Des formes eristulUnes et de la loi de symétrie

L’illustre Haüy a remanpié que les faces d'une espèce minérale s’asso- <?iaient suivant certaines règles, et il a désigné sous le nom de faces identiques celles qui, ainsi associées, [laraissent ou disparaissent à la fois dans l’enveloppe polyédrique du cristal. Haüy a cherché la condition de coexistence de ces faces dans la similitude de leur mode de génération sur toutes les parties identiques d'un noyau central qu’il appelle la forme primitive

XXXlf Othier. i4

io(j ÉTiiDEs cbistai.lo<;bai*hiqi:f,s.

<U- la substance ; il reconnaît Videntilé, pour les arêtes, à l’égalité de longueur et à l’égale inclinaison de leurs angles dièdres; pour les angles solides, à l'égalité de leurs parties élémentaires et à l’égale longueur de leurs côtés.

I.es géomètres qui ont suivi les méthodes allemandes déterminent les laces coexistantes en supposant qu’un, deux, ou trois des segments interceptés par l'une de ces faces sur trois axes cristallographiques changent de direction en restant sur le même axe, ou en passant sur un autre axe de même paramètre, sous la condition, toutefois, que le nouvel angle trièdre compris entre les segments soit égal ou géométriquement symétrique à l'angle trièdre primitif.

Ces règles résultent d’une étude très-approfondie d’un nombre immense d’espèces minérales; mais elles sont empiriques, et la cause physique de la coexistence n’en ressort pas d’une manière bien nette. Il en est réstilté que, dans la pratique, ces règles ne se sont pas toujours trouvées d’accord ; ainsi, les douze faces d’un birhomboèdre formé sur les arêtes «les bases d’un prisme hexaèdre régulier sont coexistantes, d’après la théorie de llaiiy; mais, suivant les méthodes cristallographiques de M. Miller, ces douze faces appartiennent à deux associations distinctes qui peuvent exister sé[)arément.

D’autre part, M. Delafosse a parfaitement fait voir (Mémoire cité, p. 1)54) que la condition d’identit»' géométrique, dans les diverses parties de la forme primitive, pouvait ne pas être suffisante, et qii’ainsi on ne pouvait rationnellement baser la loi de coexistence sur cette identité géométrique.

Ces difficultés disparaissent lorsqu’on assimile les crisUuix à des Assemblages «le molécules.

Nous distinguerons sous le nom de faces de meme espèce, comme nous l’avons fait dans la théorie des Assemblages, celles qui peuvent être amené«*s il superposition, Réseau sur Réseau, par une rotation ou translation convenable, la superposition des faces entraînant avec elle celle des Assemblages. Si, de plus, «’ctte superposition entraîne aussi celle des polyèdres moléculaires que l’on peut supposer liés aux plans de ces faces et participant à leurs mouvements, nous dirons que ces faces sont de même espèce, et, de plus, idciitifjucs.

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. lOJ

IæIo'i de coexistence des faces, généralement désignée sous le nom tle loi de symétrie, consistera dans la nécessité de la formation simultanée de toutes les faces de même espèce avec une face donnée. Appliquée au cas du clivage, cette loi exigera que le cristal, pouvant se cliver parallèlement à un certain plan réticulaire, se clive aussi, et avec la même tacilité, parallèlement à tous les plans réticulaires de inèiiie espèce que le précédent.

I..3 raison physique de la loi précédente est que, dans l’acte de la cristallisation, deux faces de même espèce se présentant, en général, de la même manière au milieu générateur, et leur tissu sous-jacent étant l«‘ même, les lorces moléculaires qui décident l’apposition successive des strates parallèles à l’une d’elles se retrouvent les mêmes dans la formation des strates parallèles à la deuxième. Mais la nature de cet énoncé fait concevoir que, même indépi'ndammcnt des causes étrangères qui peuvent agir inégalement sur les lianes de la masse cristalline en voie de formation et y déterminer des avortements accidentels, les forces productrices des laces de même espèce ne |)euvent être complètement pareilles des deux parts, que si les laces sont, non-seulement de même espèce, mais identiques.

Il convient, toutefois, pour procéder du simple au composé, d’admettre provisoirement la loi de la coexistence des faces de même espèce, sans tenir compte de la forme du polyèdre moléculaire. Nous verrons ensuite comment la prise en considération de la fornje de ces polyèdres oblige à rétiuire dans un certain rapport le nombre des faces qui doivent théoriquement coexister.

On a désigné sous le nom de forme cristalline l’ensemble de toutes les faces qui doivent coexister à une face donnée. Une forme sera donc la réiuiion de toutes les faces de même espèce que la face donnée. Une forme peut suffire à clore le cristal, et elle est dite alors forme fermée; elle est dite ouverte dans le cas contraire.

Le nombre des faces d'une forme dépend du nombre des axes du système, et l'on pouiTa toujours le déterminer de la manière suivante. Soit le nombre d’axes de symétrie d’ordre 7 que possède le cristal. Une première face étant donnée, la symétrie propre à chacun de ces axes donnera naissance à 7 — I autres faces dérivant de la face dormée par des rotations répétées,

de autour de cet axe (*) ; le nombre total des faces ainsi obtenues, non

compris la face initiale, sera donc {(] — i ) . Pour se rendre compte de leur

mode de distribution, on élèvera des normales sur le côté externe de chaque face, et on les prolongera, ainsi que les axes de symétrie, jusqu’à la siirlàci* d’une sjihère de tri’s-grand rayon dont le cristal occupe le centre ; puis, de chaque extrémité d’axe, comme pôle, on décrira des petits cercles passant par le pôle de la face donnée, et sur lesquels viendi'ont se ranger les pôles de toutes les faces de même espèce, homologues par rajiport à cet axe. La représentation graphique des positions de ces points sur la sphère de projection est fort utile en cristallographie.

Ku répétant la précédente opération sur les axes d’ordre ij', d’ordre </", on obtiendra le nombre total des faces ainsi associées, puisque deux plans réticulaires de même espece sont toujours homologues par rapport à un axe de symétrie (théorème LXXXVII); ce nombre total sera donc

Mais la forme n’est point encore complète; car, à chacune de ces faces en correspond une autre qui lui est parallèle, mais qui est située sur le côté opposi! du cristal ; cette face doit aussi appartenir à la même forme. Donc on devni multiplier par 2 le nombre ainsi obtenu, et comme d’ailleiiis q, tj , q" ne peuvent être égaux qu'à 6, 3 , 4 ou 2, on pourra énoncer le théorème suivant:

Théorème I. — Ij; nombre N des faces d’une forme complète, dans itn système cristallin contenant N, axes sénaires, N, axes quaternaires, N, axes ternaires, N, axes binaires, sera donné par lu formule (1) X = 2 (1 3 3 N,-+- 2 N,-+- N,).

En appliquant cette formule, et employant les valeuis de X,, N,, N,, X,, fournies par le tableau de la page 91 de mon précédent Mémoire, on trouvera : .

I système cristallin, N = 48 ; 5 ' système cristallin, N = 8 ;

2* système cristallin, X = 24 ; 6' .système cristallin, X 4î

3 ' système cristallin, X= 16; 7' système cristalliu, X= 2.

4 * système cristallin, X = 1 2 ;

(*) Thvorèluc LXXXVIII de mon prcccdvnt Mémoire.

ÉTunKs cri.stali.o(:raphiqi!ës. io()

Lorsqu'il s’agit de corps cristallisés, la figure du corps étant celle d’uii polyèdre terminé et convexe, la limitation de l'Assemblage introduit un élément nouveau, la bilatéralité des faces, et il est nécessaire d’en tenir compte. En efiet, chaque face d’un cristal a un côté interne et un côté externe, et l’on peut concevoir que la même distinction de sens soit appliquée aux jwrties de la face que l’on prolonge par la pensée au delà de l’aire polygonale par laquelle elle s’applique sur le cristal.

Nous dirons désormais que « deux faces de même espèce sont directement semblables », lorsque la rotation qui établit la coïncidence de leurs Rivaux amène le côté interne de l’une sur le côté interne de l'autre : il est facile de voir que les polygones par lesquels ces faces sont en contact avec le cristal se projettent alors sur l’axe qui a servi à effectuer cette rotation, ilans l intérieur même de la masse cristalline. Au contraire, ces deux faces seront dites inversement semblables , si le mouvement qui fait coïncider les deux Réseaux prolongés au besoin, amène le côté interne de l’une des faces sur le côU- externe de l’autre; dans ce cas, l’axe de la rotation est situé en dehors du cristal.

Cette définition montre que deux faces homologues par rapport à un plan de symétrie sont toujours inversement semblables : car alors la masse du cristal est toujoui's comprise entre les parties homologues des deux faces, le biseau de l’angle dièdre formé par ces faces est extérieur au cristal, ou du moins placé à sa limite ; l’axe binaire autour duquel une rotation de 1 8o degrés doit avoir lieu pour produire la superposition de ces faces, étant normal à ce plan de symétrie et s’appuyant sur l’un des points de ce biseau, sera nécessairement extérieur au cristal.

