UO};(F,F

ht' fh' . , -f“ ig'

'B ’ V — tg • W

formule qui donne l’angle des faces en fonction des angles immédiatement observés : c’est c<‘lle qui me parait la plus commode dans la pratique. On

peut y remplacer tang’ U tang’ Vsin’ (.r,y) par tang’ U tang’ VV sin’ (,r, /)

ou par tang* V tang’ W sin* (y, t).

Les paramètres linéaires a, h, c sont donnés par les formules ( 44 )> et <■/ par l'équation suivante :

( 49 ) r/ = iglj8in(x,f)$iii (x]^ = lgVsin(jf,<)sin (j:,y)=is\Vsin fr,t)sin(x^t)=4>«6c.

Je prendrai comme exemple le nitrate neutre de mercure dont les angles ont été mesurés par ^ 1 . Marignac, et que je reproduis ici, Jig. 5 . Les six faces désignées par les lettres t, t, T, L, M, l dans le Mémoire de M. .Marignac (*) peuvent être représentées par les symboles suivants à quatre caractéristiques :

T = (0110), face parallèle à l’axe des j: et à l’axe des z; t = { 1 01 o), face parallèle à l’axe des y et à l'axe des s; r= (i 100), face parallèle à l’axe des t et à l’axe des s; L = (0001), face normale à l’axe des z;

(• ) Annatrt de Chimie et Ph/xitjue, 3* scric, tome XWIl, page 3a3. On a retourné le cristal de layTÿ. 3 du Mémoire de M Marignac, aljji do rendre son axe de STnuîtrie verlirai.

ETUDES CBISTALLOC.RAI'HIQUES. I.J 7

I,'nl)sprvation goniométrique a donné

(j,j) = [(oiio), (loio)l = Tsup t = Io 8 " 4 o^

(x, <) = [(oi lo), ( i ioo)J = T sur T = 1 16” 35 ',

(j.O = I(ioio). (i loo)] = t surT = i 34 '’ 4 - 5 ',

W = [ ( 1 1 0 1 ) , (ooo I ) I = M sur I , = 1 38 " i o'.

Des formules ( 44 ) et (49) on déduit, pour les principaux éléments du prisme élémentaire de l’Assemblage, les valeurs suivantes :

0 = 0,7102, rf = 0 , 5685 ,

on a ensuite, pour les constantes de l'équation (48),

tang’ U = o, 45 o 3 , U (calculé) = i 46 " 8 ', tang’ V = 0,7 i 4 o, V (calctilé) = i 3 g" 48 ',

tang’\V= 0,8010, tang’ U tang’ V sin’ (j?,.>‘) = o,a886.

Avec ces éléments, on demande l’inclinaison de L sur L

Joi formule générale devient, puisque (g'h'i'k')— (0001),

— V — A* Uîitî* U — Une* V — gh tang’ W

tang (L, 0 — “ — Ung’ U + a tang* V — tang* W ,

( )n trouverait de même

(L, #4)= ia 6 " 3 i', 4 ,

a étant la face de symbole ( 0321 ), laquelle se développe quelquefois sur l’aréte qui sépare L de t.

L’une quelconque des formules (4 ï), (43) ou (48) résout complètement le problème IX; si l’on emploie la formule (43), on devra se rappeler que l’on a

1^8 KTIIDES CBISTAI-l.OGBAPHlQUES.

IjB formule générale ( 87 ) se simplifie heaucoiip, lorsque les axes sont rectangulaires, ce qui a lieu dans le système tcrbinaire; il en est de même de la formule (4 •)> lors^uf l^s angles que forment les trois demi-axes positifs des x, des V et des t deviennent égaux à lao degrés, ce qui arrive dans le cas du système sénaire. Nous allons successivement examiner ces deux cas.

Pboblèmf, X. — Trouver l'angle de deux faces {gltk), (g'ii'li')^ dans te système tcrbinaire et dans le système f/unternaire.

On a alors

« = lî = S = 90 ", ja ■=. Y z= <a 90 ",

, . —f.'^\hk'Yn' + {t,i;','li’ + {gh'Ytl’ — E’ y' ht.' )'a- + (is' ]' h' + (gh' fif

^ (a 1* -f- AA' [ A j' -f- /X' [ rf]’ 'a'.V* H- AA'fl’*/’ -f-

Si l’on divise haut et bas par a‘ b' r/’, cette équation devient

tan,r f f "" — — \/l£^ -t- IMT + UiIlÏ. . ^ ,

Ibrine sous lacjuelle elle a déjà été donnée par M. Neumann (*).

On peut la simplifier en posant, comme dans le problème précédent.

on trouve alors facilement

U=[(oii),(ooi)],

V=f(ioiMooi)];

B. Il « "

tang U = — ^ == — j^fl, tangV=--=-p/,.

