IT S

tang U = — *-) 5 >

et alors

(78) S’ igkik) = 4- /t» cot’ ü) S> (01 l'o).

Système tertjuaternairc, tiwdc hexaédral. — La formule (7^) devient

(79) S’ {ghk) = {g^ + h^-yP) S* (ooi).

Dans les cas non examinés du système ternaire et des divers modes octa-

ÉTUDES CBISTAU.OGBAPHIQÜES. I Ü9

ûdraiix, dodécaédiTil , ou hexaédral rlioinbiqiic , qui dérivent des précédents par des centrales eonveiiableineiit faits (*), les valeurs de S {ghk), ^[ghik) se déduiront des formules précédentes, au moyen des théorèmes que nous allons aotnellement démontrer.

Théorème \ 1 I 1 . — Si l'on centre tons tes parallélipipèdes générateurs d'un .■/sscnibtngc, ta face {gkk) conservera faire de son parattétogranuuc générateur si ta somme atgéhrûpie g h k est impaire; mais cette aire deviendra moitié moindre, si cette somme est paire.

I.es coordonnées numériques des Sommets introduits par le centrage sont (les nombres fractionnaires de la forme,

.r = m-4-i, >- = «+i, z = ps-\,

m, n, P étant des nonibres entiers.

l.a condition jiour que le plan réticulaire (gfik), mené par l’origine des coordonnées, contienne un quelconque des nouveaux Sommets sera donc

(80) gm -r- tin -f- kp -f- ^ ^ = o.

Dans le cas ou g + fi k est impair, le plan {gtik) ne pourra contenir aucun de ces Sommets. Si donc on nomme la valeur ([u’obtient

S (gfik) après le centrage, on aura

(81) S, (^, h, k = vtj -T- i — g — ti) = S igtik).

Dans le cas ou g h -\-k est pair, Téquation (8o) pourra toujours être satisfaite par des x’aleurs entières de rn, n, p, puisqu’elle représentera Tnn des plans réticulaires du système {ghk), que ce plan passe ou non par l’origine. Par un quelconque des nouveaux Sommets satisfaisant à Téquation (8o'j, menons un plan parallèle au plan des .l’j; le plan {gbk) coupera ce plan r = n-t--ï suivant une Rangée des nouveaux Sommets, à égale di.stauee entre deux Rangées parallèles d'anciens Sommets situées à la rencontre de

(*) Oi» trouveia, aux pages 95 et suivantes üii Mpinoire sur les Svslcines de points» les d'-laiis qui se rapportent à la manière dont on |K.*ut, par le centrage, faire dériver K'S diffèrimts mode< erisialliiis les uns des autres.

Én-DES CRÏSTAIXOGRAI'HIQI'ES.

ce mènic plan avec les plans y = o, v = 2 « -f- i . Ainsi le nombre

(les Rangées parallèles à l’interseetionde {ghk) avec le plan des as sera doublé par le centrage; la densité du Réseau desiendra doue deux fois plus considérable, et l’on aura

(8a) S, {g, /( , ^- = 2 y — — A) = -i S {ghk).

Dans les formules (81) et (82), g, h, h sont trois nombres dépourvus de tout facteur commun, et y est un nombre entier (pieleoncjue.

ThÉouème XIV. — Si l'on centre, dans les plans z = o, z = 1 , etc., les hases des parallélipipèdcs générateurs d’un yisseuddage, la face {ghk) fonservern l'aire de son parallélogramme générateur, si 1 1 somme algébrique g -h b est impaire; mais cette aire deviendra moitié moindre, si g 4 - Il est un nombre pair.

Les coordonnées numériques des Sommets introduits par le centrage sont ici,

,r = w -J, .>' = "•+• Pi

m, n, P étant des entiers.

Alors, si l’on raisonne comme dans le cas pn'ei'dent, en recourant à la ('onsidération du plan auxiliaire;)' = n -H -j, et si l'on désigne par {ghk) ce que devient S {ghk) après le centrage, on trouvera

( 83 ) {g, h = ay ^ I — g, k) = S {ghk),

(8.',) S,, (^r, h = ay - g, k) = i S {ghk).