Toute face parallèle à une face donnée lui est inversement semblable; car leur superposition, par simple translation, amène le côté interne de l’une sur le côté externe de l’autre. De même, toute face A directement semblable à une face B, sera inversement semblable à la face parallèle à la face B. Plus généralement, on peut énoncer le théorème suivant ;

Théorème II. — Deux faces directement semblables ou inversement semblables à une troisième sont directement semblables entre elles; et deux faces sont inversement semblables, si t une d'elles est directement semblable à une troisième, et si l’autre lui est inversement semblable.

IIO ÉTCIOES CBI.STALl.U(ilUPHlgi:KS.

Kn résunic, toute forme cristalline se déeompos«‘ en

Une face A primitivement donnée, et que je nonuiiciai la f(we dcterminunle. de la forme;

”>N, 3^, 2 N, -(- N, faces directement semhlablcs à A;

Une face A' parallèle à A et qui lui est inversement semblable ;

■’)N, -f- 3N, -f- 2 N, faces directement semblables à A' et inverse-

ment semblables à A.

Ainsi toute Ibrmc se décompose en deux demi-formes :

Une demi-forme directe, composée de 1 -f- 5 !V , -t- 3 N. — aN, -t- N, laces toutes directement semblables entre ell«*s ;

Une demi-forme inverse, compost'e d’un pareil nombre de faces, toutes directement semblables enti'e elles, mais inversement semblables aux fac<‘s de la demi-forme directe, et parallèles deux par deux à ces dernières.

Dans le cas où la forme se compos** de plans de clivage, il n’y a plus lieu de distinguer les côtés interne ou externe des faces, et le nombre des plans qui constituent la /orme de clivage est simplement égal

l-a valeur du nombre IV indiquée jwr ré(|uation ( 1 ) se rapporte au cas général où la face déterminante A, qui sert de départ à la forme cristalline, ii’offre aucune jjarticularité de position, relativement aux axes de symétrie; alors la forme sera dite forme oblique.

Dans le cas contraire, il pourra arriver que sur les \ faces qui composent la forme oblique, deux ou pliisieurs se confondent en une seule. t.e nombre M se réduisant alors à l'un de ses sous-multiples, il se produit une forme restreinte, moins riche «‘n faces <|ue la forme oblique, mais dont la symétrie «“st néanmoins tout aassi complète. Je reviendrai sur ce sujet dans le § VI.

V’ IV . — De la dérivation des faces et du choir des a.res coordonnes .

La surface extérieure d’un cristal appartient quelquefois à une seule forme cristalline, mais, le plus souvent, à deux ou plusieurs formes dilférentes. Une face d’une forme étant donnée, toutes les autres faces de la forme en cMultent ; mais cela ne nous apprend pas quelles sont les autres formes

ÉTUDES CBISTALl.Or.HAPHKjUES. I 1 I

ljui ont pu s’asso<-ier à la precedente, pour contribuer avec e-lle à clore le cristal.

Il existe, à cet égard, certaines règles auxquelles la nature se plie, et qui permettent «le faire dériver toutes les faces et formes [«ossibics «lu cristal, une fois que l’observation a fait connaître, pour cha«]ue espèce minérale, certaines constant«-s qui lui sont propres.

Cette dérivation des faces a été jusqu’ici obtenue, soit par la méthode des «lécroissements ou méthode moléculaire, soit par la méthode des troncatures rationnelles ou métho«le géomi-trique.

Dans la première méthode, due à Bergmann et Haüy, on choisit un certain parallélipipède comme noyau «lu cristal, et l'on assemble face à face ces |>arallélipipèdes de manière à produire des lames qui se superposent, chaque lame reculant sans cesse de la même quantité sur l«»s bords «le son contour, [wr rapport à celle qui la précède. Dans chaque lame, l’apposition des parallélipipèdes produit des files parallèles qui sont également placées en retrait l’une par rapport à l’autre. Les dimensions du noyau sont les consbuites qu’il s’agit de déterminer une fois pour toutes, et il ne reste plus «ju’à faiir varier les lois d'apposition de ces parallélipipèdes que Haüy avait désignés sous le nom de nwlécules soustmetives, p«Mir obtenir toutes les faces possibles du cristal. On démontre que, dans ce cas, tout plan parallèle à la face «jui passe par les sommets restés exempts d’appositions latérales, tron«|ue les trois ar«'tes de l'un d«^ angles du noyau suivant des segments pro|)ortionnels à certains sous-multiples simples des longueurs primitives des arèt«?s. (Vest l’ii faisant varier les rapports de ees sous-multiples entre eux que l’on obtient toutes les faces possibles.

Dans la méthode des troncatures rationnelles, on choisit trois droit«'s se «•-oupant au même point, dans l’intérieur du cristal, et sur ces «Iroites on porte trois longueurs «i, b, d nommées paramètres. Les grandeurs a, b, d et les angl«»s qui fixent leur position relative sont les constantes spi'ciliques que l’observation doit faire connaître; elles restent les mêmes pour tous les échantillons d'iuie même espèce minérale, mais varient d’une espèce à une autre espèce ; ces droites, désignées en général sous le nom d'axes cristallographiques, sont le plus souvent des axes de sjmélrie du cristal. Alors la loi «le dérivation des faces j)eut être énoncée de la manière suivante ; « Prenez.

I I ÉTUDES CRISTALLOGHAPHIQUES.

H sur les axes drs lonj^ueiirs resppctivemeiil égales a

a ", h, k «Uaiit des nombres entiers susceptibles de devenir négatifs dans le K cas où le segment devrait être compte en sens inverse du paramètre; le a plan mené par les trois extrémités de c»s segments sera l'une des faces (( possibles du eristal. »

Si l'un des nombres g, h, k devenait nul, le segment eorrcspotidant deviendrait infini, et le plan de la face serait parallèle à l’un des trois axes.

La face est alors désignée par la notation syinboli(|iie {ghk). Ainsi la loi de dérivation des faces consiste dans la variation illimitée des nombre^ entiers g, h, k qui sont a|)pelés les caractvristiijiies de la face.

Non-seulement ees deux modes de dérivation coincident quant aux résultats; mais, en outre, ils sont évidemment identiques avec le mode de dérivation de nos plans réticulaires. En efiét, un Assemblage étant rapporté à trois Rangées conjuguées comme axes, et a, h, d étant les paramètres de ces Rangées, ré(|uation générale des plans réticulaires est, en coordonnées linéaires.

g, It, k étant les trois caractéristiques du plan réticulaire (ghk). Si donc nous faisons coïncider les axes coordonnés de notre .Assemblage, avw les axes cristallogiapliiques des minéralogistes allemands, si de part et d’autre nous prenons les memes paramètres, et si nous assignons à g, h, k les mêmes va-

leurs, le plan de l’équation (u) qui coupe les axes aux distances ^ h, j d

de l’origine, coincidera, quant à sa direction, avec la face «pii a pour symbole (ghk.) dans le système des troncatures rationnelles.

.Ainsi nos plans réticulaires de symbole (ghk) sont précisément les plan^ stVants à troncatures rationnelles de la cristallograpliie allemande, plans auxquels MM. Frankenlieim, Wliewel et Miller ont assigné la même notation svmboliquc (ghk)', ce sont aussi les faces de «lécrois.sement de la théorie d’Haüy. M. Miller a représenté, en outre, par le symbole \ghk\ l’ensemble de toutes les faces qui s’associent à la face (ghk) pour constituer une forme

ÉTI DKS CHISTAI.I.OC.RAPHIQUKS. I I .J

complète dans un système cristallin désigné d’avance. Nous conserverons cette notation, qui sera l’expression abrégée des symboles des N faces qui composent la fonne (wj-cz ci-dessus, page loH).

Je représenterai aussi avec M. .Miller par * j la demi-forme directe correspondant à {(’hk), et par x{^'/<Jt'|sa demi-forme inverse.

Il convient maintenant de faire, dans cliaeun de nos sept sy.stèincs cristallins, un choix convenable des axes coonlonnés auxquels nous devrons rapporter les faces des cristaux. Nous adopterons, autant que cela sera po.ssible, trois des axes de symétrie du système. Toutefois cela n’est pas indispetLsable, et M. Miller a décrit le système ternaire (système rliomboédrique), en prenant pour axes coordonnés les arêtes du rhomboèdre générateur, lignes cpii ne sont point des axes de symétrie du cristal.

Dans tous les systèmes cristallins, sauf le premier et le dernier, il existe au moins un axe de symétrie principal i^ voyez le tableau de la page q3 du -Mémoire sur les Systèmes de points).

Je supposerai toujours cet axe placé verticalement, et je le prendrai pour axe des ordonnées linéaires et di-s ordonnées numériques z tpii leur correspondent. Dans le système terquaternaire, où il existe trois axes (juaternaires, l’un d’eux, arbitrairement choisi, sera considéré comme étant l’axe des Z.

Lorstpi’il -SC présentera plusieurs modes cristallins dans un même .système, on se guidei-a, pour le choix des axes, sur la convenance du mode hexaédral, dont tous les autres modes dérivent ensuite avec facilité par des centrages convenables, et qui offre, de plus, cette circonstance remarquable, f(ue les trois arêtes de sou hexaèdre géiiéi-ateur sont des Rangées conjuguées de l’Assemblage.

Dans le cin(|uième sy.stème, qui renferme deux modes hexaédraux, l’un à base rectangle, l’antre à base rhombe, c’est le mode à base rectangle qui devra servir de point de départ.

