphéroédriques.
Théorème XXXIX. — Tout polyèdre sphéroédrique possède au moins deux axes I/, L*', dont les numéros d'ordre sont supérieurs à 2.
Un polyèdre sphéroédri<|ue {définition IX) ne peut posséder uu seul axe de symétrie; car alors, afin d’éviter la reproduction de cet axe par les plans de symétrie du polyèdre (théorème Vill, corollaire), il faudrait que ces plans continssent l’axe unique de symétrie ou coïncidassent avec son plan normal : cet axe unique pourrait donc toujours être considéré comme étant un axe principal, et le polyèdre ne serait pas sphéroédriqiie.
Il existe donc deux ou plusieurs axes <le symétrie dans les polyèdres sphéroédriques. Soient uloi-s I/, L’' deux axes dont les numéros d’ordre q, q' ne soient pas inférieurs à ceux des autres axes : je dis que l’on aura r/ > a, q’> 2.
Supposons d’abord que l’on ait ^ = 2, q' = ti. La normale au plan des
SIB I.F.S POI.YÈDBB» DK FOBME SYMIvTBIQOE. XI.V
axes I.’, L'* sera aussi un axe de symétrie L*" (théorème XI), et puisqu'on ne peut avoir q" > q, q" > r/', on aura q" =■ 2. D’ailleui-s L'* et L'* sont rectangulaires; sans cela il y aurait un troisième axe binaire sur le plan des axes L’, L'*, et q” serait plus grand que 2 (théorème XllI), ce qui ne peut être. On a donc alors trois axes binaires rectangulaires I,*, I/’, I/’, et je dis (jue l’un au moins de ces axes peut être considéré comme étant un axe principal.
’ En efiet, il ne peut alors y avoir dans le polyèdre aucun autre axe binaire que les trois axes L’, L'“, I/’; car tout axe oblique à L", étant combiné avec L’. ferait naître d’autres axes binaires dans leur plan commun (théorème X, corollaire), et un axe de symétrie d’ordre supérieur à 2 (théorème XIII).
De même, tout plan de symétrie doit {>asser par l'un des trois axes, tel que L’ ; sans cela, il se produirait trois autres axes binaires homologues par rapjjort à ce plan, et le nombre total des axes binaires serait six, ce que nous venons «le prouver ne pas être possible. Soit donc P un |>lan de symétrie passant par L’. S’il existe un seconri plan de symétrie P', il doit être perpendiculaire à P; sans cela, leur intci section serait un axe d’ordre supérieur à 2 (théorème XI). V'oyons donc si la disposition de ces plans peut être telle, que le polyèdre n’ait pas d’axe principal.
Si le plan P ne passe ni par I/*, ni par I/’, P' devra passer par I.“ ; sans cela son intersection avec P formerait un ((iiatrièmc axe binaire, ce (|ui est impossible; et il en serait de même de tous les autres plans P*, P"’’ qui tous passeraient nécessairement par L’. Ainsi, dans ce cas. Taxe I>’ satisferait aux conditions exigées pour les axes principaux, et le polyèdre ne .serait pas sphéroedrique.
Si, au contraire, le plan P contient non-scnlement L’, mais encore l’uii des deux axes binaires I/% I/’; si, par exemple, il contient l’axe I/’, le plan P', qui doit toujours passer par la normale au j)lan P, c’est-à-dire par I/’, devra, pour que son intersection avec P ne forme |>as un quatrième axe binaire, contenir l’axe L’ ou Taxe I/’, par exemple l’axe L’. S’il existe alors un troisième plan P’, il devra être perpendiculnire à la lois à P et à P' (■vorcs ci-<lessus) ; il passera donc [lar I/’ et I/% et il ne pourra exister d’autre plan de syméti-ie. Dans ce cas, l’un quelconque des axes I,*, L", L"’’
Xt.VI MF.MOIBE
peut être considéré comme étant un axe principal, et le polyèdre n’est pas sphéroédrique.
Donc on ne peut avoir y = a, a.
Supposons maintenant que l’on ait <7 > a, (j'= a. F-es deux axes L*, L'* seront rectangulaires entre eux; sans cela, l’axe I/’ forcerait l’axe L' à se reproduire, au moins une fois, et le nombre (j' sei’ait inférieur au numéro d'ordre de deux des axes du polyèdre, ce qui n’est pas possible, d’après les hypothèses précédemment faites. Par la meme raison, il ne pourra existèr aucun axe en dehoi-s du plan normal à L’. Ainsi, la première condition pour que I.’ soit un axe jirincipal est satisfaite.
De iiicine, les plans de symétrie du jwlyèdre, étant assujettis à ne pouvoir reproduire l’axe li’, devront nécessairement contenir I.’ ou lui être |>erpendiculaires; doue I.’ sera un axe principal, et le |>olyèdre ne sera point sphéroédrique.
Donc on ne peut avoir
Donc enfin on auia
Théorème Xf.. — Lorsqu'il existe dans un polyèdre deux axes d'ordre su/iérieur au deuxième, le polyèdre est nécessairement sphéroédrùjue.
Car si le polyèdre possédait on axe principal, les autres axes seraient nécessairement lunaires (théorème XV), ce qui est contraire à l'énoncé. Donc le polyèdi-e sera sphéroédrique.
Définition X. — Les théorèmes XXXIX et XL nous indiquent que l’on jieut donner une définition des polyèdres sphéroédriques différente de celle de la page xxvi, et dire que ces polyèdres sont des n polyèdres symétriques » à plusieurs axes, dont deux au moins ont une symétrie d’un ordre supé- » rieur au deuxième. » I.es polyèdres à axe principal peuvent alors se définir comme étant « des polyèdres pourvus d’un ou plusieurs axes de » symétrie, dont un an plus est d’un ordre supérieur au deuxième. »
I'héorème XLI. — Dans tout polyèdre sphéroédrùjue, possédant un
XLTIl
SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE
axe de symétrie L’ d'ordre supérieur au deuxième, le nombre total Q des axes d'ordre q appartenant à ce polyèdre est nécessairement égal à la moitié de l'une des valeurs que peut avoir le nombre des sommets d’im polyèdre régulier auxiliaire satiifaisant aux deux conditions suivantes : i® que son centre de figure soit aussi un centre de sa symétrie; a® que chacun de ses angles solides soit formé de q angles plans.
L’axeL* est nécessairement associé à un axel/', q’ étant plus grand que a (théorème XXXIX) ; or, en faisant tourner L'' autour de L’' d’un angle égal
à J on obtiendra le lieu d'un deuxième axe d'ordre q, distinct de l’axe
primitif L* (théorème X, corollaire).
Soient donc OA, OB, fig. i o, ces deux axes d’ordre q se coupant en O, qui est le centre de figure du polyèdre. De O comme centre, décrivons la sphère de rayon i, coupant les deux axes OA, OB en A et B, et menons l’arc de grand cercle AB. On pourra toujours supposer
arcAB<go® ou =90®:
dans le cas contraire, on considérerait le supplément de l'angle AOB. De même, on peut toujours supposer que OA et OB sont choisis de manière que leur inclinaison soit la plus petite parmi toutes celles que les axes
d’ordre q ont entre eux. Ceci posé, faisons tourner le polyèdre de
autour de l’axe OB d’ordre q. I-e point A viendra en C : joignons BC par un arc de grand cercle; on aura