Scolic. — Dans ce dernier cas, le pai-aniètre de la Rangée, trace de {ghk) sur le plan des.r>', devient deux fois moindre par l’ellct du centrage.

Corollaire. — Si l'on avait centré les parallélogrammes générateurs des faces |>arallèles au plan des xz, l’on aurait eu de même

(85) S„ {g, h, A = ay -f- I — ÿ) = ?>{ghk),

(86) S,, {g, h, k ^y—g)^i i>{ghk).

Si le centrage avait porté sur les faces parallèles au plan des ys, l'on aurait eu

(87) S^. {g, h, k = aj-h i — h) = S {ghk),

(88) {g, h, h = ay — A) = i S (-AA).

KTÜDES CBISTALLOGRAPHIQL'ES. I f» I

Théorème X\'. — Si l’on centre les six faces des pnrallélipipcdes générateurs d'un Assemblage, l'uirc du parallélogramme générateur de lu face {gitk).devicmlra moitié moindre, si le produit glik est pair, et quatre fois moindre, si le produit glik est impair.

liii condition pour que le plan {ghk) mené par l'origine des coordonnées renferme des Sommets provenant du centrage des faces parallèles au plan des xy est évidemment, eomme dans le précédent théorème,

lai condition pour que le même plan renferme des Sommets provenant du centrage des faces parallèles aux xz est

(90) = ij'.

La condition pour que ce plan renferme des Sommets proA'enant du centrage des faces parallèles aux yz est

Or, on ne peut avoir en même temps

ig-^h=isj -t-j ,

ilonc l’une au moins des équations (89), (90) et (91 ) sera toujours satisfaite, et il est permis de supposer, dans ce qui va suivre, que c’est l’équation (89) qui se vérilie. 11 peut alors se présenter deux cas.

Premier cas, caractérisé par g -t- A = 2y '-t- i • — L’une des deux caractéristiques g, A sera paire, et l’on aura, en ajoutant l'équation (89) à la deuxième des équations (92),

alors les éi|uations (90) et (91) manquent à la fois, et l’on retombe sur le cas du théorème XIV et sur l’équation (8/4) ; S(gAA) devient moitié moindre après le centrage.

JtXXlf’’ Cahier. 3i

I<>S HTirnRS CniST*LÏ,OORAPHIQVF,S.

Dcuxlcwr cas, caractérisé par ^ -f- Â- = 2 y'. — Les ér|uations (89), (90) et (9 1 ) sont satisfaites toutes les trois, .\insi, si l’une des caractéristiques est paire, {«“s deux autres sont pareillement paires, et si l'une est impaire, les deux autres le sont aussi. Mais les trois caractéristiques ne peuvent être paires à la fois; elles seTOiit donc toutes les trois impaires, et l'on aura

gfik = a j -h I .

Dans ce cas, en vertu du scolie du théorème XIV, le paramètre de la trace de (g/ifc) sur le plan des .ry est rendu deux fois moindre par l’elfet du centrage; en outre, il est évident que (g/ik) contient <lcs nouveaux Sommets dont les coorilonnées sont de la forme

x — rii, x = z —

ni, H, j> étant convenahleinent choisis : sa trace sur le plan z—p~ir\ s»'ia dtuic une Rangée comprise entre les deux Rangéi“s déterminées par l’intersection du même plan {gh 1 <) avec les plans s = o, 3 = 2/; -t- i ; le nombre de ces Rangées sera donc deux fois plus considérable après le centrage. La densité du Réseau devient ainsi (juatre fois plus grande, et l’aire du parallélogramme générateur quatre fois moindre.

Si l'on représente par ^^ighk) la nouvelle valeur de S(ghk), après l’opération du centrage, on aura, dans le premier cas.

dans le deuxième cas.