Système terquaternaire. — On prendra pour axes coordonnés les trois arêtes du cube servant de noyau au mode hexaédral. Les axes des x,y, z sont alors rectangulaires entre eux; les trois paramètres sont égaux et représentés ]>ar a, a, a. l.es axes coordonnés sont les axes quaternaires de l’.\ssemblage.

Nous verrons bientôt qu’on peut substitueraux axes quaternaires les quatre

XXXtV' Olhirr. , l5

Il4 éniDES CRJSTALLOCRAPHIQÜES.

axes ternaires de l’Assemblage; mais cette substitution ne devra se faire qu’exceptionnellement, attendu qu’elle mène en général à des résultats moins simples.

Système sénaire. — f.es memes axes que pour le système ternaire qui en dérive par le procédé indiqué à la page yS de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

Système quaternaire. — Les trois arêtes du prisme droit à base carrée, qui forme le solide générateur du mode liexaédral, seront pri.ses pour axes coordonnés. On prendra, pour axe des s, l’axe quaternaire; pour axes des .V et des y, les deux axes binaires de première espèce; les paramètres sont «, a, d, sur ces axes. f,e paramètre des axes de seconde espece est a

Système ternaire. — On peut, avec M. .Miller, prendre pour axes coordonnés les trois arêtes du rhomboèdre générateur.

On peut appliquer ce même système d'axes au système sénaire qui en dérive, puisque les plans réticulaires sont les mêmes de part et d’autre.

Toutefois, il faut remarquer que les douze faces, qui, réunies, constituent la forme la. plus générale ùw système ternaire (voyez Cristallographie, de Miller, trad. française, pagc77),nereprésententpas la forme complète dusystème sénaire : pour obtenir les douze autres faces, on doit faire tourner de i8o degrés les faces de la forme {g'/zX-j autour de l’axe sénaire.

Dans le système de M. Miller, les axes coordonnés étant parallèles aux arêtes du rhomboèdre générateur, on trouve facilement que le plan {ghk), tournant de 180 degrés autour de l’axe de symétrie ternaire, vient coïncider avec un plan réticulaire de notation {g' k' k'), g' ,li' , k' étant des nombres entiers déterminés par les formules suivantes [Cristallographie, § i 33 ) :

Ig — h -i- ^k = h', o.g-h^h— k — k’\

ainsi les formes à douze faces \ghk\, \g' h' k'[ s’associeront entre elles pour constituer la forme la plus générale du système sénaire.

Mais il est préférable, comme nous le dirons bientôt, de prendre pour axe des s, dans les systèmes sénaire et ternaire, l'axe principal du système, et

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I I *1

pour axes des ,v et des j, deux des trois axes binaires de première espèce qui se croisent à son pied dans le plan qui lui est normal : le paramètre de l’axe des 2 est alors égal à d ; celui des axes des x et des >• est égal à a.

Système terbinuire. — On prendra pour axes les trois arêtes du (larallélipipède rectangulaire qui forme le solide générateur du mode hexaédral re»‘tangle. Les axes coordonnés coïncident alors avec les trois axes de symétrie, et sont, en même temps, des Rangées conjugées de ce mode cristallin. I,es paramètres sont inégaux, et rejirésentés par a, b, d ; l’axe des 2 est supposé vertical, et considéré comme étant l’axe principal du système.

Système binaire. — On prendra pour axe des z l'axe binaire, et on !<■ placera verticalement. Cet axe est une des arêtes du prisme droit qui, dans le mode hexaédral, forme le solide générateur de l'As-semblage; il est donc normal au plan des xy ; son paramètre sera représenté par d. Les axes des x et des y sont deux Rangées conjuguées cjuelconques du Réseau tracé sur ce [)lan ; elles font entre elles un angle égal à S, et leurs paramètres sont égaux à a et à 6 .

Système asymctrie/iie. — Trois Rangées conjuguées quelcont|ues se coupant en un même Sommet peuvent être prises pour axes coordonnés. Les paramètres, sur les axes des x, des i‘ et des 2, continueront à être représentés par a, b, d; les angles plans formés par ces mêmes axes entre eux, sur les plans des yz, des xz et des .ry, par «, p et J; enfin les angles dièdres opposés à ces angles plans par /u, r, <or.

Quoique nous adoptions en général les axes coordonnés dont s'est servi .M. Miller, on verra, dans le paragraphe suivant, que nous nous écartons de la méthode du savant professeur pour les systèmes sénaire, ternaire et binaire.

g V. — Des notations cristallograp/iit/ues.

Nous avons vu que le symbole (gfik) représentait la série des pians réticulaires parallèles, dont l’équation est

ou, plus simplement, en coordonnées numériques, ( 6 ) gx -h hy kz = C.

I I (j ÉTUDES CRISTALI.OOBaPHIQIÎES.

Pour pouvoir distinguer l’une de l'autre la face {ghk) et la parallèle située de l'autre côté du cristal, M. Miller représente cette dernière par ( — g, — h, — X'), ou, mieux encore, par le symbole {g h X); cela revient à supposer que l’origine des coordonnées est située dans l’intérieur du cristal, et que le nombre C est essentiellement positif. Cette convention seni admise dans tout ce qui va suivre.

Le système de notations imaginé par .M. Weiss, et adopté par la plupart des cristallogra plies allemands, consiste à écrire, sous forme de progression géométrique, les trois distances auxquelles la face considérée, ou une de ses parallèles, coupe les trois axes, à partir de l’origine. Ainsi, «, h, d étant les trois paramètres, si le segment intercepté sur l’axe des x est ma, si celui relatif à l’axe des^- est nb, si celui relatif à l'axe des : est pd, la notation de la face sera

ma ; nb : pd.

lîn vertu du principe des troncatures rationnelles, m, n, p sont des nombres entiers ou fractionnaires, susceptibles de devenir infinis, mais jamais égaux à zéro.

L’expression symbolique ci-dessus équivaut à l’équation

ma no pd

Si l'on réduit les trois facteurs — > - au même plus petit dénomina-

rn fi P r r

teur commun C, et si l’on pose

g, k, X étant des nombres entiers dépourvus de commun diviseur, on aura

ce qui nous ramène à la face de symbole (ghk).

Ainsi les trois fonnules

ma : nb \ pd, ~a\'^b: i d, (ghk), sont équivalentes. Mais, quoique la notation de M. Weiss ait été un progrès

ETIIDHS cniSTAl.l.OGRAl’HIQURS.

réel sur celle d’Haiiy, la nouvelle notation est encore préférable, attendu que les caractéristiques g, h, k s’introduisent plus facilement dans les calculs que

leurs inverses * ’ même qu'en trigonométrie, il est plus facile d'o-

pérer sur des sinus et sur des cosinus que sur des cosécantes ou des sécantes.

Je ne parlerai pas des autres notations cristallographiques adoptées par divers auteurs. M. Miller a traité d’une manière complète de ces transformations de notations, dans l’un des chapitres de sa Cristallographie, et je ne puis mieux faire que d'y renvoyer mes lecteurs.

Mais je ne puis passer sous silence les notations à quatre caractéristiques dont remi>loi généralisé peut rendre de grands services au cristallographe. Imaginées d'abord par M. Weiss, dans le but d'appli(]uer ses syndtoles aux cri.staux rhomboédriqiies, elles ont été employées par M. Franlvcnheim, dans un intéressant Mémoire publié par le journal l'Isis, en i8a6.

Dans ce nouveau système, le premier axe ou axe principal des cristaux rhomboédriques est l’axe ternaire de paramètre d ; les trois autres axes sont trois droites situées dans le plan normal à l’axe principal et inclinées l’une sur l’autre sous des angles de 6o degrés ; les paramètres de ces axes sont a, a, a, de sorte que la notation d’une face quelconque est alors

ma ; na : qa : pd,

m, n, étant des nombres entiers ou fractionnaires.

Mais avant d’appliquer ce mode de notation aux systèmes cristallins, il (•onvient de généraliser la définition des caractéristiques donnée à la jiage 3g de mon Mémoire sur les Systèmes de points. caractéristique d'un plan {ghk) par rapport à un axe quelconque, ou Rangée, de paramètre d sera désormais « le nombre par lequel doit être divisé le paramètre d pour obtenir « le segment intercepté sur cet axe par deux plans limitrophes appartenant « à la série (ghk). »

A ce point de vue, la caractéristique g’ relative à l’axe des x est le nombre par lequel doit être divisé le paramètre a pour obtenir le segment qu’intercepte sur cet axe, à partir de l'origine, le plan

gx -H hy -y kz= i ,

et il en est de même pour les caractéristiques h et k.

)|8 KTL’OHS CRISrALLOORAPHIQUF-S.

Soit en général G la caractéristique du plan réticulaire (ghk) par rapport il l'axe qui joint l’origine au Sommet dont les coonloniiées numériques sont (m, rt, p) : il résulte de la solution du problème XXVII (Mémoire sur Us Systèmes de points) que l’on aura

( y) G = gm-^r hn -t- kp.

Si le plan {gkk) est parallèle à la Rangée rnnp, on aura grn 4 - fin -h kp = o,

et la «caractéristique du plan, par rapport à la Rangée prise pour axe rf>ordonné, sera égale à zéro.

