I.orsque les douze coeflicients

li’a’, K’t/’, aE’rt/jcos(î, aE’«i/cos,5, aE’Wcosa,

[«1% [A]’, [rfj% COS'W, HH cosv, [ij [</Jcos«,

auront été calculés une fois pour toutes, on aura facilement l’angle dièdre

(F, F') au moyen de trois logarithmes.

Il est utile de remarquer que l'équation (3y) peut se mettre sous la fonne

unj;(Frt')

-EI»(M’).;Zg-),(g/.-)

+ (gA'-i-Ag'j[iij[41cu»o — (gt' + Ag' l[o][rf)co»v— |A*'-f-AA')[i][rf]ro4u’

où le terme P (hk’), (kg'), (g/i) est le paramètre de l’axe de la zone qui contient les faces F et F’, ou l’un des multiples de ce paramètre.

■Nous allons maintenant chercher ce que devient la formule ( 37 ), dans le système binaire, lorsque la notation des faces comprend quatre caractéristiques.

Problème IX,. — Trouver F angle des deux fuees (ghik), (g'h'i'k'), dans le système binaire.

Si l’on se borne ii considérer les trois axes des x, des )' et des z, dont le dernier est normal au plan îles deux autres, les caractéristiques i et i’ disparaissent, et, en faisant

on trouve

(38) tang(F,F')

— Fy fg A')*f/’-t-(AA')*a*-H (kg')'b'-t- a (A*') [kg') abcoii kl,’[d J* + gg'[a]'+hh'\ A ]• — ( gA ' -t- /lÿ' ) I n 1 1 A 1 i-os i "

Soit mnp l’axe de la zone des faces F et F', de sorte que l’on ait

(hk')-(kh') D ~

la ((uantité sous le signe \J aura pour valeur D’ P' m np.

ÉTUDES cristau.ograi>hiqi:es. i/|3

ür, si l’on projette le Soniinet (m, n, />) sur le plan des .ij en (/«, n, o), on aura évidemment

( 3 p) P* ninp =p'^d^ -+- P* mno.

Rétablissons maintenant l’axe auxiliaire de paramètre c, satisfaisant aux conditions de position énoncées à la page i a'i, et faisons reparaître les caractéristiques t et i'.

Rangée mno peut être considérée comme appartenant au Réseau du plan des jy, envisagé indépendamment de l’Assemblage : elle est siisccj)tible, les axes des x et des r restant les memes, de recevoir un symbole «le la forme (gh) (Mémoire sur les Systèmes de points, page 1 1 ), et en ne tenant pas compte du facteur commun qui peut exister entre m et «, ce symbole sera ( — n, m), puisque la Rangée va de l’origine au point (m, n) ; l’on peut aussi lui assigner un symbole de la forme (ghi) (même Mémoire, page 1 8), et alors le nouveau symbole sera ( — n, m, — m -+- n), puisque la somme des trois caractéristiques doit être égale à zéro. Alors, en vertu de la formule (22) du Mémoire cité, on aura

P’ mno = — m ( — m -h n) cd -I- « ( — m -(- n) b' -t- mnc^.

Or, on a d’atitrc part

en tenant compte de ce que les sommes g -k- h y- i, g' ■+■ h' -f- i' sont égales à zéro.

Si l’on substitue cette valeur et celles de m et n dans P’ mno, il vient

(fa-') - (%'^ ( <«') l>' - {ks') {kh') c'

Substituant de nouveau dans l’équation (Sq), multipliant par D% et remarquant que Dp est égal à (gb'), on trouve

( 4 o) D* P> nmp = {gfi’) ’ rf* — (kh') (ki') a ’ — (kg') (ki’) i* — (kg') (kh') c* ; telle est la valeur de la quantité contenue sous le radical de l’expression de

l'i’t ETUDES CBISTAU-OOHAPHlyllES.

lafi}; (F, F') : on peut y remplacer {gfi'Y par les quantités écpiivalentes ou (hi'y.

( )n peut eftectuer sur le dénominateur une transibrination analogue. F.n efTet, d’après les formules de la page lai démon Mémoire sur les Systèmes lie points, on a

or le triangle GO l' de la Jig. i , dans lequel on a

()(', = «, GI' = A, OI' = c, (K;1'= i8o° — J, fournit la relation

donc

•jtab cos i = — a’ — A*;

(«l [A] cosJ = ^j,, (c’ — fl’ — A’p

Si l'on substitue dans le dénominateur de tang (b', F ) ces valeurs de [n J, i Aj, («I [A] cos S, il prend la forme

kii' f </]’ -h [ agg'h^ -h -ikh’a' — (gh' + hg) (c’ — o’ — A’) J ; développant, et remplaçant g h par — i, g' h- A' par — i' , il devient

kk'\dY •+■ iifî I — — ië^' -I- '/) — (ë>‘ >*ë') J-

D’où l’on voit que la formule (38), après avoir multiplié haut et bas par E\ se change en

(4i) tang(F9')= -E» (%') (*i’| A«- (Ag') (AA'K

On peut substituer maintenant aux paramètres ii. A, c, d des lignes trigonomctriques dépendant d’angles immédiatement observables sur le cristal.

Divisons haut et bas par [r/j’ E% et posons F*

l.fj

puis, à cause de [ rf] = -^ (Mémoire sur les Systèmes de points, page i a i), posons encore

(‘»a) tp j-.; ;

nous changerons ( 4 1 ) en

formule qui n’exige que le calcul préliminaire de ipiatre coefTicients,

K’è’, <!>’ r’ et «P’ d\

Représentons maintenant l'angle («OU (Jig. i) par (x,jr), l’angle GOI

par [x, t), l'angle HOI par (j, f), et prenons pour unité de longueur le diamètre du cercle circonscrit au triangle GOI’; OG, Gl’ = OH, OI’ = OI étant les trois paramètres a, h, c, nous aurons

a = sin (r, 0* 0> ^ = S'" (•*■>.7’) !

K’ = aZ> sin ( JT, jr) d = abed.

Soit U l’angle dièdre compris entre la face (oi i i) parallèle à l’axe des j, et le plan des xy ou (oooi); soit V l’angle dièdre compris de même entre (loi i) parallèle à l’axe des >■ et (oooi) ; soit enfin W l’angle dièdre compris entre (tioi) parallèle à l'axe auxiliaire et (oooi); on trouvera facilement

I lang U = — 4>a, tang V = — <!>/), tangW = — 4>c.

On en déduira la valeur de l'auxiliaire <1> par l'une des trois équations

l.ing U l.ing V tang

sin (Jv) sin (x^j sin (x,j')

XXXn-' Cahitr.

ÉTUDES CRISTALLOr.RAPHIQCES.

1 j« angles { y,i), {x,l), doivent avoir été mesures au goniomètre,

ainsi que l’un au moins des trois angles U, V, W. On connaîtra donc <J>, et par suite

(47) 4‘V’ = l«np*Utans«Vlans»AV

donc enfin

tang’ U tang’ V sin’ (.r,y) ;