TnKoiiKMi-; X.VI. — iAirsquc, (Unis un jd ssemblage senaire rapporté à son O.CC principal pris pour a.te des z, et à dett,v de ses axes binaires de première espèce pris pour a.vcs des x et des y, on ajoute, sur les plans dont l'éf/uation est z — p ziz les Sommets nécessaires pour changer l' Assemblage en un Assemblage ternaire dont le Sommet h coordonnées (.j, |, i) fasse partie, le parallélogramme générateur de la face (ghk) conservera son aire, si l'on a g — /i -f- A' = 3y ± i , et cette aire deviendra trois fois moiiulre, si l'on a g — A t- A = '3 y . Mais, si le nouvel Assemblage con-

KTL'DES CBISTALI.OfinAl’HKJl’ES. i

tient le Sommet (|, -j, -i,), ta condition pour (pie ü(gtik) devienne trois fois moindre sera — g It k = 3 j.

Soit XVZ {/ig. a) le triangle formé sur le plan: = i par les trois Sommets les plus rapprochés de l’origine des coordonnées O. Dans lu figure, ce triangle est vn se projetant ortiiogonaleinent sur le |>lan : = o; üj:, Oj sont deux des trois axes binaires de première espèce de l’Assemblage. T/Cs coordonnées du sommet \ seront évidemment

les coordonnées des Sommets additionnels introduits sur le plan î = ^ seront donc

celles des Sommets introduits sur le plan s = f seront de même = yz=n’ — \, : =

I,es conditions pour que le plan (gM) mené par l’origine contienne une partie de A-es nouveaux Sommets seront donc

l gm ■+■ hn -f- --- = O,

I gm -H hn H j = o.

Si donc g — h ■+- k i*st de la forme 3/' ± i , le plan (ghk) mené [>ar l'origine ne pourra contenir aucun de ces Sommets, et, si l’on dt^gne par H^{ghk) la valeur de l’aire S (ghk) après le triplement des Somim*ts de r.Asscmblage, on aura

mais, si g — h -t- k est divisible par 3, les traces du plan (ghk) sur les plans 3=5, 3 = 5 seront des Rangées de nouveaux Sommets dans le nouvel Assemblage, la den.sité du Réseau deviendra trois fois plus considérable, et, par conséquent, l'on aura

(97) S, (g, h, k = 3 J — g- -+-//) = i S (ghk).

|<)4 liTlIDES CRISTAI.I.OGRAPHIQrRS.

Si l'on avait adopté la forme rhomboédrique inverse (Jlémoire sur les Systèmes dépeints, page y'i) correspondant au triangle X'Y'7J {Jig. 2 ), le nouvel Assemblage aurait contenu le Sommet Y' dont les coordonnées sont (|, -j). Les coordonnées des nouveaux Sommets auraient été comprises

dans les deux systèmes de formules

.r = w H- i, r = « -H z = p i, et les équations (y6), (q^) se seraient changées en

(9^^) S,, (g, k, 4 = 3y dr I -f- ^ — h) = S {ghk),

( 99 ) S,, {g, k, 4 = 3y 4- g- — h) = i S (ghk).

TnéoRÈME XVII. — lAirsquc, dans un Assemblage sénaire rapporté à son axe principal commè a.re des z, et à deux de ses a,res binaires de première espèce comme axes des x et des y, on centre tous les triangles équilatéraux des plans réticulaires parallèles aux xy, la face (ghk) conserve r aire de son parallélogramme générateur, jfg — hn’cjt pas divisible par 3, et cette aire devient trois fois moindre dans le cas contraire.

Soient X, Y', Z, X',... {fig. 2 ) les nouveaux Sommets introduits par ce mode de centrage, et situés sur le plan s = o. Ces Sommets se |)artagent en deux groupes, l’un dont les coordomiées sont exprimées par

l’autre dont les coordonnées sont

La condition pour que le plan [ghk) mené par l’origine contienne une partie de ces Sommets sera

( 100 ) gm 4 - hn ± - = o.