Aux trois axes coordonnés nécessaires pour fixer la position des points, lignes ou plans de l’Assemblage, rien n'empèche de joindre un (|uatrième axe coordonné que je nommerai l’ajc au.rilJairc, et qui ira de l’origine au Sommet dont les cordonnées sont ( — i , — i , — i). Je nommerai e le paramètre di- «•e nouvel axe; la caractéristique des plans réticulaires par rapport à ee même axe sera en général représentée par la lettre l, l’ordonnée numérique des Sommets rapportés à cet axe sera désignée par s. 11 conviendra de remplacer le symbole (gfik) par le nouveau symbole (ghkl), et l’équation du plan réticulaire limitrophe à celui qui contient l'origine piourra s’écrire indifféremment

gr-f-hy-^ kz=i, gx-hfiy-i- Is = i , gx -h kz -h h = 1, hy f- J ; H- Is = i ,

attendu que les axes des .t, des » , des z et des s sont conjugués trois à trois. Rnfin on devra se rappeler que g, h, k, l sont liées entre elles par la relation

(il) g-t-A-t- /■-}-/ — O,

qui est la formule (5y) de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

ÉTUDES CRISTAI.I.OC.BAPHIQUES. 1 1 ç|

Au lieu de prendre pour axe auxiliaire celui qui aboutit au point ( — I, — I, — i), on peut choisir la Rangée allant de l’origine au point { — I , — I , o), nommer c le paramètre de ce nouvel axe, t les coordonnées des Sommets mesurées parallèlement à cet axe, et i les caractéristiques ties plans réticulaires par rapport à ce même axe. Alors il conviendra de remplacer le symbole par le nouveau symbole [ghik), et l’équation du plan réticulaire limitrophe à celui qui contient l’origine pourra s'écrire sous l’une des trois formes suivantes :

j gx 4- hy -h *3 = I ,

(la) I 4- «t + ^'2 = * >

( ky -h it -\-kz = \.

On devra se rappeler que g, k, i sont liées entre elles par la condition (i3) ^ -t- /i -t- i’ = o,

qui est la formule (ai) de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

Les axes des x, des y et des t forment alors trois Rangées conjuguées deux à deux sur le plan des xjr.

Notation à quatre caractéristiques dans le système ter quaternaire. — Lorsqu’on veut appliquer cette notation à ce système, il faut supposer l'Asseinhlage construit d’après le mode hexaédral, et le rapporter .i ses quatre axes ternaires.

Prenons donc pour axes coordonnés quatre Rangées allant de l’origine aux points (i , i , i), (i , i , i), (i , i , i), (i, i, i). D’après les fonnules générales de la transformation des symboles ( problème XXVII ) , le plan {ghk) devient, dans le nouveau système d’axes,

(g y- h — k, g — k, — g k k, — g — k — k) = (GHKL).

La demi-forme directe correspondant à la face (GHKL) se compose alors des vingt-quatre permutations obtenues eu échangeant entre elles les earactéristiques. Kn changeant les signes de toutes les caractéristiques à la fois, on aura la demi-fbrnte inverse correspondante.

ÉTUDES CRISTAI.I.OGHAI>HIQllES.

[,es six faces du cube sont alors représentées par { i i i 1 1,

I,es huit faces de l’octaèdre régulier par { i 1 1 3j,

f ,es douze faces du dodécaèdre rlioniboidal par { i oo i j ,

lies vingt-cpiatre faces du tétrakisliexaèdre par j GUGII ), etc.

\otation h quatre cnraetcrisliqucs dans le système séiiaire. — Prenons l’axe sénairc Os i) pour axe des s, et supposons-le placé verticalement. Parmi les six Sommets de l’hexagone régulier Gi'HG'IIi' qui enveloppe l’origine O sur le plan horizontal, choisissons les trois Sommets alternants G, H, 1 ; prenons 0 (j pour axe des .r positives, OH pour axe des )' positives, et 01 jiour axe auxiliaire, ou axe des coordonnées t : ces lignes sont les axes binaires de première espèce de l’Assemblage, et leur paramètre sera désigné par a.

le symbole d'un plan réticulaire «pielconque sera {ghik) dans ce svsième d'axes, les caractéristiques g, h, i étant liées par l'équation de condition (i 3).

Pour trouver tontes les faces appartenant à la même forme que la face déterminante (gliiJi), on remanpiera (pi’en faisant tourner (ghik) de <>o degrés

autour de O;, en allant de Ox vers 0 y, les segments ■ » ^ passent deOG,

OH, 01 sur les droites Ol', OG', f )H' ; d’où l’on voit <pie l'on obtient ainsi la face (iiigk), et de celle-là on déduira tontes les faces homologues de (ghik) relativement à l’axe sénaire, en faisant passer la première caractéristique au troisième rang, et changeant en même temps les trois premiers signes.

Si l'on fait ensuite tourner (g/iik) de 1 8 o degrés autour de l’axe des .r, on obtiendra la face (gihk),et l’on obtiendrait de même (ihgk), (hgik) en faisant tourner la même face de 1 8 o degrés autour de l’axe des y et autour de l’axe des c; on obtient ainsi le système des homologues de (ghik ) par rapport aux axes binaires de première espèce.

tin obtiendra de même les homologues par rapport aux axes binaires de deuxième espèce.

Xprès avoir obtenu les douze faces delà demi-forme directe, on aura, par un changement simultané de tous les signes, les douze faces de la demi-forme inverse. Le diagramme complet des vingt-rjuatre laces de la forme la plus

ÉTUDES CRISTALUOGRAPHIQUES. lïl

générale du système sénaire sera donc

gh ik

îtigh

gihk

hg'ik

ghik

ihgk

gÛih,

higk

Iglk

hgik

ihgk

ghil

higk

gihk

hgik

= •ghï

ghik

thgk

gihk.

Vigl

ighk

hgik

ihgk

Je reviendrai sur ce sujet, en traitant de l’influence qu’exerce le polyèdre inolceulaire sur la figure des formes cristallines.

Af'otation à yimtrc caractéristiques dans le système ternaire. — On devra, dans le diagramme précédent, conserver parmi les faces directement sem- , blahles à [gkik), celles-là seulement tpii proviennent de rotations de 1 20 degrés autour de l’axe principal, c'est-à-dire (ig/tk) et {higk), et celles qui résultent de rotations de 180 degrés autour des droites OG, OH, OI de la Jig. I , droites qui, dans le systènte ternaire, continuent à être des axes binaires de l’Assemblage.

11 en résulte que, prenant toujours ces droites pour axes des jc, des r et des t, on aura, pour le diagramme de la fonne qui comprend toutes les faces de même espèce que (ghik),

/ ghik

gihk

gihk

1 = ighk

ihgk.

x\gh ik\-=ighk

ihgk.

\ >‘‘gk

hgik

higk

hgik

Ici la forme jg'/'»/') est essentiellement distincte de la forme tgA/AJ. En permutant entre elles les trois premières caractéristiques, il faut remarquer que, si l’on veut rester dans la même forme cristalline, « toute permutation non K circulaire (*) des trois premières caractéristiques doit être accompagnée du « changement de signe de ces caractéristiques ou de la dernière » , et récipro-

(•) Une perroutation entre n lettres . .A/ est dite cireoUire , si, les lettre* étant écriirs

«ux sommets d"uQ polygone de n côtés, on les compte dans leur ordre naturel, à partir de l’une d’elles prise arbitrairement; les permutations circulaires de abat.,, kl sont donc bcH..,kla^ cd. . . klab f etc.

XXXlf^ Cahier. l6

1 22 ÉTUDES CRISTALI.OORaPHIQUES.

M quement, que « tout changement de signe, soit des trois premières carac- « téristiqucs à la fois, soit de la dernière seule, doit être accompagné d’une « permutation non circulaire des trois premières caractéristiques, i II est facile d’en conclure que toute forme du système ternaire peut être représentée par l’expression symbolique jg, h, g -+- h, A-j, dans laquelle g, h, k sont des nombres positifs ou au moins égaux à zéro. La face {g, h, g h, k) sera ilite alors la face déterminante de la forme.

La forme \h, g, g A, A} pourra être appelée la forme hémitropique de la lorme \ g, h, g -i- h, k\, puisqu’on passe de l’une à l’autre par une rotation de i8o degrés autour de l'axe principal, et (A, g', " -f- A, A) sera sa face déterminante.

Une face étant donnée, et son symbole étant {ghk) dans le système d’axes coordonnés adoptés par M. Miller pour les cristaux rliomboédriques, on |)eut demander ce que deviendra ce symbole dans le système des notations à quatre caractéristiques.

Soient [Jig. 2 ) O l'origine, OGa;, OHj, Oit les trois axes coordonnés des X, des jet dest, axes binaires de r.\ssemblage, et XYZ le triangle élémentaire, dans le plan réticulaire le plus voisin du plan GUI. Les droites inclinées OX, OY, OZ sont les axes des x, des y et des z dans le système de M. Miller : je prends Ox, O/, Ot, normales respectivement à OX, OY, OZ. Soient (m, n, p) les coordonnées de G, dans le système de M. INliller,

{/«', rt', p') celles de H,

(m", n", p”) celles de I,

(m"', n" ,p”) celles de l’extrémité de l’axe ternaire normal au plan. Rn joignant ZG, et remarquant que OYZG est un parallélogramme, on trouve facilement

et de même

nt — ”” I y Tl I y y? O y

on a d'ailleurs

TTl ~ 1 y Tl — t y ^ ■■ I •

Donc, d’après les formules générales de transformation, équations (58) de

ÉTUDKS CRISTALLOGRAPHIQUES.

mon Mémoire sur les Systèmes de points, le nouveau symbole sera

(* — h, ér — ^ — èS ^ -t-

ia3

ce que l’on peut indiquer par

(i6) {j^hk) = {k — /i, g — k, h — g, g -h h -h k).

