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HÉMOIRF.
I’roblème XXX III. — Trouver V A sscmhla^c polaire d’un A ssembla^e à symétrie terbinaire.
Prenons pour axes coordonnés les trois axes de symétrie binaire. Soient a, b, d les paramètres des axes des x, des r et des z; ( a |, | />], | rf | ceux des axes des |j;|, des | r| et des [zj. Ij’axe des [o:| coiiicidera avec l’axe des J,-, l’axe des | ) | avec celui des y, et l’axe des [z| avec celui des z. r.eci posé, il peut se présenter quatre cas dilTéients.
Si le prisme <lroit, à arêtes a, b, d, n’est pas centré, r.\ss«*mblage jjolaire aura pour générateur un prisme droit à base rectangulaire.
Faisons, poui- abréger,
nous aurons évidemment
(«/|| F?=ir,
Si le [irisme droit e.st <'cntré en son eentre de volume (cas où l’Assemblage peut être considén* comme dérivant de l’octaèdre droit à base rectangulaire), le polaire est un prisme droit, eenti'é sur ses six faces, et l’on trouve facilement (théorème EX)
|«| = R»(/ïi = aE»;i,
le prisme construit sur [nj, [//|, |rf| doit ensuite être centré sur ses six tiices, et alors il érpiivuudra à un octaèdre droit à base rlioml>e.
Si le prisme droit est centré sur ses six faces (cas où l’ Assemblage j»eut être considère comme dérivant d’un octaèdre droit à base rlioinbe) , en vertu du théorème CXl, on retombe sur le prisme droit centré, lequel équivaut à l’octaèdre droit à base rectangtdaire. Soient toujouis a, b, d les arêtes
SUB I.ES SYSTÈMES UK l'OIVTS DISTRIBUÉS RÉr.l'UÈRF.MENT. 1 u'}
du prisme droit à faces centrées. On aura, d’apri's le théorème C\I,
K>=ilO,
(«|, |^|, I I seront les arêtes du prisme droit rectaii{;ulaire, lecpiel, étant centre, deviendra le générateur du polaire cherch<ê
Fjifin, si le prisme était centré sur deux de ses laces, par exemple sur ses deux bases (cas où l'Assemblage (>eut être considéré comme dérivant d'un prisme droit à base rliombe), on trouverait, en se conformant aux prescriptions du théorème GX.II, et {wir des calculs analogues aux précédents.
puis l'on centrerait le rectangle construit sur ( a | et [ /> | : on aurait ainsi un nouveau prisme droit à base rhombe.
On peut aussi, pour ce dernier cas, s’appuyer sur la solution du pioblèmc X.WIl. Faites, dans les calculs relatils à ce problème,
ce qui revient à prendre pour axes des x et «les r les deux diagonales de la base rectangulaire centrée. Alors
E'* = rt'’«/sin<5,
‘ sin 0 K
et l'angle du rhombe de la Itase du polaire sera iHo" — j.
CornUaire /. — I,e polaire du prisme droit à base rectangulaire est un prisme droit à base rectangulaire; celui du prisme droit à base rhombe est
MEMOIRE
un prisme droit à base rhombe: les deux rectangles, ou les deux rliombes, sont semblables.
CoroUaire II. — I/octaèdre droit à base rectangulaire et l’octaèdre droit à base rhombe sont réciproquement polaires l’un de l’autre.
Problème XXXIV. — Trouver l' Assemblage polaire d'un A s.sembiage ternaire, ou rhomboédrique.
Le polaire d’un Assemblage construit sur un rhomboèdre dont l'angle plan est égal à a, et l’angle dièdre égal à m, est un autre rhomboèdre dont l’angle plan |a| (théorème G) est égal à i8o“ — u, et l’angle dièdre (u| à 180'’— a (•).
Le rhomboèdre primitif sera com|)létement défini, si l’on donne le paramètre a du Réseau à maille trié<|uiangle normal à l’axe ternaire, et le paramètre d de cÆt axe ternaire. On trouve alors, par des propriétés connues du rhomboèdre.
boèdre polaire; on aura
1 a (1 — cos a
rt*
1 I (1 -4- cos u
paramètres
de même s
(i -t- CO.S ( u])
donc
donc enfin
I 4- cos I «] = 1 — cos a ;
JîJ’ .