Si donc l’on a g — A = 3y ± 1 , le plan [ghk) ne pourra contenir aui'un de ces Sommets, et si l’on nomme Sj (ghk) ce que devient S (ghk) après le

ÉTünES CBISTAI.LOORAPHIQUES.

centrage, on aura

(101) S,(g, h = 3j ±z I — g,k) = S{gM).

Mais si g — h est divisible par 3, la trace de (gkk) sur le plan z = o contiendra des Sommets provenant des deux nouveaux groupes; il est facile de voir que le paramètre de cette Rangée sera devenu trois fois moindre, et que l’aire S {ghk) aura diminué dans le même rapport. ,4insi l'on aura

(102) = 3y — ='ïS(g'/i/-).

X. — Dn la détermination du mode cristallin et de la forme primitive d'une espèce minérale.

Lorsque l’on connaît le système cristidlin atupiel se rapporte une espèce minérale, il reste à déterminer le mode particulier auquel elle appartient, et les paramètres linéaires qui achèvent de fixer la forme du solide générateur de son Assemblage.

On peut conserver à ce solide le nom de forme primitive, ses faces étant toujours parallèles à celles d’une ou de plusieurs des formes cristallines de la substance. Une molécule est supposée placée à chacun des sommets de ce polyèdre, quelquefois aussi en son centre de figure, ou même sur chacun des centres de ses faces.

Deux formes primitives, ou, ce qui revient au même, deux solides générateurs <le l'Assemblage, sont éijuivalents lorsqu’ils donnent naissance au même Assemblage : on a alors une seule solution du problème de la détermination de la forme primitive, mais présentée de deux manières différentes.

Pour les cristaux appartenant au système régulier ou terquaternaire, la ({uestion doit être considérée comme résolue, dès que l’on sait si l’Assemblage terquaternaire est constitué suivant le mode hexaédral, octaédral ou dodécaédral.

Dans les systèmes sénaire, quaternaire et ternaire, il n’existe que deux paramètres distincts, dont l’un peut être pris pour unité; l’autre paramètre forme ainsi la seule inconnue de la question.

Dans le système terbinaire, le minéralogiste devra d’abord fixer son choix sur l’un des quatre modes qui dépendent de ce système; ensuite il devra

llîG tTlDES EBISTALLOtWlAl'HIQUES.

(li'ti'rniincr deux des trois paranièlres linéaires «, b,d', le troisième pourra toujours être supposé égal à riinité.

liO système binaire présente quatre paramètres linéaires «, h, c, d\ si Ton suppose f/=i, il restera à ealeuler n, h et c, c’est-à-dire les trois eôté's du triangle principal du Réseau normal à l'ave binaire du système; il faudra pareillement 0|)ter entre b‘s deux modes cristallins (|iii dépendent de ce système, et si l'on adopte le mode octaé<lral, on devra, suivant la remarcjue faite dans mon .Mémoire sur les Systènu's de points (note «le la page 97), déterminer sur lequel des trois c«'»tés du triangle principal du Réseau normal à l’axe se projette le Sommet, centre du prisme générateur.

Kniin, dans le système asymétriipie, le nombre des indéterminées réellement distinctes est égal à cintj : ce sont, par exemple, les cinq arêtes du tc'traèdre principal, la sixième étant prise pour unité de longueur.

Pour obtenir la valeur «les paramètres, nous avons à notre disposition la «onnaissance des inclinaisons des faces qui limitent le cristal, et les imbecs tir«'S de la disposition d«-s plans de i-livage. Il en résulte qn’aprt-s avoir iléterminé un système «le trois paramètres linéaires n, h, d, satisfaisant aux conditions tiré«’s de ces indices, nous pouvons, sans cesser pour cela de ren«lre compte «le la structure extérieure, reiiq)lacer a, h, d par trois autres paramètres w«, nb, pd «le même direction relative, mais dont les rapports «le granileiir ne sont plus les m«'mes ; m, n, p sont ici «les nombr«>s entmrs «pii peuvent être «juelconques, sauf dans le cas où la symétrie exigerait l’égalité «le deux ou de trois «le ces paramètres.