Si l’on divise, haut et bas, le troisième membre de la formule (5o) par a' b‘‘, en tenant compte des équations (Sa), on aura

/CQ\ — vV«^' l’Iaiig’LI-t- (*«')’ + (A’A')’lang*i; Ung'V

(5J) tang (h, F) gg^u^ns'V + hh'uug'\ +bk' ’

formule qui n'exige que le calcul de trois eoefticients, au lieu de six.

(•) Beitr/rge tar Krfsiaiionomief Berlin , i8'»3.

ÉTUDES CBISTALLOGRAPHIQUES. I 4ç)

Dans le système quaternaire, on a U = V", et si l’on divise haut et bas par tang’ U, la formule précédente devient

(54) tang(F, b)— gg'+hh’+W coi'V

Problème XI. — Trouver FangU de deux faces {ghik), {g'/e' i'k’), dans les systèmes sénaire et ternaire.

On a, dans ce cas,

Si l'on élève au carré la formule

on trouve

{kg')^{kh') + (ki') = o.

- (kh') (ki') - {kg') (ki’) - {kg ) {kh') = i 1 {kg’Y + {kh'Y + (X-/')’l ; d’autre part on a

— (/«'-t- — igi' ■+■ ig') — {g/i'~h hg') = gg'-^ hh'-^

si l’on substitue ces valeurs dans la formule (43), elle devient

(551 - ~ (AgT+ (ur-H*0‘) ■

{OJ) wig^r.r; 4,.„.

mais l’on a d’ailleurs

•t’a’ = tang’ U ,

<!>’ d^ = tang* U sin’ {x,y) = | tang* U ; et, si l’on multiplie haut et bas, dans (55), par a cot’ U, il viendra

(56) M„^P^)- -^3(gV)*+i(Ag’)*4-(A70*+(AO«l»coP

' ' fat*»»; ÿ^'4-/,A' + i,-H**'.îcot*F ’

formule dans laquelle on peut remplacer a cot’ U par

Cette équation donnera, au moyen de la constante unique a cot’ ü, caU

I jo ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

(Milée une fois (>our toutes, les valeurs des angles dièdres de.s faces, dans les ■Assemblages sénaire et ternaire.

.l’ai traité avec détail la question de l’angle des faces dans les différents systèmes cristallins, à cause de son importance pratique. On peut traiter de même wlle de l’angle que forment entre elles les arêtes ; c’est le but des problèmes suivants.

Problème Xll. — Trouver l'angle de deu.r liarij^ées mnp, ni'n'p', <Uins le système binaire.

Soient toujours a, b, d les paramètres et J l’angle compris entre « et A. On aura à considérer, dans le polaire, les paramètres [« J, | />], [r/] et l’angle [J] = i8o“ — S qui est comjiris entre [n] et [è].

Dans cet Assemblage, les plans normaux à ni n' p' ont pour symboles [(w/y;)], [(/«'«'/;') |, et, si l’on ajoute les caractéristiques auxiliaires O, o', telles que l'on ait

on aura à déterminer l’angle des faces | {mnop)\, j et à en prendre

le supplément.

On remplacera donc, dans la formule (4 1 ). les lettres g, h, i, l; par m, n,

o,p\ n, b,c,d, [</], par («], (AJ, [e], f//|, d; (F, F') par iHo° le paramètre auxiliaire fcj sera donné par la formule

(■>7) =* [«1 |Ajeos(i«o" — é) = [cj’ — («]’ — [A]’.

Il vient alors (5ft) taüg(pTp') =

E’ ^;mn'y\ity — {pii’){po')\aY — ipm' p— l>m' ) (f |’

formule que l'on jiourrait facilement modifier de manière à lui donner la forme des équations (43) ou (48). Les valeurs de [«], [A|, [r/j sont doimées par les équations

et | cj par l’équation (57).

^TUDKS CRISTALl.OCRAl’HIQlIES. |5|

Problème XIII. — Trouver C angle de deux Rangées ninp, ni'ii'p', dans le système terblnairc.

Soit (P, P') l’angle des deux Rangées; cet angle sera le supplément de l’angle que forment entre eux les plans [(/«'«'/;')] du polaire. Si

donc on remplace dans la formule ('îo) les lettres g, h, k par m, n, p, et si l’on échange a et [a], b et [6], d et [f/|, on aura

» W bl » I mm' a' -h nn* />p' mm* a* nn* b* pp*

formule dont les constantes se réduisent à trois, si l’on divise haut et has par d.^.

Problème XIV. — Trouver b angle de deux Rangées mni>, m’n’p’, dans le système sénaire.

Pour pouvoir adapter les formules ( 55 ) et ( 56 ) à la solution de ce problème, il convient de supposer que les demi-axes des x et des positifs font entre eux un angle de 60 degrés et non de 1 20 degrés. Si l’on avait dénoté les Rangées dans le système d’axes correspondant à l’angle de 1 20 degrés, il suflirait, pour revenir au système des axes sc coupant sous l’angle de ho degrés, de remplacer mnp par m — n, n, p, ou par m, n — m, p.

