X.r.rin CahUr

on drduit de là

ÉTimES CRISTAIXOGRAPHlgrES.

sin (P, F)

± (niff + n/i -+- i>k ) E’ ± {nig + n h + p k ) E’

P mnp S {ghk ) P mnp P [ glik \

où il ne reste plus qu’à mettre à la plaee de Pmiip, S {ghk), leurs valeurs tirées des écjuatinns (34) et (35).

Deuxieme solution. — Posez

pi (^['* 1 ' — l“] fos-sy — k [rt] [f/] cos r) = m’ ,

P ( — g' [a] [ùj cos -sr 4- A [AJ’ — k | AJ [r/J eos u) = //',

( — g [rtj [</J eos V — A [AJ [f/J cos U -I- A [rfj’) = p'\

m' n' p' sera le symbole de la Rangée normale au plan (^’’AA). Substituez ces valeurs de m' , n' , p' , dans la formule (36); vous aurez, après réduction des ternies du dénominateur,

yJ:nr'Y‘>a

,(i6) cotang(h, F)s=

\d I'—» {np'){pnt' ) («J-fc] co«* o— ’J np' ) ;w«’ ) JaJ [rf j co» v — .* ■. pu'' ( i^nfg-^nk^pii)ï\

On aurait pu de même écrire

p (/«rt’ nnh cos <5 H- pad eos [i) = g', gj {mnb cos i -t- z/A’ -f- pbd cos a) = A', (mad cos ^ nbd cos a H - pd') = k' ;

(g' h' k') eût été le symbole du plan réticulaire iionnal à la Rangée mnp : alors, substituant ces valeurs de A/, A', dans la formule ( 37 ), l'on aurait eu, après réduction du dénominateur,

«’-F , A^‘J* (tpA’ ,* ï . AA' ; [kg eot>« 3 I M.' J ,gV ) ad eoi î a , »

rotang ^ r. ■ ..i - t ^ ^

«y «A -4- ) Jt.

Ces dernières équations peuvent être utiles dans le cas où (P, F) différerait peu de 90 degrés ; car alors non-seulement l’angle serait mal déterminé par son sinus (formule 65), mais même il pourrait y avoir incertitude enti’e les

KTI'DES CBISTALLOGRAPItIQrES. 1 'rJ

deux valeurs stippléiiientaires données par cette formule. I.a considération des v.ileurs de g', h' , k', qui alors dilK*rent peu de celles de g, h, k, est très-propre ii lever rambigiiité qui en résulte.

(ioncevons, comme exemple, que, dans le système sénaire où l’on a

n = h, a = jS=t)o®, J=i20°,

on demande l’angle que l’aréte allant du Sommet (i, i , o) au Sommet (o, O, i) fait avec le plan passant par les Sommets (o, o, i), (o, i,o), (i , O, o), cet angle devant être mesuré dans l’intérieur du tétraèdre formé par ces (juatre points. On aura alors

a = b, = = 90°, = 1 20°, rnn/j = i i i , (gkk) = ( i i i ) ;

d’où

le symbole des plans normaux à la Rangée 1 1 1 pourra donc s’écrire

^ a" \ aif’ * ) ’

celui de ces plans qui pa.sse par le Sommet (o, o, i) coupera les axes des .r et des )' à une distance de l’origine égale à a divisé par-^, » et ainsi l’angle cherché sera aigu, ^ • j *1 sera obtus, si^, > i .

On a ensuite

l” ni

P’ I ni] = 3

donc, en ayant égard aux équations (g 3 ) du Mémoire sur les Systèmes de points.

sin[ni,(i'n)] = ^

tang[ni,(ni)j:

fonnules qu’il serait d’ailleurs facile d’obtenir directement.

IX. — Méthodes pour calculer la densité réticulaire des faces d'un

cristal.

■le iioninie densité réticulaire (*) d’une face {ghk) le nombre moyen des .Sommets contenus dans l’unité de surface : cet clément physique exerce une Jurande iniluence sur le mode de limitation du crisUd, ainsi que dans les pliénonièncs du clivage. Il importe donc de le déterminer en fonction des [>aramètres linéaires ou angulaires de l’Assemblage et des caractéristiques g, A, ; tel est le luit du paragraphe actuel.

Si l'on continue à désigner par S(gUh) la surface de l’aire du parallélogramme générateur du plan {ghJi), la densité p dn Réseau de ce plan aura ]>üur valeur (Mémoire sur les Systèmes de points, page ai),

Le problème, ramené à la mesure de S (ghk), se trouve résolu par la formule générale que je reproduis ici (Mémoire cité, pages et i i i ) ,

, . ( S'(^AA) = g* S’ (loo) A’S’ (oio) -f-A'S’(oüi ) — 2gAS(ioo)S(oto)co5o

' ’t' ( — agA S( ioo)S(ooi)cos V — 2 AAS(oio) S(ooi) cosu.

Il nous reste à examiner comment cette formule se modifie dans les différentes classes d’Asscmblagcs, et suivant les divers modes (hexaédral, octaédral, etc.) de ces classes.

Système asymétrique. — t«T formule n’offre aucune simplification.

.Système bùutire, mode he.caédral. — On a

H = 90", V = 90", -ar = J,

(ghk) =g^ S’ ( 1 00 S’ (o 1 o) -f-Â’ S (00 1 ) — 2 g'A S ( 1 00) S (o 1 o) cos < 5 .

L)ans le système des notations à quatre caractéristiques g, h, 1, k, cette foriiude prend une autre forme. Soit en effet c le paramètre du nouvel axe : on aura d'abord

= g* S' (1010) -I- A’ S* (01 10) -I- A' S’ (0001) — 2gA S (loio)S (ui 10) cos 5 ;

P) Ccl clément a déjà clé defini, Mémoin sur tes Sjstcmei de points, |wige 20.

s (gUik), \[ghik), (oooi)j,

lors(jue l’autre est connue. Cette relation a également lieu pour tous les systèmes suivants, qui ne sont que des cas partieuliers du système binaire.

Système tcrhinaire, mode hexacdral rectangle. — On a évidemment, dans ce cas,

M = qo", V = 90”, ta = 90",

(73) S> [ghk) = (100) /z’S’^(oio) (001).

On peut introduire dans cette formule les constantes angulaires Ü et de la

1 5H KTrnES cristau.ographiques.

piijîe I En effet, on a (formules 5 a),

laïuf U ^ tan-V-

donc

(7'j) S>(g'W)= (^'’tang’V-h /j’tangHI -H P)S> (ooi).

Systcnw /iiiatcrnaire, mode hexaédrat. — La formule (7 3 ) devient (75) S* {ghk) = {g^ )d) S’ (loo) -H P S’ (001).

F'our introduire la constante angulaire U, on posera

tang Ü =

§(oui) S (oui)’

done

(76) S’ {gftk) = h’ -4- /•’ cot’ U) S’ (100).

Systcme sénaire. — On posera, dans la formule (70),

S (i 100) = S(ioio) = S(oiio);

^ S’ (ghik) = — (gh -r- gi + hi) S’ (01 10) A’S’ (0001)

Pour introduire la eonstante U, on écrira