Pour lever, autant que possible, l’indétermination relative aux facteurs numériques w, «,/^, la n'gle suivie jusqu’ici par Ilaüy et s«*s successeurs a été «l’adopter entre les paramètres desrapjiorts «le grandeur «pii ren«lcnt les notations svmboliques «It^ fac«*s les plus babituelles «lu cristal aussi simples «jue possible. Par exemple, llaiiy, en parlant de scs recliercb«-s sur l’cuclase, s’exprime ainsi : « Je cherebai le rapport que «levaient avoir entre elles les « trois dimensions du prisme jjour que l’ensemble «les lois de décroissement « «pii en «iériveraient s’éivirtàt le moins «pi’il serait possible de la simplicité <1 des lois onlinaires ("). » Or, l’application d’une telle règle laisse évidem-

(*) ÜAVr, Cristallographie f î*édirion, lomc II, page i55.

ETUDES CRISTALLOC.RaPHIQÜES. ifjr

ment une large pari à l’arhitraire, puisque les eristallographes ne sont même pas (l'aecord entre eux sur les symboles des faees, et que la même face, de notation sim|)le pour un auteur, ofi’re souvent une notation beaucoup plus complexe dans le système d'un autre auteur. Aussi les miiuTalogistes ont-ils coutume d'abandonner la question, lors<|u'elle a été poussée jusqu'à ce point (ju’un, deux ou trois systt-mes de valeurs de /«, n, p rendent un compte sufbsamment simple de la structure extérieure; cependant des deux ou trois solutions qui ont pu cti'e ainsi obtenues, une seule est celle de la nature.

Pour lever autant que possible celte indétermination, je vais employer une hy[)otlièse <|ui n’olfrira point, il est vrai, le degré de rigueur des résultats auxquels nous avons été conduits jnsiju'ici, mais cpii aura sur les méthodes anciennes l’avantage d'avoir un point d'a|)[>ui théorique, celui de ne laisser qu’une faible part à l’arbitraire du calculateur, et enlin, d’offrir les vérifications les plus variées.

J’admettrai que, dans un .\ssemblage cristallin, les plans réticulaires les plus faciles à sépai-er de leurs limitrophes par l’opéralion du clivage sont, en "énéral, ceux (pii servent de limites aux strates de plus gi’ande épai.sseur.

Voici les considérations théorif|ues qui militent en faveur de cette manière de voir.

Lorsque le clivage sépare l’un de l’autre deux plans réticulaires voisins, on a à considérer, d’une part, la force avec hupielle les molécules d’un même plan se retiennent l’une l’autre, force qui est la cohésion tangcntiellc au plan, ou la r(*sistance à la rupture suivant des lignes menées dans ce plan ; on a à considérer, d’autre jjart, la force avec larjuelle les molécules du jdan retiennent à proximité les molécules du plan limitrophe, force que l’on peut nommer la cohésion normale au plan, ou la résistance à la rupture suivant la direction {larallèle à ce plan. Or on sait qu'en giméral la cohésion d(?s corps est d’autant plus grande que les intervalles moyens des molécules sont plus petits. l)’a[)rès cela, il est permis de |H;nser ipie, toutes choses d’ailleui-s égales, la cohésion tangcntielle sera d’autant plus grande que le Réseau du plan sera plus dense, et que la cohésion normale sera d’autant plus faible que l’écartement des deux plans limitrophes sera- plus considérable.

IjOrsc|ue l’on examine l’un après l'autre les divers systèmes de plans réticulaires du cristal, la densité du Réseau et l’iicartement des deux plans limi-

ETUDES CRISTAM.OGRAI’HIQÜES.

trophes pour chacun de ces systcines sont deux (juantités qui croissent et décroissent ensemble, restant toujours proportionnelles l’une à l’autre. On a, en eflét, d’après l'équation ('ji) du Mémoire sur les Systèmes de points,

A S {ghk) = li = constante, et, par conséquent (équation (>8 du Mémoire actuel),

A = Sip.