Ce remplacement ayant été fait, il est clair que ( m/y; ) , | m'n'p' ] seront des plans réticulaires de l’Assemblage polaire, et que ce dernier aura quatre axes, dont les trois inférieurs, horizontaux, se sépareront les uns des autres sous des inclinaisons de 1 20 degrés.

Ainsi, en introduisant les auxiliaires o, o' telles que l’on ait

(ho)

et remplaçant 2 cot’ U par 2 cot’ [ C ], g, h, i, k par ///, n, o, p, on aura

tane flO'l = v ^ K/*"'')’ (/”*')* + (/'"')*! .

” ^ ’ I mm' - 4 - ntt' -t- 00' -t- pp'. a col* [LJ

[U] représente la valeur de l’angle auxiliaire U dans l’Assemblage polaire; on aura, pour le déterminer, la relation

2 cot’ [UJ =

et, en vertu de l’equation (94) de mon Mémoire sur les Systèmes de points,

2 eot’ [U] =

'Il

(ionime exemple, proposons-nous de déterminer 1 angle de m/yj avec, 001 , ■’est-à-dirc avec l’axe des z. On a alors w' =: n' = o' — o, p = 1 ; d où

lang (P, axe de» 2) =

pd pd

formule facile à vérifier directement.

Les formules (60), (61) et (fia) donnent la solution complète de la question.

Probeème XV. — Trouver le plan réticulaire normal à la Tangécnmp. Soit m'np' une Rangée «pielconque normale à la Rangée mnp-, la formule (3fi) montre que les caractéristiques m', n', p' devront satisfaire à l’éi]uation de condition

mm' a + nn' k' + pp d- + («.«'4- nm') akcm3 + {mp' + pm') ad co» p 4- (/./>' -+-/»-.' ) kdooi a = o.

Si l’on pose, pour abréger,

mn‘‘ -I- miJ> cos J -(- pad cos ^ = g, mal) cos S -f- -+- pbd cos a = h,

niad cos ^ - 4 - nbd cos a -f- pd^ = k,

cette équation devient

gm' 4 - lin ■+■ kp = o;

aiasi la Rangée in'n'p' est contenue dans le plan {ghk) ; on peut donc considérer g, b, k comme étant les caractéristiques du plan normal, pourvu que l’on choisisse une unité de longueur qui rende numériques a, b H d; car il faut que g, h, k puissent être considérés comme des nombres.

Les quantités g, b, k ne seront pas en général des nombres simples; mais on peut néanmoins les considérer comme étant entiers, parce qu’il est toujours permis de multiplier g, b, k par un même facteur égal à l’unité suivie

I^TLDES CniSTAl.LOGRAI’HIQUES. I 'l'.i

cl’iiii nombre assez grand de zéros pour pouvoir négliger la partie décimale de leur «léveloppement.

PiiOBi.ÈMF. X\l. — Trouver la fiangée normale au plan (gltk).

En égalant à zéro le dénominateur du second membre de l'équation (Sj), on aura la eonditiou pour qu’un plan tel tpie [g h'k') soit normal au plan donné ; puis posant

1 ^ [a|" — h [rt] [ft] cos '® — k [fl] [f/J cos t =nt,

— O I " I [^'1 «T + /' 1 6]’ — A- [AJ [f/| cos u = n,

— S '' — I ^' ] l '^] ^ ~ Pi

on verra facilement que la Rangée normale cliercliée a pour symbole ; on rcmartpiera en outre que [nj, [A], [r/J doivent être considérés comme étant des quantités numériques.

lii's nombres m, n, p peuvent être fractionnaires, on même incommensurables; mais il ne saurait y avoir aucun inconvénient à leur conserver la valeur cpie leur assignent les formules (64).

Phobi.f.me XVII. — Trouver l'angle (pie fait la Rangée ninp avec le plan réticulaire {ghk).

Imaginons que, sur le parallélogran)me générateur du Réseau du plan donné, on construi.se un parallélipipcde dont la base aura pour aire S {ghk) et dont les arêtes latérales coincideront en grandeur et en direction avec; des paramètres du système de Rangées mnp.

Le nombre de strates parallèles à [ghk) et interceptées dans ce parallélipipède sera égal (Mémoire sur les Systèmes de points, problème XX) à

± (mg ■+■ nli 4- pk)y

le signe étant choisi de manière que cette expression soit positive. Donc le volume de ce j)arallélipipède sera ég;il à

± {mg -t- nh 4 - pk) E’.

Mais, d’autre part, en nommant (P, F) l'angle compris entre la Rangée mnp et la face {ghk), l'expression de ce volume est aussi

Vmnp S(g'AA) sin (P, F) :