Si l’on eût pris OG', OH', 01' pour axes des coordonnées positives, on aurait eu

Réciproquement, on trouvera facilement qu’à la notation [ghik), dans le système formé par O or, Oj, Ot et l’axe ternaire, correspond , dans le système d'axes de M. Miller, le symbole équivalent

(i8) ± (A — j), k ±: (i— g), k ± (g-— A)) = (g/ùk),

les signes supérieurs se rapportant au cas où les nouveaux axes coordonnés se dirigeraient, en s’élevant au-dessus du plan de la ligure, suivant OX, 0\ , OZ, et les signes inférieurs au cas où les nouveaux axes se dirigeraient suivant OX', OY', OZ'.

Il importe de remarquer que les axes des x et des j ne forment plus ici un système d’axes qui soient conjugués avec l’axe des z ; mais on pourra néanmoins les regarder comme tels, si l’on supprime par la pensée tous les Sommets contenus dans les plans réticulaires parallèles au plan des .ty, et dont le numéro d’ordre n'est pas un multiple de 3 : j’ai démontré (théorème LXIl de mon Mémoire sur les Systèmes de points) que cette suppression ne trouble pas la direction des plans réticulaires de l’Assemblage.

Notation à quatre caractéristiques dans le système binaire. — On continuera à supposer que l’Assemblage est construit d’après le mode hexaédral. L’axe binaire, placé verticalement, sera pris pour axe des z. Dans le plan réticulaire normal à cet axe, on construira un triangle élémentaire OGl' {Jig- i ) . ayant l’un de ses Sommets à l’origine 0. L’un des deux côtés qui embrassent

EH1DES CRISTALLOOBAPHIQUF.S.

l’angle O, le côté OG par exemple, étant pris pour axe des ar, OH parallèle à 01 ' sera pris pour axe des j, et OI prolongement de Ol' pour l’axe auxiliaire. Les trois angles GOH' GOI, HOI seront les suppléments de fXil', GOr, OI'G ; enfin l’on aura

a; = rt, OH = Gl' = h, 01 = Ol' = c.

I>a notation de la face (ghk) prendra la forme (gfiik), à cause de l’axe auxiliaire situé sur le plan des xy.

F..a forme complète correspondant à cette face sera donnée par les formules

gha

ghîk’

x\piik]

g lu i'

Il .sera toujours permis de supposer que est le triangle principal du Réseau; alors les angles GOH, GOI, HOI seront obtus.

De plus, nous admettrons que l’on a

ce qui revient 11 prendre pour axe des x la Rangée de paramètre minimum du Réseau, et pour axe des y celle dont le paramètre est le plus petit, après la pn'‘cédente.

IvOrsqu’on passe de OG à OH et de OH à 01 par une rotation allant de l’est à l’ouest par le sud, je dis que le cristal est droit. Lorsque la même rotation s’effectue de l’est à l’ouest par le nord , je dis que le cristal est renversé ; dans ce cas, il suffira, pour le rendre droit, do le faire tourner de 180 degrés autour d’une droite quelconque située dans le plan des

Ainsi on peut toujours supposer que le cristal est placé dans sa station droite, devant l’observateur qui l’examine : par là, la distinction entre la partie supérieure et la partie inférieure du cristal deviendra facile à établir.

J'admettrai encore que le cristal est aiasi tourné autour de son axe O s vertical , que la ligne OGa: soit dirigée vers l’est, c’est-à-dire de la gauebe à la droite du spectateur supposé regardant vers le nord (*): le plan vertical mené suivant Hl' aura alors pour symbole (01 10), et fera face au spectateur ;

(•) C'tHl U supposition que Ton adopte dans roricnlation des cartes de géographie.

ÉTUDES r.RISTAU.OGBAPHlQUES. 125

il y aura presque toujours dans le cristal une face bien développée, dirigée parallèlement à ce plan.

L’axe des y positives sera alors renfermé dans le quadrant sud-ouest, et l'axe auxiliaire dans le quadrant nord-ouest.

Ces conventions facilitent l’étude des cristaux du système binaire.

Elles sont pareillement ajtplicables aux cristaux des systèmes sénaire et ternaire, et je supposerai toujours que la face (oi lo) fait face au spectateur dans les cristaux de ces systèmes : toutes les faces de la forme (oi i Â) regarderont pareillement le spectateur, quoique n’étant pas verticales.

§ VI. — Des formes restreintes et du nombre de leurs faces.

Je nommerai forme parallèle une réunion de faces de même espèce assujetties à être chacune parallèle, soit à un même axe de symétrie du système, soit à des axes différents, mais de même espèce; il suffit que l'une des faces de la forme soit parallèle à un axe de symétrie pour que la forme soit parallèle. Dans le cas où l’axe auquel la face est parallèle serait d'ordre pair, celle-ci sera en même temps perpendiculaire sur le plan de symétrie qui est nonnal à cet axe dans l’Assemblage; la fornte sera dite alors forme orthoparallèle.

Je nommerai forme normale une forme dont chaque face est assujettie à être normale à l’un des axes d’une même espèce : une forme normale peut être en même temps parallèle à un axe, soit d’ordre impair, soit d’ordre pair; dans ce dernier cas, elle sera désignée sous le nom de forme normale orthoparallèle.

Formes parallèles. — Si l’axe auquel la forme est parallèle est un axe d'ordre impair, la forme conserve toutes ses faces. La forme j g’/noj dans le système ternaire, la forme jg’. A, g'i/e) dans le système terquateriiaire, offrent cette circonstance. Si donc on nomme y le coefficient de réduction du nombre des faces, on a, dans ce cas particulier,

(ui) y=i.

Si 1’ axe auquel la forme est parallèle est un axe d’ordre pair, c’est-à-dire si la forme est orthoparallèle, en faisant tourner (ghk) de i8o degrés .autour de cet axe, la face [g' li k') ainsi obtenue est à la fois directement sem-

laG ÉTi DES cbistai.i.O(;hai*iiiques.

hiable à (ghk) par rapport à cet axe, et inversement semblable à {gfik), comme lui étant parallèle. Ainsi la demi-forme directe et la demi-

forme inverse x \gkk\ coïncident, le nombre des faces devient moitié moindre et l’on a, pour les formes ortiioparallèles,

Gela résulte d'ailleurs du théorème LXXXIX de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

Voici la liste dis formes orthoparallèles dans les différents systèmes cristallins.

Systèrm; ten/uaternaire : deux espèces d'axes d’ordre pair; deux espèces de formes ortiioparallèles.

Forme parallèle aux axes quaternaires; son .symbole général est j^/ioj; tétrakisliexaèdre des minéralogistes.

Forme parallèle aux axes binaires; son symbole général est j^AAj ou IggA]; triakisoctaèdre des minéralogistes, comprenant, comme simple variété, le trapézoèdi-e.

(ies deux formes sont à vingt-quatre faces.

I «a forme { U, g ±h\ est parallèle aux axes ternaires ; le |M)lyèdre terniiiié par toutes les laces de la forme est alors iin solide à quarante-huit faces.

Système sennire : trois esfièces d’axes d’ordre pair ; trois espèces de formes orthoparallèlcs.

Forme parallèle à l’axe .sénaire; son symbole général est \ghio |; prisme dodécaèdre indéfini.

Forme parallèle aux axes binaires de première espèce; son symbole est [gog'X'l; birhomboèdre de première espèce des minéralogistes.

Fonne parallèle aux axes binaires de deuxième espèce; son symbole est I g g %gk j ; birhomboèdre de deuxième espèce des minéralogistes.

(^es trois formes sont à douze faces.

Système quatenuiirc ; comme dans le système précédent.

Forme jiarallèle à l’axe quaternaire; son symbole général est jg/ioj; prisme octaèdre indéfini.

ÉTUDES CRISTALLOOKAPHIQUES. I •1’^

Forme parallèle aux axes binaires de première espèce ; son symbole est I gok j ; quadratoctaèdre de prenuère espèce des minéralogistes.

Forme parallèle aux axes binaires de deuxième espèce; son symbole est \ggk\-, quadratoctaèdre de deuxième espèce.

Ces trois formes sont à huit faces.

Système ternaire : une seule espèce d’axe d’ordre pair; une seule espèce de forme orthoparallèle.

Forme parallèle aux axes binaires ; son symbole est t gogk j ; rhomboèdre des minéralogistes.

Cette forme est à six faces, tandis que la forme générale en a douze.

I.a forme | ghie> 1 est parallèle à l’axe ternaire; elle doit donc avoir douze iàces; c’est le prisme dodécaèdre des minéralogistes. Mais le solide résultant se distingue du scalénoèdre, qui est la forme oblique la plus générale, en ce que ses douze faces sont toutes parallèles à l’axe ternaire.

Le scalénoèflre comprend aussi comme cas particulier la forme birhomboédrique \ggigk\, qui n’est pas une forme parallèle, dans le système ternaire, et qui d’ailleurs embrasse douze faces.