.\iasi, à mesure cjue l’on considérera des faces dont la densité réticulaire sera de plus en plus grande, on verra la cohésion tangenticlle augmenter et la cohésion normale diminuer; par conséquent, la tendance au clivage suivant ces faces deviendra de plus en plus évidente, puisque la cohésion tangenlielle le favorise, tandis que la cohésion normale tend à le prévenir. Donc le clivage le plus facile devra se faire j)arallèlement au plan réticulaire de densité maximum, et, si le cristal est clivable parallèlement à deux ou à trois formes cristallines, l’ordre de facilité de ces clivages devra correspondre à l’ordre «les densités décroissantes des tissus réticulaires correspondants.

On démontrera, à peu près tle meme, que les faces les plus aptes à se produire dans l’acte <le la cristallisation, ou, en d’autres termes, les plans réticulaires les plus aptes à limiter le cristal, sont aussi, en gênerai, ceux dont la densité réticulaire est la plus considérable; car les mouvements internes qui agissent ince.ssamment sur la superficie de la niasse cristalline en voie de formation Jouent, jusqu’à un certain point, le rôle des forces extérieures qui s’emploient à cliver un cristal; ils ont dû, par con.séquent, respecter de préférence les séries moléculaires (jui se trouvent disposées suivant des plans réticulaires dont les lléseaux ont les tissus les plus serrés. A ce point de vue, la faculté de limitation effective que possède chaque face possible du cristal doit être, au moins en partie, proportionnelle à la densité de son tissu. Toutefois, ce critérium parait devoir être moins certain que celui que l’on déduit de la considération du clivage; car la formation des fiices naturelles s’est trouvée soumise, pendant la cristallisation, à une multitude de forces étrangères, difficiles à analyser, et qui ont pu favoriser la production de telle ou telle forme cristalline, ou même ne pas agir également sur les différents côtés du cristal. Au contraire, lorsque le crisUd définitivement consti-

ÉTi nES CRISTALLOGRAPHIQUES. I (ît(

tue est soumis ultérieuri*iiieiit aux épreuves du clivage, il se trouve soustrait à toute trace de l’aetion des forces qui ont modifié priniordialement sa structure extérieure (*), et peut fournir aux observateurs des indices indépendants de son état initial.

Nous nous résumons en énonçant nettement la règle que nous substituons à la loi empirique des notations les moins complexes, et cette règle nous servira désornuiis à déterminer le mode cristallin d'une espèce minérale, ainsi que les rapports de ses paramètres. Nous devrons, dans chaque cas particulier, « choisir parmi le nombre infini de solutions que comporte la K détermination de la forme primitive, celle qui assigne aux diverses faces « possibles du cristal des densités réticulaires dont la série décroissante « représente aussi exactement que possible la série décroissante des facilités « de production, soit naturelle (par la cristalli.sation), soit artificielle (pir le « clivage) de ees mêmes fiices » : il e.st sous-entendu que la facilité de production naturelle des faces se constatera par l'examen attentif d’un trèsgrand nombre d'échantillons de la même espèce, recueillis dans des circonstances aussi vai'iées que possible.

Dans le cas où les indices déduits du clivage ne seraient pas complètement d'accord avec ceux tirés de l'examen des formes extérieures dominantes, notre règle laissera f|uelquc prise à l’arbitraire, jusqu'à ce qu'une application suivie <le la méthode nous ait mis à meme de juger du degré de confiance que méritent ces divers indices.

Cette concordance d'un certain genre de clivage avec les rapports de longueur des paramètres linéaires a déjà été remarquée par M. Frankenheim (*’), qui fait observer notamment que, dans les cristaux quaternaires de l’apophyllite et de l'uranite, où a < rf, le clivage est parallèle à la base.

La densité réticulaire de la face {ghk ) ayant pour valeur

süÂM’

{*) 0.'Ue proposition ne doit pAs être acceptée dans un sons trop rigoureiix : la même espèce minérale n'a pas toujours les memes clivages egalement faciles; mais les variations sont beaucoup moins étendues que celles qui se manifestent dans le degrc* de prédominance des mêmes facers, entre diver» échantillons de la même es{>ècc.

