F=-S*(-AX) = -K=I»|^A

Ainsi la l'orine ternaire adjointe représente le carré de Taire élémentaire du plan {ghk) pris avec le signe — . On voit aussi que, si la forme f se laisse représenter géométriquement par un Assemblage, sa forme adjointe F sera représentée de même par son Assemblage polaire, apris toutefois que les paramètres du polaire auront tous été miiltijjliés |>ar Tiiitervalle moyen E, c’est-à-dire par la racine sixième du déterminant I) pris avec le signe — .

L'analogie singulière qui existe entre les propriétés des formes binaires et ternaires, et les propriétés géométriques dont jouissent les Rési'aux et Assemblages, a été signalée par M. Seelier, dans s<>s « Reeliercins sur les fiiniH’s ternaires » ( voyez le Journal de Crelle, tome XX, page 3iS).

Théorème CV. — Ia" volume du pandlélipipède élémenlaire est le meme dans V Assemblage primitif et dum son polaire.

Soient il le volume du parallélipipède générateur de l'Assemblage donne, et |nj celui de son Assemblage polaire. On aura évidemment

r ] ah sin d ad siii Ô hd sin a . . e

I il I = — P P P — Sin « 8111 r sin à ,

rt, h, d étant les paramètres de l'Assemblage primitif.

Or on a, d'autre part,

sin |3 sin J sin ^ = J, sin a sin J sin v = J,

MKMOIHK

H ooinine d’ailleurs

il vient enfin

(7'il

nht/J = U (équation 4 1 ), K’ = ii (équation

Sculie. — L' -Assemblage polaire a la même d«*nsité, c’est-à-dire lu même richesse en Commets, que l’Assemblage priniitif; l’intervalle moven E conserve la même valeur dans les deux Assemblages; ainsi

Théorème GVl. — En construisant l’sfsscmhluge polaire d'un Aso-mhhige polaire, on retombe sur l' Assemblage pritnitif.

Déterminons l’aire élémentaire du Réseau du plan des |/s| datis l’Asseinblage polaire, lafs deux paramètres, côtés du parallélogramme générateur, sont

a//ôu3 a/> siii 9

l’angle compris |aj est égal à i8o” — u (théorème G). Donc on aura

I , .,1 a’èr/sinûsin dsinu En’ Wsin fi sin 5 siii u

t )r on a d’ailleurs donc

nbd sin ^ sin S sin a = ahd J = U; S |(ioo)] = Eo = EPioo.

< )n démontrerait de même que l’on a

S f(o lo)] = Eô = E Poio,

S [(ooi)] = Erf= EPooi.

Si l’on construit, en direction, les axes de l'Assemblage qui est le polaire de celui constniit sur On, Oh, Od (Jig. 3q), on retombe sur ÜA, OR, < )D ; si l’on construit , en grandeur, les paramètres de ces axes, par les formules convenues (étjuations (53),

.S[(ioo)| Sf(oio)J S[(ooi)J [E) ’ [Ej ’ [EJ ’

SLH 1.KS S^STKMES l)K POINTS IMsTIlIBl KS KÉt.UuknKMKNT.

à cause de ( Fl | = E, on retoinliera sur les parmiièlres a, h, d, ou Pioo, Poio, Pool, I/Assemlilage ainsi obtenu euineide donc avec l' Assemblage priinitil'.

Th ÉORÉME CV II. — Si gilk est le syinhole d'une Hantée, dans un ^sseni- Idage, son plan nornud sera un plan réticulaire de l’ ^dssemblage polaire, et il aura pour symbole.

(lar on peut, d’après le tliéorènie précédent, considéi"er l’Assemblage polaire comme étant l’Assemblage primitif, et le primitif comme étant le polaire de l’autre Assemblage: alors (théorème CllI), le symbole de la normale au plan {gh/r) doit être ( ghk\. Pour revenir à notre premier point de vue, il suffit de transporter les crochets | | d'un symbole à l’autre, et 1 on voit que le symbole de la normale au plan s<*ra gbk : don<' la

Rangée ghk est nonnale au plan réticulaire |(g-AX )].

( urollaire. — Si est le symbole d’une Rangée du polaire, (ghk)

s«*i"a celui de son plan normal, qui sera un plan réticulaire de 1’As.semblage primitif.

Déjinition. — l,es propriétés des Assemblages polaires dans l’espace ont leurs analogues sur le plan. A chaque Réseau correspond un liéseau ptdaire, que I on obtient de la manière suivante ;

Soient Oa = a, Ob = b les deux panunètres, sur les axes ü.i , O) ifip- 4t>); soit ^ l’angle xOk; .soit * l’intervalle moven donné par la formule

= ab sin S.

Sur ce Réseau, et avec le {«iramètrc i noniial au plan xOv, comme axe des Z, que 1 on construise un Assemblage, qui aura le Réseau du plan.c()| pour base.

On aura

11 = (ab ,sin<î = f';

ainsi « sera I intervalle moyen des Sommets de cet Assemblage auxiliaire.

MI^MOIRK

l'.n ronstruisant un Réseau sur ces paramètres, l’on obtiendra le iwlairv du Réseau donné. Si, maintenant, sur le prolongement de la droite 0[> J, vous prenez 0[è'| — 0[A|, le Sommet [//j appartiendra aussi au Réseau polaire; et comme l’on aura

les triangles AOn, seront égaux, üe là résulte le théorème sui-

vant :

Théorème (iVlII. — lin Hcseau polaire dérive du Réseau primitif par nue rotation de <)o degrés de celui-ei (u/tour d’un des Sommets pris pour orif'ine.