Système terhinaire : trois espèces d’axes d’ordre pair; trois sortes de formes orthoparallèles.

La forme parallèle à l’axe des x a pour symbole |o/(X j; celle parallèle à l’axe des >■ a pour symbole jg-oX-j; celle parallèle à l’axe des z a pour .symbole IgXoj : prismes rhombes indéfinis.

Système binaire; un seul axe d’ordre pair; une seule forme orthoparallèle.

Forme parallèle, de symbole jg/tioj, consistant en deux faces parallèles entre elles et à l’axe de symétrie du système.

Lorsqu’une face orthoparallèle est en même temps parallèle à un axe d’ordre impair, cette deruière particularité ne modifie pas le nombre des faces de la forme.

Lorsqu’une face orthoparallèle est en même temps parallèle à un autre axe d’ordre pair, alors en vertu du théorème XII de mon Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique (*), la droite normale au plan des deux

(*) Journal de Mathémntifjues pures et appliquées t tome XIV.

laK ÉTi'DEs cristah.O(;iui'hiqijes.

axes d'ordre pair sera nécessairement un axe de symétrie de l’Assemblage, et la forme, étant perpendiculain; à cette droite, sera une forme normale.

l'orwes normales . — Soit l'axe auquel la forme est normale, et soitQ le

nombre des axes de son espèce, dans l'Assemblage.

.le supposerai d'abord qu’il ne passe aucun plan de symétrie par cet axe. Au moment où la (ace {j^hk) devient normale à I/, scs q — i homologues par rapport à cet axe se confondent avei’ elle (théorème \(i de mon Mémoire sur les Systèntes de points) : d’oii l’on voit que le nombre total des N

faces se ré<luit de N à — • On a donc, pour les formes normales,

la*s demi-formes directe et inverse restent distinctes; le nombre des faces

lie chacune de ces demi-formes est égal à - — •

Avant de jwsser outre, remarquons (jue le nombre des faces de la forme normale peut aussi s’exprimer par aQ; car, à chaque axe L* correspondent une face telle que (g'/'A') et une autre face qui est son inverse et qui lui est parallèle : d’où l’on déduit l’équation

et, par suite, le théorème suivant :

Théorème III. — Le numéro d’ ordre d' un axe qui n'est contenu dans aucun des plans de symétrie d'un Assemblage donné, étant multiplié par le nombre des axes de son espèce, donne un produit constant égal à la moitié du nombre des faces d'une forme oblique.

Lorsqu’un plan de symétrie P passe par l’axe L*, la normale à P est un axe d'ordre pair faisant un angle de 90 degrés avec L’; donc alors la forme normale à L’ est en même temps parallèle à un axe d'ordre pair, c’e.st-à-dire orthoparallèle.

Dans ce cas, non-seulement le nombre -j N des faces de chacune des demitonnes directe et inveree devient égal ù mais, de plus, ces deux demiformes viennent se superposer, de sorte que le nombre total des faces

iriDES CRISTAU.Or.RAPHIQUES.

On a donc, pour les formes normales orlhoparallèles,

Comme le nombre des faces de la forme est encore ici égal à aQ, on en déduit ce nouveau théorème :

Théorème IV'. — Si l'on multiplie le numéro d'ordre d'un axe contenu dans un plan de symétrie de l' Assemblage par le nombre des axes de son espèce, on obtient un produit constant, égal au quart du nombre des faces (f une forme oblique du système.

Les équations (21), (22), (aS) et (a 4 ) résolvent complètement le problème <le la réduction qu’une forme restreinte peut éprouver dans le nombre de ses faces.

V oici l’énumération des formes normales, dans les dillérents systèmes cristallins. A l’exception de la forme normale aux axes binaires dans les systèmes ternaire et binaire, elles sont toutes orthoparallèles.

Système ter quaternaire : trois espèces d'axes ; trois formes normales.

Forme normale aux axes quaternaires, de symbole { 1 00 j ; cube.

Forme normale aux axes ternaires, de symbole f 1 1 1 1 ; octaèdre régulier.

Forme normale aux axes binaires, de symbole j 1 10 j ; dodécaèdre rhomboidal.

Système sénuirc : trois espèces d’axes ; trois formes normales.

Forme normale à l’axe sénaire, de symbole (oooi j ; deux faces parallèles, ou bases.

Forme normale aux axes binaires de première espèce, de symbole 1 1 1 20 j ; prisme hexaèdre de deuxième espèce.

Forme normale aux axes liinaires de deuxième espèce, de symbole jioi oj; [)risme hexaèdre de première espèce.

Système quaternaire : trois espèces d’axes ; trois formes normales.

Forme normale à l’axe quaternaire, de symbole {001 j; deux faces parallèles, ou bases.

Forme normale aux axes binaires de première espèce, de symbole j 100) ; prisme carré de première espèce.

Forme normale aux axes binaires de deuxième espèce, de symbole { 1 1 o j ; prisme carré de deuxième espèce.

xxxtn Cahur. i;

I 3o ÉTUDES CBISTAI-I.OT.RAPHIQUES.

Srstcme ternaire ; deux espèces d’axes; deux formes normales.

Forme normale à l'axe ternaire, de symbole |ooo i j ; deux faces parallèles, ou bases.

Forme normale aux axes binaires, de symbole 1 1 1 20 j ; prisme hexaèdre de deuxième espèce.

[.a forme jioioj n'est pas une forme normale, mais simplement un cas particulier de la forme parallèle jgrog^Aj, (pii est un rhomboèdre; c'est le (irisme hexaèdre de première espèce.

Système terhlnaire ; trois espèces d’axes; trois formes normales.

Formes nornmies aux axes de première, de deuxième et de troisième espèces, avant pour symboles jiooj, |oioj, jooi j, suivant l’axe atupiel elles sont normales ; la forme est à deux faces parallèles.

Système binaire : une seule espèce d’axe ; une seule forme normale.

Forme normale à l’axe binaire, de .symbole |ooo 1 ) ; elle consiste en deux faces parallèles, bases du cristal.

g \'II. Application de Ut théorie des Assemblages polaires à la méthode

des zones.

Définitions. — Les cristallographes entendent par zone un système de fiices parallèles à une même droite, (jue l’on désigne sous le nom d’o.re de zone : en d’autres termes, une 7.one est l’ensemble des plans rctic.ulairtts passant par une llangi^ déterminée de l’Assemblage.

Le plan qui contient les normales abaissées, à partir d’un point pris arbitrairement dans l’intérieur du cri.stal, sur les faces composantes de la zone, se nomme le plan du cercle de zone ; il est normal à l’axe de zone. Prolongé jusqu’à la surface de la sphère de projection dont le cristid est censé occuper le centre, ce plan la coupe suivant un grand cercle rpii a rcr-u le nom de ctrrle de zone, et qui contient les pcMes des grands cercles de toutes les faces composantes. Chacun de ces pôles est le point d’intersection de la sphère avec la normale abaissée du centre du cristal sur la face, et prolongée indéfiniment : on le nomme le pôle de la face.

Nous supposerons que le centie de la sphère de projection est un des Sommets de l’Assemblage. Ce Sommet sera pris pour origine des coordon-

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l’$l

nées ; il sera aussi l’origine des coordonnées de i’.\sseniblage polaire qui correspond à l'Assemblage donné.

On imaginera construit cet .\sseniblage polaire dont les propriétés prineijiales ont été exposées tians le § VI de mon Mémoire sur les Systt-mes de points. On devra se nijipeler <|ue tout plan normal à la Rangée nmp a pour symbole [(wn/.>)|, et que toute droite nonnale au plan réticulaire a pour symiiole [g’/iA-j.

On démontre alors facilement les tbéorèmes .suivants ;

Théorème V. — Tout ave (te zone est une Rangée de l’ Assemblai’e <jiii constitue te cristat.

C’est une conséquence des corollaires du théorème XXXI de mon .Mémoiie sur les Systèmes de points. Ordinairement les axes de zone sont en même temps des arêtes du cristal.

Théorème \ I. — 7'uut cercte de zone est un ptan rvticutaire de t\-/ssemtdage polaire, et réciprofpiement .

Car le cercle de zone est normal à l’axe de zone; donc il appartient à l’Assemblage polaire dont il est l’un des plans réticulaires. (ThéorèmeCVll, Mémoire sur les Systèmes de points.)

Théorème Vil. — Si un axe de zone a pour symbede ghk, son cercte de zone aura pour symbole |

(i’est encore une conséquence du théorème CVll. On voit que les deux symboles de l’axe de zone et du cercle de zone sont formés des mêmes canictéristiqnes.

Une zone est déterminée, lorsqu’on connaît le symbole de son axe de zone, ou, ce qui revient au même, celui de son cercle de zone.

Problème 1. — Déterminer une zone dont on connaît deux faces (ghk), (g'h'k').

C’est trouver son axe de zone w/y?, ou son cercle de zone | (w/i/;) |.

Puisque le jioint (m, n,p) doit appartenir aux deux faces (ghk), {g'h'k').

on a

gm hn -h kp ~ O, g'm ■+■ Un s- k' P = O,

d’où l'on déduit

J 32 ETUDES CBISTALLOORAPHIQVES.

D est le plus grand diviseur commun des trois numérateui's. Ainsi le symbole du cercle de zone sera [(AA-' — M', kg' — gk' , gh' — hg')\y et l'on se rappellera que l'on doit supprimer les facteurs communs aux trois caractéristiques.