“IfJ — ITrlJ,
relation qui exprime la condition pour que deux rhomboèdres soient semblables, chacun d’eux au polaire de l’autre.
Pour l’égalité des deux volumes, on a, en outre, la condition
190) K> = iv/5«V/ = iv^31ap|^/l-
(*) Ceit ce rhuiuboèdre que le profesieur Weiss a appelé le rhomboèdre par inversion , « Inver tirun^s-Rhombck^der ». [MerntHres de rAcadrntie Berlin , t. XV, p. t|3.)
SUR I.KS SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT. l
On PII (’onolura les valeiii's de |n | et (r/J, savoir :
I’robi.ème \XXV. — Trouver i xsemblagc polaire d'un A ssemblamà symétrie (puUernnire.
.Soient a, a les deux paramètres des côtés de la base carrée; soit d le fiaraiiiètre de l’axe des z, axe de symétrie quaternaire.
S’il s’agit d’un prisme à base carrée, non centré, l’on aura (qi) a^/=R‘, E’=R*.
|al = E’i, [rf|=E’i;
le polaire sera aussi un prisme à base carrée.
S’il s’agit d’un prisme centré à base carrée, le polaire sera un prisme centré à base carrée dont les éléments peuvent se déduire de la solution du deuxième cas du problème XXXIII. Dans les formules relatives à ce cas, faites b — a\ vous trouvere/. un prisme droit centré à base carrée détemiiné jiar les formules
(;,a) E>=iR>,
W = v/iF,>;, K|=»K’i-
Problème XXXVI. — Trouver ï Assemblage polaire d'un Assemblage Cl sy métrie scnairc.
Ee générateur de l’.^ssemblage est un prisme droit à base rliombe, dont les côtés sont a, a, l’angle compris S égal à 1 20 degrés, la liaiiteiir égale à d.
On trouve alors (voyez la solution du problème XXXIII, quatrième cas) que le générateur du polaire est un prisme droit à base rbombe, l’angle du rhoiiibe étant 180" — J ou 60 degrés, c’est-à-dire un prisme à symétrie séiiaire, comme on devait s’y attendre (théorème CIX ).
Soient [a], [«1 les côtés du rbombe dans le prisme polaire , et | f/ ) la
I uG MEMOIRE
liaiiteur: on aura, en ap|>li([uant les formules (H7), (;)■()
l«l = Vln'5.
On a, entre a lîl'l)
, f/, ( a I et [ (/ ] , les relations =*
a'>l = |fl* I |r/J,
i|in sont les analogues de (8(j) et (90).
I,e Réseau du plan normal à l’axe sénaire tourne de 90 def'ré-s dans son |)lan, et se modifie quant à son paramétre nnninunn.
pKOBi.kxP. WWIl. — Trouver l' Assemhluge polaire il'u/i .■l.i.sciiibln^e a wnictrie lertpiateruaire.
Si le jfénérateur de l’ Assemlilage est un eube, son polaire aura pour générateur le même cube.
Si le générateur de l’Assemblage est un cube rentré, dec(>téa, son polaire sera un eube à faces rentrées (théorème CX ), dont le côté | a | sera donné [lar la formule
|a I =« ij/a.
Réciproquement , si le générateur était un cube a laces centrées de
coté a (ou octaèdre régulier de côté son polaire serait un cube
centré (théorème C\I ) de côté [a], donné par réquation
\insi les deux derniers modes sont réciproquement polaires l'un de l’autre.
<)n pourrait aussi démontrer ces derniers résultats en considérant les rhomboèdres générateurs. Le rhomboèdre de 90 degrés a un angle plan de 90 degrés; il aura donc, pour polaire un rhomboèdre de 90 degrés (solulion du problème XXXIV ).
SUR LES SYSTÈMES DR POINTS DISTRIBUES IlÉOULlÈBEMENT. r^e rhomboèdre de 70® 3 1 ' 44 * a un aii{;le plan de 60 degrés ; il aura donc pour polaire le rhomboèdre de 1 20 degrés.