Srolie. — Si , après cette rotation, l’axe des j positives devient l’axe des I X I positives du Réseau polaire, l’axe des x positives deviendra l’axe des [ j| négativ«*s : l’invei-se aura lieu, si la rotation est elTectuée en sens contraire.

I'hÉorème (J1.\. — Tout y/ssemlflufte polaire possède les mêmes a.ies de s ymétrie que l’ Assemblage primitif.

Soit O {Jig. 4<) le Sommet commun aux deux Assemblages, origine des coordonnées; soient OO' un axe de symétrie de l’Assemblage primitif, et OP une des Rangées de r.Assemblage polaire, O et P étant deux Sommets voisins sur cette Rangée. Menons par O le plan RR' normal à OP, et (jui sera un j)lan réticulaire de l’Assemblage primitif (théorème GVMI, corollaire).

Soit maintenant q le numéro d’ordre de la symétrie de l’axe OO'; faisons

tourner RR' autour de OO' de , de

) etc. : on obtiendra

autant de plans réticulaires de même espèce (théorème LXXXVIII), ilont les normales seront aussi des Rangées de l’.Xssemblage polaire (théolème GUI ). Ges normales s’obtiendront en faisant tourner OP autour de OO'

• l angles égaux à

> etc.: dans ce mouvement, le point P viendra

successivement en P', en P", etc.; rl’où l’on voit qu’il aura q — i Sommets homologues par rapport à l’axe OO', et, comme P est un Somnjet quelconque de l’Assemblage polaire, l’axe IX)' sera un axe de symétrie d'ordre q dans ce dernier .\ssemblage.

Corollaire. — S’il existe des |jlans de symétrie dans l’.\ssemblage primi-

SUR I.ES SYSTkMES DF, P01\TS DISTRIBUES B^.GUI,1F.RF..MENT.

til', <-es plans seront aussi des plans de symétrie du polaire; ear, à tout plan de symétrie correspond un axe de symétrie d’ordre pair, et cet axe devra se retrouver dans le polaire. Or, réciproquement, à tout axe de symétrie d’ordre pair correspond un plan de symétrie qui lui est normal ; ainsi , ce plan de symétrie se retrouvera dans l’.Xssemblage jKilaire.

Théorème CX. — Si l'on centre tons les parallcHpipèdes dont la réunion compose un Assemblage donné A, dont le polaire [AJ est conmi, et si l'on forme ainsi un nouvel Assemblage A' , V Assemblage obtenu, en centrant les six faces des parallélipipèdes polaires qui composent l’ Assemblage I A I , et agrandissant ensuite toutes ses dimensions dans le rapport I ; ^2, sera l’ Assemblage polaire de A'.

Soit fi' le noyau de l’Assemblage A'; le volume de ce noyau sera égal évidemment à la moitié du volume de l’ancien noyau, de sorte que l'on aura

Soient F, et E' les intervalles moyens des .Assemblages A et A'; l’on aura

R'*=iE>, E = F/y^.

D’autre part, on a, dans le polaire de .A', en distinguant pai- des aiccnts les grandeurs qui se rapportent à I’. Assemblage A' et à son polaire ( .A' |,

'I loo] = — P [oioj = ■ y, --i P Jooi] = — ^7-^-

.Mais, comme les Réseaux sur les plans des yz, des xz et des xy ne sont pas troubliis par le centrage, il vient

S' ( 1 oo) = S ( I oo) = E P ( 1 oo I ,

S'(oio) = S(oio) = EP[oio],

S' (ooi ) = S(ooi) = EP[ooi j.

Donc, substituant, l’on aura

P' [ loo] = 1^2 .P [ loo] , P'[oio] = ^a.P[oio|, P' [ooi ] t= P [ooi J,

MEMOIRE

P 1 1 oo| , P [o I O I , P [ 00 1 ] reprwentent en grandeur et en direction les arêtes des trois faces contiguës dn parallclijûpède générateur de l'Assemblage polaire |A|. Si, an contraire, on considère les plans diagonaux (iio), ( loi ), (oi i), et spécialement ceux qui ont pour équation, dans l’Assemblage |iriniitif,

on voit facilement que ces plans passent par le centre du parallélipipcde générateur : ainsi, les parallélogrammes des Réseaux de ces plans deviennent tous centrés, et l’aire de leur maille devient moitié moindre. On a donc

S'(iio)=iS(i lo).

S'(ioi) =iS(ioi), S'(oii) = lS(oii).

Donc

/ P'|iio

S' ( Il O )

S(iio)

^^a.iP(iio|,

^ jH) I et (le même

P'[lOl] = ^.-.iP[lOl|,

lP'[01ll = ^'-2.iP|01lj.

PjiioJ, P[ioij, P (oii] représentent en grandeur et en direction les diagonales des trois faces contiguës du |>arallélipipcde générateur de l' Vssemblage polaire f A |.

Des équatioas (77) et (78) on conclut qu’il faut, pour obtenir l’.^ssemblage fA'J, multiplier par ij/â li-s dimensions du parallélipipède générateur du polaire fA|, puis diminuer de moitié les paramètres des diagonales de ses SIX laces, ce qui s’obtiendra en centrant ces faces.

I..a première de ces deux ojiérations change le noyau U du polaire | A | en iî ( )’= a il. Par la seconde opération, le jvarallélipipède générateur prend

d«*s bases et des hauteurs deux Ibis plus petites ; son noyau ail devient donc

<-gal à

i a il = i II = il'.

c’est-à-dire égal au noyau de l’Assemblage A'. Le centrage de l’Assemblage I \'j ainsi obtenu est donc complet; un centrage ultérieur, s’il pouvait