Problème II. — Déterminer une face, sachant quelle appartient à dent zones dont les a.ces de zone sont mnp, m'n'p'.

Soit {ghk) le symbole de la face; on aura, pour la déterminer, It's deux équations

gm -h lin -j-kp =o, gni' -+- hn' kp’ = o ;

d'où l'on déduit

(aC)

fim' — mp'

mn' — nm'

ce sont les équations (35) de mon Mémoire sur les Systèmes de points. Le symbole de la face pourra s’écrire («/>' — pn' , pm' — nip', mn' — nm'), |K)urvu qu'on ait le soin de supprimer les facteurs communs aux trois caractéristiques .

Problème III. — Une face étant dans la meme zone que les faces (ghk), (g'h'k'), et dans la meme zone que les faces (g" h" k"), (g'" h'" k"'), on demande de déterminer ses caractéristiques.

L’axe de la première zone aura pour symbole

hk'-kh',kg'-gk',gh'-hg'i

l'axe de la deuxième zone aura pour symbole

et, en prenant les différences entre les produits croisés, on aura le symbole de la face.

Théorème VIII. — Le plan réticulaire (ghk) qui, passant par l'origûie, contient les Rangées mnp, m'n'p', contient aussi toutes les Rangées dont le symbole est de la forme jm j'm', jn -f- j'n', jp -H j'p', J et j' étant deux nombres entiers quelconques.

Car, puisque le plan (ghk) contient les Sommets (/«, n, p), (m‘, n', p').

ÉTCDF.S CRISTAI.I.OGBAPHIQUES.

on a

gm hn -k- kp = O , gm' -t- hn' -4- kp' — o ;

donc aussi

donc ce plan contient le Sommet dont les coordonnées sont jm 4 - }' ni , jn 4 -y'«', jp -^j'p-

TnéoRÈME IX. — Réciproquement, le symbole de toute Rangée MNPj/tuée dans le plan réticulaire qui contient les Rangées innp, tn'n' être

mis sous la forme mj -+- m'j', nj 4- n' j', p] 4- p' ], j et ]' étant deux nom- > lires entiers convenablement choisis.

Elu effet, soit pris arbitrairement une Rangée quelconque m" n" p" extérieure au plan donné, et posons, pour abréger,

mn' p" — mp' n" 4- pm'n” — nm' p" 4- np' m" — pn'm" = {nin p"), nui — nni = [mn'), (nm " — mn") = (nm"), (m' n" — n' m”) = (in n"),

pm' — mp'= (pm'), mp" — pm" = (mp"), (p' m" — ml p")= (p'm"),

np' — pn' (np') , (pn" — np") = (pn"), (n p" — p'n") = (n' p").

On a identiquement

^ m{n'p“) + m' (pn") + m" (np')

. m(p'm'’) + m'(mp'')y.m''{pm')

(Tiiirp) «

, m(m'n'')4-m'(nm")4-m'(mn') J,

Développons, par rapport à m, m', m", en remarquant que l’on a M (np') ■+■ N (pm') 4- P (mn') = o,

attendu que la Rangée MNP est située dans le plan donné, et posons en outre M (n'p") -+- N (p'm") -^P(m'n") =y,

M (pn") 4 - N (mp") + P (nm") = J';

il vi<‘ii(lia

ËTl'DES CRISTALLtXiRAPHlQtJES.

Kji opérant de même sur les caractéristiques N et P, on trouvera

»/ + »'/' (map”) ’

P /’/jt- P'f .

donc la Kangée qui a pour symbole mj -t- m' j' , nj -i- n'j', pj i p' j' ne dilléreia pas de la Rangée iMXP, et l’on passera de ce dernier symbole au précédent par l’introduction du facteur commun (nui p").

I’robi.Èmk IV . — Trouver toutes les Itangées contenues dans le plan (ifld). Soit MNP une telle Rangée ; on aura l'équation de condition

i]ui exprime que le Sommet (M, N, P) appartient au plan.

Si l’on a deux .solutions distinctes (m, n, pj, (m', n , p') de l’équation ci-dessus, toutes les autres solutions seront, en vertu du théorème préct'dent, contenues daiLs les formules

I Vl = jm 4- j' m',

N = jn -f- j' n’ ,

/ et /' étant deux nombres entiers arbitrairement choisis.

Probi.éme V. — Trouver toutes les faces contenues dans la zone mnp. (l’est trouver dans l’Assemblage polaire toutes les Rangées contenues dans le cercle de zone [(;«/(/;) j.

Soit [GHK ] une telle Rangée; on doit avoir la relation G/« -f- H« 4- K/J = O.

Si l’on a deux solutions de l’équation ci-dessus, c’est-à-dire deux faces (ghk), (g'h'k'j appartenant à la zone mnp, toutes les autres solutions seront

ÉTl'nES CRlSTAtaOr.HAPHIQÜES. l'I'J

iloiiiiées par les (brnniles

W=jk-^fk\

j et /' étant deux nombres entiers convenablement clioisis.

Tiiéouème X. — Toute Ilangéc MXP satLsJ'aisunt à finêgnlité

peut e'tre considérée comme fournie par C intersection de dctt.r plans réticulaires distincts, dont l'un contient les Rangées mnp, m'n'p', t autre les Rangées m*'n''p*', m”'n"'p"', ces quatre Rangées étant telles que les sommes de carrés, ni’ -f- n’ p’, m" n'* + p'*, m*'’ + n"’ -+- p'% m*" -t- n”’ -H P*’, soient toutes les quatre inférieures à la somme

Premier cas. — Aucune des caractéristiques n’est égale à zéro.

Alors la Rangée MXP est située dans le plan contenant les Rangées MX o et ooi ; car, en faisant ./ = i , j' — P (solution du problème IV^), on trouve le symbole MNP.

De même la Rangée MNP est située dans le plan qui contient MoP, oio, et aussi dans le plan qui contient oNP, loo; ces deux plans, ainsi que le précédent, sont essentiellement distincts. De jilus, les sommes des carrés des caractéristiques sont évidemment moindres que M’ -t- N’ -4- P’.

Deuxieme cas. — Une des caractéristiques est égale à zéro ; les autres surjiassent l’imité en valeur absolue.

.le supposerai que la troisième caractéristique soit nulle, et que le symbole de la Rangée donnée soit MX’o. La solution qui convient au cas précédent devient alors illusoire, et l’on devra opérer de la manière suivante :

On prendra pour premier plan réticulaire contenant la Rangée donnée MNo, le plan des xy, lequel contient les Rangées oio et i oo.

On prendra pour second plan réticulaire celui qui contient les Rangées Mol et o N I ; en ajoutant deux à deux les caractéristiques, on retombe sur MN o, ce qui sufTit à prouver que cette Rangée est contenue dans ce plan (théorème VIH). Les sommes M’ -j- i , N’ -h i sont d'ailleurs inférieures

ÉTLIUES cristali.ocraphiqi:f,s.

il 31 ’ -t- N’, sauf dans le cas où l’une des caractéristiques serait égale à ir i , cas que nous allons examiner en dernier lieu.

Troisième cas . — Une des caractéristiques est égale à zéro, une autre à ± i . Supposons que l’on ait N = d: i ; on |>ourra, si M est négatif, changer les signes des trois caractéristiques, ce qui est toujours permis : ainsi, dans

M lo, M pourra toujours être réputé positif, sans nuire à la généralité de la démonstration. En outre, on posera M = i -i- M', .M' étant un nombre entier positif et nécessairement plus grand que zéro.

On continuera à prendre pour premier plan l'étieulaire le plan des .rv;

on prendra ensuite pour deuxième plan réticulaire, distinct du précédent,

celui qui passe par 31 ' i i et par loi. (ie plan contient la Rangée M lo: on le voit eu .ajoutant deux à deux les caractéristiques de même rang. f)r, puisque .M'-r- i = 31 , on a

Donc les quatre sommes des carrés des caractéristiques seront inférieures

Enfin, lorsque . 31 ’ -i- N* -H P’ est égal à 2, ce qui arrive loi-sqiie l’une des caractéristiques est nulle, elles deux autres de valeur absolue égale à i, la somme des carrés des caractéristiques n’est plus susceptible d’un abaissement ultérieur.

C oroUairc. — De même que l’on pinit faire dériver la Rangée 31 NP de (juatre Rangées à caractéristiques plus simples, par les intersections des plans qui contiennent ces dernières Rangées, de même on jieut faire dériver ces dernières d'autres plus simples encore, jusqu’à ce qu’on arrive à celles dont la somme des carrés des caractéristiques est égale à i ou à 2, c’est-àilire aux Rangées 100, 010, 001 qui sont les trois arêtes du parallélipipède générateur de l’Assemblage, ou aux Rangées 1 10, 110, 101, 101,011,011, qui représentent les diagonales de ses faces.

TnéoRÈMF. XI. — Toute face [G\\V^) satisfaisant h !' inégalité G’4-H’+K’> 2,

peut cire déterminée par T intersection de deux zones distinctes, dont t une contient les faces {ghk), {g'fik'), l'autre les faces {g”lTk"), [f“lTk’"),

ÉTLIIJES CRISTALI.OfiRAl’HIQl’ES. I 3^

telles </uc les sommes g’ 4- h’ k’ , g'’ -t- h'’ -+- k'’, g"’ -t- h"’ H- k"”, g^’-H k"’ soient, toutes les quatre, mohulrcs que («’h- H’ -H K’.

