SL'B LES SYSTEMES DE POINTS DISTRIBUÉS RÉGULIÈREMENT. 1 I

avoir lieu, rendrait la densité de [.^'J supérieure à celle de A', ce <|ui ii'esl pas possible (théorème CV, scolie). Donc [A'] est le polaire de l’As-seniblage centré A'.

Théorème GXI. — Si l'on centre les faces des paruUélipipèdes générateurs qui composent un Assemblage donné A dont le polaire | A | est connu, pour former par ce centrage un noueel Assemblage A', on obtierulru le polaire (A' J de l’ Assemblage A', en centrant les parallélipipèdes polaires qui composent 1‘ Assemblage | A |, et diminuant toutes ses dimensions dans le rapport ^ : i .

Kn général , soient M et 1\ deux Assemblages qui soient le |)olaire l'un de l’autre; soit ce que devient l’Assemblage M quand on centre tons ses parallélipipèdes ; soit ce que devient N lorsqu’on centre les laces de ses |>arallélipipèdes, polaires de ceux de M : il résulte du théorème précédent que et réunissent les conditions de dimensions relatives nécessaires pour être polaires l’un de l’autre; .seulement, au lien «l’avoir

noyait .M^ = noyau ,

on aura

(^q) noyau = « noyau

Alors, si l’on augmente les dimensions de dans le rapport y/a à l’unité, les noyaux deviennent égaux et les .\ssemblages sont récipro«|iienient polaires (théorème précédent).

On peut obtenir le même résultat, en diminuant les dimensions de M^ «lans le rapport ; i; les noyaux deviennent égaux, et les Assemblages, réciproquement polaires.

Dans le «as actuel, posons ÎN = A, M = [ A J, A’; M, sera l'Asseiii-

blage [A] dont on a centré les parallélipipèdes, et M, réduit dans s«*s dimensions suivant le rapport yfï : t sera le polaire de A'.

Théorème CXII . — Si l’on centre, dans les plans z = o, a = i , les bases des parallélipipèdes générateurs qui composent un Assemblage A dont le polaire [A] est connu, on obtiendra le polaire de l’ Assemblage à bases

I vio MEMOIRE

rentrées A' , en rentrant, sur les plans | z J = o , [ z J = i , /eï bases de | A ] , nmltiplUmt les paramètres, sur les axes des ( a; | et des | >• | , par le rapport : i, et celui de l'axe des [ z] par le rapport ; a.

Kn .ippliquant la nit'-tliode employée pour la démonstration du théorème <i\, on trouve

S' ( I oo) = S ( I oo) = E P [ I oo I ,

S' (oio) = S(oio) = EP [oio|, S'(oo«)=iS(ooi) = lEP|ooi|,

I P'I looj = {Ta. PI looJ,

(8o» I P'|oio] = y/â. P|oio),

f P'|ooi I = i ^.P[ooi ],

S'(i lo) =iS(i lo),

S' (ioi) = S (loi),

S' (oi 1 ) = S (oi i),

jP'|M0l=iv'^..P|,.0j,

(Si) 1 1*' I loi I = y/a . P [ loi ],

f P'(oi i] = ^a.P [oii|.

Des équations (8o) et ( 8 1 ) on conclut qu’il faut multiplier par ^-x toutes les dimensions de l’Assemblage [A], jniis diminuer de moitié le jiaramètrc relatif à l’axe des [z], ainsi que le paramètre de la diagonale [ t lo]; cette dernière opération équivaut à centrer les parallélogrammes sur le plan des | »j|.

lia première opération change le noyau fi de l’Assemblage [A| en ali; la deuxième le divise par a, et le ramène à la valeur U; la troisième le ilivise par a, et le rend égal à i 12 : or telle est aussi la valeur du noyau de r Assemblage A'. Donc l’Assemblage ainsi obtenu sera le polaire de A'.

Probi.ème XXXII. — Trouver V .dssemblage polaire d’un .dsscmbla^e à symétrie binaire.

Soient Oz l’axe binaire [fig- 4^), et son paramètre: soient O.r = a, < ) V = b et xOy = é.

SI R I.ES SYSTÈMES l>E PÜiN'IS DISTHIBllÉS KÈlitU KREMEM . 121

Supposons d'abord le prisme non centré, et posons (82) rt/>f/sin J = R*;

E étant l’intervalle moyen, nous aurons

1,’axe des [sj coïncidera avec Oï; les axes des |.r| et des | j| seront situes dans le plan des ary, et l’on aura

‘ * a MU 9 K

la^saxes des ,r, z étant conjugués, puisque le prisme droit n’**st pas centré, les axes des |.r|, | j| et [sj léseront pareillement, et le générateur de l'Assemblage polaire sera un prisme droit à base |jarallélogrammiqne. l.e Réseau du plan des jj"] | y| sera le polaire du Réseau des .«T-', agrandi ou diminué, dans le rapport d ; E.

Si le prisme générateur était centré {voyez le théorème IA ), il liuidrait centrer les faces du prisme polaire obtenu en ne tenant d’abord pas compte du centrage (théorème GX.), et agrandir ensuite ses dimensions dans le rajqiort i On aurait ainsi pour générateur un octaèdre droit à base

parallélogranimique, ou, ce qui revient au même, un prisme droit eemtré à base parallélogrammique. On trouve alors, pour les arêtes de ce dernier prisme.

|rf| = R'{^

et , pour l'angle compris entre [« J et [ t] ,