Le rhomboèdre de 120 degrés a un angle plan de loij® 28' ifi*; il aura donc pour polaire le rhomboèdre de 7 o® 3 i' 44 *-
(^oique le .Mémoire qui précède puisse être considéré comme étant une pure spéculation géométrique, et que les relations qui y sont démontrées soient indépendantes des propriétés physiques des corps, cependant ce travail a éui exécuté, par l’auteur, avec la peiusée de s’ en servir ultérieurement pour l’explication des faits fondamentaux de la cristallographie, et c’est vers ce but que sa rédaction a été spécialement dirigée.
Il a toujours été admis, depuis Haüy, soit implicitement, soit explicitement, que les centres des molécules des corps cristallisés sont distribués, à des intervalles égaux, suivant des séries rectilignes, parallèles aux intersections des plans de clivage. Le système géométrique formé par ces centres n’est donc rien autre chose que ce que nous avons nommé un « .Assemblage de points », et toutes les considérations développées dans ce Mémoire lui sont applicables.
Si maintenant l’on admet qu’une eause quelconque uitervienne pour disposer l’Assemblage qui se constitue, au moment de la cristallisation, à une structure symétrique plutôt qu'à une structure non symétrique, il est clair que l’Assemblage délinitivenient formé appartiendra à l’une de nos sept classes (page 88), et de préférence à l’une des six premières, qui possèdent seules des axes ou plans de symétrie. L’observation des corps cristallisés, naturels ou artificiels, prouve à posteriori qu’il en est ainsi; aussi la division géométrique des Assemblages correspond-elle fidèlement à celle iju’une étude patiente et attentive a porté à établir entre les différents systèmes cristallins.
Mais quelle est la cause de cette tendance des .Assemblages, que forment les centres des molécules des cristaux , vers la régularité symétrique.’ C’est ce que J’essayerai d’expliquer dans un autre Mémoire dont la rédaction est aujourd’hui terminée, et qui. Je l’espère, pourra être imprimé prochainement. Iæs principaux résultats île ce nouveau travail ont été cominu-
I î8 MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBL'ÉS RÉGULIÈREMENT. iiir|iiés à la Société Philomathique, ilans les séances des 17 et a 4 mars, 19 mai, 7 juillet et 17 novembre iS.jg (voyez le ,lournal Y ftistUut, année 1849, aux comptes rendus de ces séances). Le Mémoire que l'on vient de lire, ainsi que a-lui •< Sur les Polyèdres de forme symétrique a, imprimé dans le tome XI du Journal de MatUèmai 'ujues de M. Lionville, forment, en quelque sorte, les Prolégomènes «le la théorie cristallographique qui s’y trouvera développée.
.le me borne à signaler dès à présent la forme polyéilrale, ou, si l'on veut, polyatomique, de la molécule du corps cristallisé, comme «létemiinaiit le genre de symétrie de I’ A.ssemblage cristallin correspondant ; la même cause, suivie dans ses conséquences ultérieures, explique d’une manière simple l’ensemble des phénomènes de l’hémiédrie, de l’hémitropie et de l’isomnrphisme. Si elle ne résout pas complètement le problème encore si dillicile du dimorphisme, du moins elle indique comment l’on doit chercher à distinguer le dimorphisme de l'isomérie, et elle fait voir que, dans certains cas, le diinorphisiiie proprement dit , c’est-à-dire la cristallisation de molécules identi(|ues dans deux systèmes cristallographiques distincts, suivant l’étal du milieu ambiant, est un fait admissible, bien que contraire aux idt-es qui sont aujourd'hui le plus généralement adoptées en minéralogie.
Ln Rapport sur le Mémoire actuel a été lu par M. (jauchy, à l’Académie des Sciences, le G août i 84 <) [*| {j'qve: les Comptes remlus, tome XXIX, }>age i 33 ).
(^ii’il me soit permis, en terminant, de remercier l'illustre rapporteur, de la bienveillance avec laquelle il a apprécié mon travail !
[*] Commissaires, MM. Biol. Beudant, Dufrtnuy, Re^mault, Cauchy rapporteui.