C’est une coaséquenee du tliéorènie X. I^a normale à la face (GHK.) est la Rangée de symbole [GHK] dans l’Assemblage polaire; on peut lui substituer deux plans réticulaires contetiant tous les deux [GHK], et, de plus, passant l'un par |g'/(A-|, l’autre par [g'"'/("'Â-"'], les quatre

sommes des carrés des caractéristiques de ces Rangées étant moindres qu»* celle relative à la Rangée [GlIK]. Ces plans réticulaires représentent les deux cercles de zone qui contiennent, l’un les normales aux faces (GHK), (g/(/‘), {g' It'l'), l’autre les normales aux faces (GHK), It" li"k'") : «lonc (GHK) appartient à la fois à ces deux zones, et peut être déterminé |>ar leur intersection.

Corollaire. — De même que l’on peut déduire la face (GHK) de quatre autres faces à caractéristiques plus simples, par l'intersection de deux zones, de même on déduira cellcs-<’i d’antres plus simples encore, jusqu’à ce que l’on arrive aux faces (loo), (oio), (ooi) qui sont les faces du parallélipipède élémentaire, et aux faces (i lo), (i lo), (tôt), (loi), (oi i), (oi i) qui sont parallèles aux six plans diagonaux de ce parallélipipède. La Jig. 3 représente, en projection sur le plan normal à l’axe <les s, les lieux qu’occupent les pôles de ces neuffacessurla spbère de projection.

Théorème ,\H ('). — Le pôle <Hune face quelconque (ghk) peut e'trc déterminé, sur la sphère de projection, par les intersections successives de cercles de zone obtenus en joignarUdeuc à deued' autres pôles préalablement connus de position, pourvu que l'on assigne d'avance les lieux des pôles des quatre faces (too), (oio), (ooi), (iii).

D’après le corollaire précédent, on peut toujours déduire la position d’un pôle quelcontpic de celle des pôles dont les carrés des caractéristiques forment une somme inférieure à 3 . Il reste à faire voir comment ces derniers peuvent se déduire des quatre pôles (loo), (oio), (ooi), (i 1 1).

Le pôle (oi i) {fig. 3 ) est placé à la rencontre du cercle de zone passant par (ooi) et (oio) avec le cercle de zone passant par (too) et (i 1 1).

(*) Ce théorème a déjà été démontré par M. Millfr dans son Traité de Cristatlographie.

XXXI y Cahier, i8

l38 ÉTUDES CRISTALI.OCRAPHIQI'ES.

De iiième, le pôle ( i o i ) est à la rencontre des deux cercles de zone passant l'un ]>ar (ooi), (loo), l’autre par (oio) et (ni).

Le pôle (i lo), ainsi que (i lo) sont à la rencontre des cercles de zone passant l’un par (loo), (oio), l’autre par (ooi) et (i 1 1).

Cies trois pôles étant fixés, on obtiendra:

I.c pôle (on), par la rencontre du cercle de zone passant par (ooi), (oio) avec le cercle de zone [lassant par (loi), (no) ;

Le |jôle (loi), par la rencontre du cercle de zone passant par ( oo i ) , ( i oo ; avec le cercle de zone passant par (oi i), (no);

Knlin les pôles (no), (no), par la rencontre du cercle de zone passant par (oio), (loo) avec le cercle de zone passant par (oi i), (loi).

Ces différents modes de dérivation sont indiqués parles lignes de la Ji^. ;i.

Il ne faut pas oublier qu’à tout pôle, sur la sphère de projection, en correspond un autre diamétralement opposé, et dont les caractéristiques offrent des signes jirécisément contraires.

Donc, au moyen des quatre pôles primitivement donnés, on peut, de proche en proche et par des intersections successives, obtenir tous les autres pôles.

ScoUf. — Ce théorème a une certaine importance en cristallographie, loraqu’on emploie la méthode des zones pour la détermination des caractéristi(]ues des faces ; il importe en effet de savoir d’avance qu’aucune face du cristal n’échappera à l’emploi de cette méthode.

Problème VI. — Connaissant les positions relatives des arides d'un cristal, trouver son parallclipipede générateur.

I ia solution du problème offre un exemple de la réciprociu* remarquable qui existe entre un Assemblage et son polaire.

Menez tangentiellemcnt à la s[>hèrc de rayon i des plans normaux aux arêtes données; vous aurez un polyèdre clos de toutes parts, et qui pourra être considéré comme taillé dans l’Assemblage polaire de l’Assemblage des molécules du cristal. Déterminez son système cristallin et la fonne de son parallélipipède générateur, par les procédés ordinaires de la cristallograpbie, et enfin l’Assemblage polaire correspondant, par les méthodes exposées dans les solutions des problèmes XXXII et suivants de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

§ VIII. — Calcul des angles d'un cristal.

On peut denmiider de déterminer soit l'angle que font deu.x arêtes entre elles, soit l’inelinaison d'une arête sur une face, soit l'angle dièdre de deux (àc«*s : In déterinination des angles dièdres a beaucoup occupé les cristallographes, à cause de l'intérêt pratique qu'elle présente.

Il ne sera pas sans intérêt tie montrer que toutes les formules proposées peuvent se ramener à une fonnule unique qui, une fois ses constantes déterminées, donne, au moyen de trois logarithmes, la valeur d'un angle dièdre quelconque du cristal.

Nous continuerons à nommer «, b, d, les paramètres des axes des .e, des )• et des z, a, JÜ, <î les angles plans, m, », les angles dièdres de ces axes, E l’intervalle moyen des Sommets ou molécules, enfin |a|, |

les paramètres des axes des [x|, des [rj et des |sj dans l’.Assemblage polaire corresjxtndant. Je rappellerai que l'on a, par le mode même de construction de cet Assemblage.

, , ri hd&\\xa f . i ads\nt i ,i sin o

(3o) E’ = flW sinasin^ sin'ir = «Wsina sin(fsin» = aW sinjSsinJsin m.

Problème VII. — Trouver l'angle de deu.r /langées dont les symboles sont mnp, m'n'p'.

Soient OT, OT' {Jig. 4) les deux Rangées données.

L'équation du plan OTT' est (équation 34, Mémoire sur les Systèmes de points)

{np — pn) X -y- {pnt — mp')y ■+- {mn — wn) s = o.

Nommons D le diviseur commun de ces trois binômes, représentons-les par (np), (pm'), (mn'), et désignons par g, h, /• les quotients de ces binômes par I) ; nous aurons

i^np') = g\), {pm')=li\), (/n/t') = X-U;

{gbb) sera le symbole du plan OTT' ; S (glik) sera l’aire du parallélogramme élémentaire du Réseau de ce plan, et, si nous achevons le parallé-

l/|0 léninES CBISTALLOGRAPHIQtES.

logramme OTT'T", nous aurons, en vertu de l’équation (/j*)) du Mémoire sur les Systèmes de points,

aire OT'n'"= nS(è'W );

mais, d'autre part, en désignant par (P, P ) 1 angle 10 l , et par Vninp, V m np' les paramètres OT, OT', on a

aire OTT'T' = P Pm'«>' sin(P,P');

d'où l’on déduit la valeur suivante de sin (P, T),

sin — l)S(gW)

sin(l ,1 ) ^m’n'p'

On pourrait conclure de cette formule l'angle (P, 1*') ; mais elle oflre I inconvénient de fournir deux valeurs supplémentaires.

On lèvera cette difficulté, en remarquant que les triangles O 1 1,01 1 donnent

OT"’ = OT’ O T’ -t- aOT . OT. cos (i^T) ,

TT’ = OT’ -H OT'’ — aOT . OT'. cos (P, T) ;

ou

'•os (P, P ) = ■— ot.ot' ’

et, comme l'on a d'ailleurs,

OT" = Vm -+- m',n -h n',p ■+- p ' , TT' = P/n — /;/',« — ri ,p — p' ,

il vient enfin

et, en divisant (3i ) par (3a),

(33) ang (f>) =.

valeurs qui ne sont sujettes à aucune ambiguïté.

lÏTUDES CRISTAI.I.CRÎRAPHIQIJES. 1 \ t

l^a formule (33) est la plus convenable dans la pratiijue, parce qu’elle n’exige que trois logarithmes au lieu de quatre, et parce que le facteur S (g/ik) est constant pour toutes les arêtes appartenant à la même lace.

.Si maintenant l’on met l’équation (7'3) de mon 3Iémoiresur les Systèmes de points, sous la forme

(34 ) S’( I ][A]cosc — 3 — a AA[ AJlr/ji-osu j ,

et, si l’on se rappelle que l’on a

(35) P* =: m* <1* H- A* -+- rf’ -4- 2 mnab <*f>s 3 -h a mptthco% i inp bdco% a ,

on aura, en développant le dénominateur de (33), et remplaçant au numérateur Dgf Dh, DA- par (fl//), (pm), (mn),

[3T»' fanr((^fM — ^ J* 1 ^ !*"■ co» o — 2 (w/) ( Wîfitj [rf|cri.j i.— a f/Aiw';. (nm') lHi«f | cm /a

^ ' V » / nnt')«4 COR 9 -t* ) arf CO» /î -+- J AJ Cv» or