(*•) FaAXK.v.xBF.iM , <tic Lehrcvondir page 3o6.

XXXir^ Cahier, aa

I JO ÉTUDES CBISTAl.I.OT.BAPHIQUES.

au lieu d’ordonner les faces suivant les valeurs décroissantes de cette exjiression, nous pourrons les ranger suivant les valeurs croissantes de l'aire élémentaire S ighk), ou plutôt du carré de cette aire, afin d'éviter les radicaux du second degré.

S’il existe dans ü{g/ik), ou dans S’ (gkk), des facteurs iiidé[>endants de g, h, k, nous pourrons les supprimer, sans troubler l’ordre suivant lequel se succèdent les formes cristallines. Nous désignerons donc par i {ghk) , ï’ {gkk) ce que deviennent les valeurs de S (g-/iA), S'{g/ik) débjirrassées de semblables facteurs, et après avoir remplacé, dans les équations (Gy) à (102), S, S’ par 1 , Z*, nous pourrons supprimer ou introduire dans leurs seconds membres un facteur quelconque, pourvu qu’il ne soit pas fonction des caractéristiques.

Nous allons maintenant appliquer les formules du § IX à chacun des quatorze modes cristallins.

Sjrstènie terquatemaire, mode hexaédral.

Les trois axes quaternaires sont pris pour axes coordonnés; les |)aiHmètres sont a, a, a. On a (formule 79)

S’ {ghk) = {g* -)- /i* + k') S> (001), et, si l’on change S* en Z’,

(io 3 ) l'(ghk)=g^-^ld-^k\

La deuxième colonne du Tableau n°I a été calculée sur cette fomuile.

Système terquatemaire, mode octaédral.

Ce mode dérive du précédent par le centrage des six faces du cube.

Élevez au carré les équations (y 3 ) et (yi), changez-y S’ en Z’, remplacez Z’ (ghii) par sa valeur tirée de (io 3 ), et multipliez les seconds membres par 16; vous aurez

ÉTITDES CRISTALLOr.BAPHIQUES.

<^n peut réunir ces deux formules en une seule et écrire

(104) l}(g,k=ij — g, X = a/' — = en sous-entendant que, dans le cas où les relations

fl=2j — g, k=-if—g,

n’auraient pas lieu, on les obtiendrait de force, en multipliant les trois caractéristiques g, A, /• par le nombre 2. Sous cette réserve, l'équation (io 4 ) remplace, à elle seule, les deux précédentes : elle a servi à calculer la quatrième colonne du Tableau n" I.

Sj'stème tertfuaterriaiip, mode dotlccaédml. •

(>e mode dérive du mode hexaédral, en centrant chacun des cubes de ce dernier en son centre de figure.

Élevez au carré les équations (81) et (82), changez-y S“ en i’, remplacez {ghk) par sa valeur tirée de (io 3 ), et multipliez les seconds membres par 4; vous aurez

(105) vJ (g, A, k = 2 y — g — A) = g-' -i- A*

2;! (g. A, A = ay -H I — g — A) = 4 (g» -+- -f- A’).

I.,a première de ces deux formules sulbt, si l’on sous-entend que, dans le cas (^ù la relation

A= ay — g — A

ne serait pas satisfaite, on la rétablirait en multipliant g. A, A par 2. I.a sixième colonne du Tableau n" I a été calculée au moyen de cette équation.

Remarques sur le système terquater noire. — Dans le mode hexaédral, le cube <loit être la fornte dominante; après lui vient la forme )iio|«|ui représettte le dodécaèdre rhomboidal. Le sel gemme, le plomb sulfuré ■ne paraissent appartenir au mode hexaédral.

Dans le mode octaédral, c’est l’octaèdre j 1 1 1 1 qui domine; la forme cubique I looj doit aussi se présenter fréquemment. Le diamant, l’alun, le spinelle, plusieurs métaux natifs semblent dépendre du mode octaédral. Les piles de boulets offrent un exenqile de ce genre d'arrangen>ent.